Fundamental
Números Racionais
Ensino Fundamental: Números Racionais
  • Números racionais e frações
  • Dízima periódica
  • Números racionais e reais
  • Geratriz de dízima periódica
  • Números irracionais
  • Representação, ordem, simetria
  • Módulo de um número racional
  • Adição de números racionais
  • Produto de números racionais
  • Propriedade distributiva
  • Potências de números racionais
  • Raízes de números racionais
  • Médias aritmética e ponderada
  • Médias geométrica e harmônica

 

Relacionando números racionais com frações

Um número racional é o que pode ser escrito na forma

m


n

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.

 

Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp…

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado.

 

Exemplos: Dízimas periódicas

  1. 0,3333333… = 0,3
  2. 1,6666666… = 1,6
  3. 12,121212… = 12,12
  4. 0,9999999… = 0,9
  5. 7,1333333… = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

  1. 0,333333… = 0,(3) = 0,3
  2. 3,636363… = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

  1. 0,83333333… = 0,83
  2. 0,72535353… = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

  1. 0,3333…= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +…
  2. 0,8333…= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …
  3. 4,7855…= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + …

 

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

 

A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

  1. Seja S a dízima periódica 0,3333333…, isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

    S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +…

    Multiplicando esta soma “infinita” por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

    10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +…

    Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

    Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

    10 S – S = 3

    donde segue que

    9 S = 3

    Simplificando, obtemos:

    S = 1


    3

    = 0,33333… = 0,3

    Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

    0,99999… = 0,9 = 1

  2. Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131…, isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

    T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +…

    Multiplicando esta soma “infinita” por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

    100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +…

    Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:

    100 T = 31 + T

    de onde segue que

    99 T = 31

    e simplificando, temos que

    T = 31


    99

    = 0,31313131… = 0,31
  3. Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888…, isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

    R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +…

    Manipule a soma “infinita” como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

    R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +…

    Multiplique agora a soma “infinita” por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

    10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +…

    Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

    Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

    10(R-7,1) – (R-7,1) = 0,8

    Assim:

    10R – 71 – R + 7,1 = 0,8

    Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

    90 R = 647

    Obtemos então:

    T = 647


    90

    = 7,1888… = 7,18
  4. Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004…, isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

    U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +…

    Manipule a soma “infinita” como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

    U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +…

    Multiplique agora a soma “infinita” por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

    1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +…

    Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

    Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

    1000(U-7) – (U-7) = 4

    Assim:

    1000U – 7000 – U + 7 = 4

    Obtemos então

    999 U = 6997

    que pode ser escrita na forma:

    T = 6997


    999

    = 7,004004… = 7,004

 

Números irracionais

Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000…

Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:

e = 2,718281828459045…,
Pi = 3,141592653589793238462643…

que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc…

Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.

 

Representação, ordem e simetria dos racionais

Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.

Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 é -3/4.
(b) O oposto de  5  é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.

 

Módulo de um número racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.

 

A soma (adição) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

a


b

+ c


d

= ad+bc


bd

 

Propriedades da adição de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q + 0 = q

Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (-q) = 0

Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:

p – q = p + (-q)

Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

 

A Multiplicação (produto) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

a


b

× c


d

= ac


bd

 

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da multiplicação de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a × b = b × a

Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que

q × q-1 = 1

Esta última propriedade pode ser escrita como:

a


b

× b


a

= 1

Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?

A divisão de números racionais esclarece a questão:

a


b

÷ c


d

= a


b

× d


c

= ad


bc

Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.

 

Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

 

Potenciação de números racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × … × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125
(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8
(c) (-5)²  =(-5)×(-5) = 25
(d) (+5)²  =(+5)×(+5) = 25

Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.

 

Raízes de números racionais

A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).

Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. Assim:

r = Rn[q] equivale a q = rn

Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.

Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.

Exemplos:

(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.
(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.
(c) R[144] = 12 pois 12²=144.
(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.

Exemplos:

(a) R³[8]  =  2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27] =  3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:

(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.

(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.

 

Média aritmética e média ponderada

Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, …, xn. A média aritmética entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:

A= x1 + x2 + x3 +…+ xn


n

 

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:

A= 12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33


9

= 352


9

= 39,11

o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.

Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, …, xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, …, pn. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:

P= x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +…+ xn pn


p1 + p2 + p3 +…+ pn

 

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$  50,00
10 ganham R$  60,00
20 ganham R$  25,00
15 ganham R$  90,00
 7 ganham R$ 120,00

Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

P= 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7


12 + 10 + 20 + 15 + 7

= 3890


64

=60,78

 

Médias geométrica e harmônica

Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2, x3, …, xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:

G = Rn[x1 x2 x3 … xn]

Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

 

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, …, xn. A média harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:

Aplicações práticas: Para as pessoas interessados em muitas aplicações do conceito de harmônia, média harmônica e harmônico global, visite o nosso link Harmonia.


Fundamental
Frações e Números Decimais
Ensino Fundamental: Frações e Números Decimais
  • O Papel das frações decimais
  • Elementos históricos
  • Frações e Números Decimais
  • Leitura de Números Decimais
  • Frações -> números decimais
  • Números decimais -> frações
  • Números decimais: Propried.
  • Operações com Nos. decimais
  • Comparando números decimais
  • Porcentagem

 

O papel das frações e números Decimais

Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.

Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.

Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a notação X/Y, por ser mais simples.

 

Elementos históricos sobre os números Decimais

Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.

Os egípcios usavam apenas frações que possuiam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,… Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.

Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.

Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.

Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.

1437 1 2 3

= 1, 4 3 7
1000

A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.

437


100

= 4,37

Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.

Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.

 

Frações e Números Decimais

Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.

Exemplos de frações decimais, são:

1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103

Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.

A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:

127


100

= 1,27

onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:

127


100

= 100+27


100

= 100


100

+ 27


100

= 1+0,27 = 1,27

A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.

 

Leitura de números decimais

Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:

Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos

Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:

1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 décimos 2 centésimos 4 milésimos

Exemplos:

0,6 Seis décimos
0,37 Trinta e sete centésimos
0,189 Cento e oitenta e nove milésimos
3,7 Três inteiros e sete décimos
13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos

 

Transformando frações decimais em números decimais

Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida “um décimo”. Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

parte inteira parte fracionária
0 , 1

Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: “dois inteiros e trinta e um centésimos”. Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

parte inteira parte fracionária
2 , 31

Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:

(a) 130/100  = 1,30
(b) 987/1000 = 0,987
(c) 5/1000   = 0,005

 

Transformando números decimais em frações decimais

Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:

(a) 0,5   = 5/10
(b) 0,05  = 5/100
(c) 2,41  = 241/100
(d) 7,345 = 7345/1000

 

Propriedades dos números decimais

Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por exemplo:

(a) 0,5          = 0,50 = 0,500 = 0,5000
(b) 1,0002       = 1,00020 = 1,000200
(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000

Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:

(a) 7,4 x 10   = 74
(b) 7,4 x 100  = 740
(c) 7,4 x 1000 = 7400

Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, … casas decimais. Por exemplo:

(a) 247,5 ÷ 10   = 24,75
(b) 247,5 ÷ 100  =  2,475
(c) 247,5 ÷ 1000 =  0,2475

 

Operações com números decimais

Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:

(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:

(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723

(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:

  1. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número,
  2. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número,
  3. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc),
  4. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e
  5. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.

Dois exemplos:

  2,400     2,400
+ 1,723   - 1,723
-------   -------

(c) Realizar a adição ou a subtração.

Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:

2,25×3,5 = 225


100

× 35


10

= 225×35


100×10

= 7875


1000

= 7,875

Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:

2,25 2 casas decimais multiplicando
x 3,5 1 casa decimal multiplicador
1125
+ 675
7875
7,875 3 casas decimais Produto

Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?

Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que “cortamos” a vírgula.

3,6÷0,4 = 3,6


0,4

= 36×10


4×10

= 36


4

= 9

Um outro exemplo:

0,35÷7= 0,35


7

= 0,35×100


7×100

= 35


700

= 35÷7


700÷7

= 5


100

= 0,05

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.

Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?

Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, …, para obter 350 décimos, 3500 centésimos, … até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.

Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.

dividendo 3500 700 divisor
resto 0 0,05 quociente

Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.

Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.

10 16
?

(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.

100 16
0,

(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.

100 16
-96 0,6
4

(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.

100 16
-96 0,6
40

(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.

100 16
-96 0,62
40
-32
8

(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.

100 16
-96 0,625
40
-32
80
-80
0

A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.

 

Comparação de números decimais

A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual).

Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:

(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
(b) 3,7 < 5,4,  pois 3 é menor do que 5.

Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são:

(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.
(c) 4,3 = 4,3    pois 4=4 e 3=3.

 

Porcentagem

Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:

  • A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
  • Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
  • O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)

A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem.

Exemplos:

(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que

30


100

= 30%

(2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:

40


100

= X


300

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120

Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.

(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?

45


100

= X


200

o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110 páginas.

Fundamental
Frações
Ensino Fundamental: Frações
  • Histórico sobre frações
  • Frações
  • Construindo frações
  • Definição de fração
  • Leitura de frações
  • Tipos de frações
  • Propriedades fundamentais
  • Fração=classe de equivalência
  • Número misto
  • Simplificação de frações
  • Comparação de frações
  • Divisão de frações

 

Elementos Históricos sobre frações

Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número – o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

 

Introdução ao conceito de fração

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.

pizza

Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

  • Você concorda com esta divisão? Por quê?
  • Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?
  • O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.

 

Elementos gerais para a construção de frações

Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.

O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … }

Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.

Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.

Q+ = { 0,…, 1/4,…, 1/2,…, 1,…,2,… }

Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.

Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.

 

Definição de fração

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.

Numerador


Denominador

onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.

Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:

1


4

Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.

1/4 1/4
1/4 1/4

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.

 

Leitura de frações

(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10

A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:

Fração 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9
Leitura um meio um terço um quarto um quinto um sexto um sétimo um oitavo um nono

 

(b) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10

Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.

Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez.

 

Fração Leitura
1/11 um onze avos
1/12 um doze avos
1/13 um treze avos
1/14 um quatorze avos
1/15 um quinze avos
1/16 um dezesseis avos
1/17 um dezessete avos
1/18 um dezoito avos
1/19 um dezenove avos

 

(c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10

Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:

Fração Leitura Leitura Comum
1/10 um dez avos um décimo
1/20 um vinte avos um vigésimo
1/30 um trinta avos um trigésimo
1/40 um quarenta avos um quadragésimo
1/50 um cinqüenta avos um qüinquagésimo
1/60 um sessenta avos um sexagésimo
1/70 um setenta avos um septuagésimo
1/80 um oitenta avos um octogésimo
1/90 um noventa avos um nonagésimo
1/100 um cem avos um centésimo
1/1000 um mil avos um milésimo
1/10000 um dez mil avos um décimo milésimo
1/100000 um cem mil avos um centésimo milésimo
1/1000000 um milhão avos um milionésimo

Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.

 

Tipos de frações

A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador.

1/4 1/4
1/4 1/4

A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.

3/3

1/3
1/3
1/3
+ 2/3

1/3
1/3
1/3
= 5/3=1+2/3

1 1/3
1/3
1/3

 

Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração mas não é, pois representa um número inteiro. Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são aparentes, pois representam o número inteiro zero.

 

Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.

1/2

1/2
1/2
2/4

1/4 1/4
1/4 1/4
3/6

1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
4/8

1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8

 

Propriedades fundamentais

(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

1


2

= 1×2


2×2

= 2


4

 

(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

12


16

= 12÷2


16÷2

= 6


8

= 6÷2


8÷2

= 3


4

 

A fração como uma classe de equivalência

A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:

C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, … }

 

Número Misto

Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto.

 

Transformação de uma fração imprópria em um número misto

17


4

= 16+1


4

= 16


4

+ 1


4

= 4+ 1


4

= 4 1


4

 

Transformação de um número misto em uma fração imprópria

4 1


4

= 4+ 1


4

= 16


4

+ 1


4

= 17


4

 

Simplificação de Frações

Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.

O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração.

A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.

36


60

= 36÷2


60÷2

= 18


30

= 18÷2


30÷2

= 9


15

= 9÷3


15÷3

= 3


5

Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.

Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.

Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum. Como MDC(54,72)=18, então 54:18=3 e 72:18=4, logo:

54


72

= 54÷18


72÷18

= 3


4

 

Comparação de duas frações

(1) Por redução ao mesmo denominador

Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:

3


5

< 4


5

(2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes

Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.

Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.

2


3

? 3


5

Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3, obteremos:

2


3

= 2×5


3×5

? 3×3


5×3

= 3


5

Temos então os mesmos denominadores, logo:

2


3

= 10


15

? 9


15

= 3


5

e podemos garantir que

2


3

= 10


15

> 9


15

= 3


5

(3) As frações possuem um mesmo numerador

Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.

Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade

3


4

> 3


8

pode ser dada geometricamente por:

3/4=6/8

1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8
3/8

1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8

Observe que a área amarelada é maior na primeira figura.

 

Divisão de frações

Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:

D = 1


2

÷ 2


3

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:

D = 1


2

÷ 2


3

= 3


6

÷ 4


6

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.

3/6

1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
4/6

1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6

 

Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:

D = 1


2

÷ 2


3

= 3


6

× 6


4

= 18


24

= 3


4

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

a


b

÷ c


d

= a


b

× d


c

= a.d


b.c

Conteúdo escolar Fundamental
Números Inteiros
Ensino Fundamental: Números Inteiros
  • Curiosidades com inteiros
  • Introdução aos números inteiros
  • Sobre a origem dos sinais
  • Conjunto Z dos números inteiros
  • A reta numerada
  • Ordem e simetria no conjunto Z
  • Módulo de um número inteiro
  • Adição de números inteiros
  • Soma de inteiros: Propriedades
  • Multiplicação de inteiros
  • Propriedades da multiplicação
  • Propriedade mista (distributiva)
  • Potenciação de números inteiros
  • Potenciação com o browser
  • Radiciação de números inteiros
  • Radiciação com o browser

 

Curiosidades com números inteiros

12345679 x  9 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999

9 x 9 + 7        = 88
9 x 98 + 6       = 888
9 x 987 + 5      = 8888
9 x 9876 + 4     = 88888
9 x 98765 + 3    = 888888
9 x 987654 + 2   = 8888888
9 x 9876543 + 1  = 88888888
9 x 98765432 + 0 = 888888888

9 x 1 + 2          = 11
9 x 12 + 3         = 111
9 x 123 + 4        = 1111
9 x 1234 + 5       = 11111
9 x 12345 + 6      = 111111
9 x 123456 + 7     = 1111111
9 x 1234567 + 8    = 11111111
9 x 12345678 + 9   = 111111111
9 x 123456789 + 10 = 1111111111

11 x 11               =        121
111 x 111             =       12321
1111 x 1111           =      1234321
11111 x 11111         =     123454321
111111 x 111111       =    12345654321
1111111 x 1111111     =   1234567654321
11111111 x 11111111   =  123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

9        x 7        =        63
99       x 77       =       7623
999      x 777      =      776223
9999     x 7777     =     77762223
99999    x 77777    =    7777622223
999999   x 777777   =   777776222223
9999999  x 7777777  =  77777762222223
99999999 x 77777777 = 7777777622222223

1            x 7 + 3 = 10
14           x 7 + 2 = 100
142          x 7 + 6 = 1000
1428         x 7 + 4 = 10000
14285        x 7 + 5 = 100000
142857       x 7 + 1 = 1000000
1428571      x 7 + 3 = 10000000
14285714     x 7 + 2 = 100000000
142857142    x 7 + 6 = 1000000000
1428571428   x 7 + 4 = 10000000000
14285714285  x 7 + 5 = 100000000000
142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000

9      x 9      =      81
99     x 99     =     9801
999    x 999    =    998001
9999   x 9999   =   99980001
99999  x 99999  =  9999800001
999999 x 999999 = 999998000001

12 x 12 =   144,  21 x 21 =   441
13 x 13 =   169,  31 x 31 =   961
102x102 = 10404,  201x201 = 40401
103x103 = 10609,  301x301 = 90601
112x112 = 12544,  211x211 = 44521
122x122 = 14884,  221x221 = 48841

99 = 9+8+7+65+4+3+2+1
100 = 1+2+3+4+5+6+7+8×9
134498697 = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^9
1000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888

45 = 8+12+5+20,      8+2=12-2=5x2=20÷2=10
100 = 12+20+4+64,    12+4=20-4=4x4=64÷4=16
225 = 1+23+45+67+89, 89-67=67-45=45-23=23-1=22

5^2 + 2^1 = (5-2)^(2+1)

Notação: Para indicar que um número x está elevado a y, escreverei x^y, que é uma notação comum no meio científico.

 

Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

 

Sobre a origem dos sinais

A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.

Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.

Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

 

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,…}

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,…}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

 

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

 

Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).

Exemplos:

(a)  3 é sucessor de 2
(b)  2 é antecessor de 3
(c) -5 é antecessor de -4
(d) -4 é sucessor de -5
(e)  0 é antecessor de 1
(f)  1 é sucessor de 0
(g) -1 é sucessor de -2
(h) -2 é antecessor de -1

Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.

Exemplos:

(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.
(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.

 

Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

|x| = max{-x,x}

 

Exemplos:

(a) |0| = 0
(b) |8| = 8
(c) |-6| = 6

Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

 

Soma (adição) de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:

(a) -3 + 3 = 0
(b) +6 + 3 = 9
(c) +5 - 1 = 4

 

Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z
7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0

 

Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:

1 + 1 + 1 + … + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

2 + 2 + 2 + … + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:

(-2) + (-2) + … + (-2) = 30 x (-2) = -60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do produto
iguais positivo
diferentes negativo

 

Propriedades da multiplicação de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z
7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que

z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1

 

Propriedade mista (distributiva)

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

 

Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a × a × a × a × … × a
a é multiplicado por a n vezes

Exemplos:

  1. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
  2. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8
  3. (-5)² = (-5) x (-5) = 25
  4. (+5)² = (+5) x (+5) = 25

com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.

 

Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: “a elevado ao quadrado” e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: “a elevado ao cubo”. Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

 

Potenciação com o browser

Para obter a potência Mn em seu navegador, como 125, digite (ou copie) a linha de comando:

javascript:Math.pow(12,5)

exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta

248832

Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

 

Radiciação de números inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.

 

Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].

Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

b=Rn[a] se, e somente se, a=bn

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

 

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.

 

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos:

(a) R³[8]   =  2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8]  = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27]  =  3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

Fundamental
Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores
Ensino Fundamental: Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores

 

R[n] = raiz quadrada de z (z>0) e R³[z] = raiz cúbica de z.

 

  1. Um conjunto possui 18 elementos. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos?

    Resposta: As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo:

    1 grupo com 18 elementos
    2 grupos com 9 elementos em cada grupo
    3 grupos com 6 elementos em cada grupo
    6 grupos com 3 elementos em cada grupo
    9 grupos com 2 elementos em cada grupo
    18 grupos com 1 elemento em cada grupo

    O conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}.

  2. De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?

    Resposta: O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,…}. Se n é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,…}.

  3. Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?

    Resposta: O conjunto de múltiplos de 0 possui apenas um elemento e é denotado por M(0)={0}, pois M(0)={0x0,0x1,0x2,0x3,0x4,0x5,…}.

  4. Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?

    Resposta: No total, Maria ganhou 6 presentes.

  5. Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60.

    Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32:
    1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.

  6. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?

    Resposta: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante, etc…

  7. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?

    Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.

  8. Quando possível, complete o espaço entre parênteses com números naturais.
    5×(  ) = 20
    (  )×3 = 18
    4×(  ) = 10
    (  )÷2 =  8
    3÷(  ) =  4
    (  )÷3 =  4
    

    Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 produza 10 e não existe número natural que divide o número 3 e tem por resultado o número 4.

  9. O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta.

    Resposta: Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

  10. Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:
    1 ovo  = R$  6,00
    2 ovos = R$ 11,00
    3 ovos = R$ 15,00
    4 ovos = R$ 18,00
    

    Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.

    Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos?
    Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos?
    Sem promoção, quanto ele pagaria
       a mais pela compra dos 177 ovos?
    

    Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3.
    Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00.
    Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: 177=4×44+1
    Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.

  11. Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos:
    (a) 49
    (b) 37
    (c) 12
    (d) 11
    

    Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores são o número 1 e eles mesmos. 49 não é primo porque é múltiplo de 7. 12 não é primo porque é múltiplo de 2, 3, 4 e 6.

  12. Qual é o menor número primo com dois algarismos?

    Resposta: O número 11.

  13. Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes?

    Resposta: O número 13.

  14. Qual é o menor número primo com três algarismos diferentes?

    Resposta: O número 103.

  15. Qual é o valor do número natural b, tal que 64=b×b×b?

    Resposta: R³[64]=4, pois 64=b×b×b, ou seja, 64=b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b=4.

  16. Tente obter justificativas para garantir que valem as igualdades com potências e radicais.
    R[9]=3   2³=8   R³[8]=2  R[16]=4  5²=25
  17. Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20?

    Resposta: 11, 13, 17 e 19.

  18. Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3.

    Resposta: 18, 12, … A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos estão na justificativa abaixo. Para obtermos números que possuem apenas os números 2 e 3 como fatores, não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é “criá-lo” multiplicando 2 e 3 quantas vezes desejarmos. Por exemplo: 2×2×3=12, 3×3×2=18, 2×2×3×3×3=108.

  19. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?

    Resposta: 9 quadradinhos.

  20. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3².

    Resposta: 3²=9.

  21. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

    cubo
    Resposta: 27 cubinhos.
  22. Qual o valor de 33 (3 elevado ao cubo)?

    Resposta: 3³=27.

Fundamental
Critérios de Divisibilidade
Ensino Fundamental: Critérios de Divisibilidade
  • Sobre a divisibilidade
  • Divisibilidade no browser
  • Divisibilidade por 2
  • Divisibilidade por 3
  • Divisibilidade por 4
  • Divisibilidade por 5
  • Divisibilidade por 6
  • Divisibilidade por 7
  • Divisibilidade por 8
  • Divisibilidade por 9
  • Divisibilidade por 10
  • Divisibilidade por 11
  • Divisibilidade por 13
  • Divisibilidade por 16
  • Divisibilidade por 17
  • Divisibilidade por 19
  • Divisibilidade por 23
  • Divisibilidade por 29
  • Divisibilidade por 31
  • Divisibilidade por 49

 

Sobre a divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Alguns critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

 

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

 

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

 

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

 

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

 

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592 Número sem o último algarismo
-16 Dobro de 8 (último algarismo)
16576 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657 Número sem o último algarismo
-12 Dobro de 6 (último algarismo)
1645 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164 Número sem o último algarismo
-10 Dobro de 5 (último algarismo)
154 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15 Número sem o último algarismo
-8 Dobro de 4 (último algarismo)
7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

 

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426 Número sem o último algarismo
-2 Dobro do último algarismo
424 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42 Número sem o último algarismo
-8 Dobro do último algarismo
34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

 

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

 

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

 

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

 

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

 

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número 1 3 5 3
Ordem ímpar par ímpar par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

 

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

Número 2 9 4 5 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

 

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número 2 5 4 3
Ordem ímpar par ímpar par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

 

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

Número 6 5 2 0 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

 

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

 

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
1664 Soma

Repete-se o processo com este último número.

166 Número sem o último algarismo
+16 Quatro vezes o último algarismo
182 Soma

Repete-se o processo com este último número.

18 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
26 Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

 

Divisibilidade por 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

 

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

 

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859 Número sem o último algarismo
-40 Cinco vezes o último algarismo
1819 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181 Número sem o último algarismo
-45 Cinco vezes o último algarismo
136 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13 Número sem o último algarismo
-30 Cinco vezes o último algarismo
-17 Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

 

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

 

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

16592 Número sem o último algarismo
+16 Dobro do último algarismo
16608 Soma

Repete-se o processo com este último número.

1660 Número sem o último algarismo
+16 Dobro do último algarismo
1676 Soma

Repete-se o processo com este último número.

167 Número sem o último algarismo
+12 Dobro do último algarismo
179 Soma

Repete-se o processo com este último número.

17 Número sem o último algarismo
+18 Dobro do último algarismo
35 Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

 

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

427 Número sem o último algarismo
+10 Dobro do último algarismo
437 Soma

Repete-se o processo com este último número.

43 Número sem o último algarismo
+14 Dobro do último algarismo
57 Soma

Repete-se o processo com este último número.

5 Número sem o último algarismo
+14 Dobro do último algarismo
19 Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

 

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

 

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

18590 Número sem o último algarismo
+63 Dobro do último algarismo
18653 Soma

Repete-se o processo com este último número.

1865 Número sem o último algarismo
+21 Dobro do último algarismo
1886 Soma

Repete-se o processo com este último número.

188 Número sem o último algarismo
+42 Dobro do último algarismo
230 Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

 

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

 

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

859 Número sem o último algarismo
-24 Dobro do último algarismo
835 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

83 Número sem o último algarismo
-15 Dobro do último algarismo
68 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

6 Número sem o último algarismo
-24 Dobro do último algarismo
-18 Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

 

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

 

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

859 Número sem o último algarismo
+24 Triplo do último algarismo
883 Soma

Repete-se o processo com este último número.

88 Número sem o último algarismo
+9 Triplo do último algarismo
97 Soma

Repete-se o processo com este último número.

9 Número sem o último algarismo
+21 Triplo do último algarismo
30 Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

 

Divisibilidade por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

 

Exemplo: 8598 é divisível por 49?

859 Número sem o último algarismo
+40 Cinco vezes o último algarismo
899 Soma

Repete-se o processo com este último número.

89 Número sem o último algarismo
+45 Cinco vezes o último algarismo
134 Soma

Repete-se o processo com este último número.

13 Número sem o último algarismo
+20 Cinco vezes o último algarismo
33 Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

Financeira
Sistemas de Amortização: Price versus PES
Matemática Financeira: Sistemas de Amortização: Price versus PES
  • Introdução
  • Planilha sistema Price
  • Dados da planilha sistema Price
  • Sugestões sobre o sistema Price
  • Planilha sistema PES
  • Dados da planilha sistema PES
  • Sugestões sobre o sistema PES
  • Comparação: Price × PES

Introdução

Após consultas de várias pessoas sobre as vantagens e desvantagens dos sistemas de amortização Price e PES, resolvi realizar uma análise comparativa entre os mesmos. Estive na Caixa Econômica e solicitei planilhas de cálculo relativas aos dois sistemas para o financiamento de um imóvel com valor igual a R$15.000,00 e com o valor do empréstimo igual a R$10.000,00. Este valor é um referência para efeitos de cálculos.

A Caixa construiu as planilhas levando em consideração que a Taxa Referencial (TR) é atualizada a 0,5% ao mês e considerou nos dois casos que a Caixa estaria executando uma taxa de anual de juros da ordem de 10,5%. O prazo do financiamento foi fixado em 36 meses.

A Caixa informou que são cobradas duas taxas de seguro: 1) Seguro de 0,0164% sobre o valor do imóvel; 2) Seguro de 0,0648% sobre o valor do empréstimo. Tais valores são pagos separadamente e adicionados aos valores das prestações calculadas pelos procedimentos financeiros.

Planilha de amortização (da Caixa) para o sistema Price

No. Saldo
devedor
Correção
monetária
S.Devedor+
C.monetária
Juros Prestação Amortização Saldo a Pagar
1 10.000,00 50,00 10.050,00 87,94 325,02 237,08 9.812,92
2 9.812,92 49,06 9.861,98 86,29 325,02 238,73 9.623,25
3 9.623,25 48,12 9.671,36 84,63 325,02 240,39 9.430,97
4 9.430,97 47,15 9.478,13 82,94 325,02 242,08 9.236,04
5 9.236,04 46,18 9.282,22 81,22 325,02 243,80 9.038,42
6 9.038,42 45,19 9.083,61 79,48 325,02 245,54 8.838,07
7 8.838,07 44,19 8.882,26 77,72 325,02 247,30 8.634,96
8 8.634,96 43,17 8.678,13 75,94 325,02 249,08 8.429,05
9 8.429,05 42,15 8.471,19 74,13 325,02 250,89 8.220,30
10 8.220,30 41,10 8.261,40 72,29 325,02 252,73 8.008,67
11 8.008,67 40,04 8.048,71 70,43 325,02 254,59 7.794,12
12 7.794,12 38,97 7.833,09 68,54 325,02 256,48 7.576,61
13 7.576,61 37,88 7.614,49 66,63 325,02 258,39 7.356,10
14 7.356,10 36,78 7.392,88 64,69 325,02 260,33 7.132,55
15 7.132,55 35,66 7.168,21 62,72 325,02 262,30 6.905,91
16 6.905,91 34,53 6.940,44 60,73 325,02 264,29 6.676,14
17 6.676,14 33,38 6.709,52 58,71 325,02 266,31 6.443,21
18 6.443,21 32,22 6.475,43 56,66 325,02 268,36 6.207,06
19 6.207,06 31,04 6.238,10 54,59 325,02 270,43 5.967,67
20 5.967,67 29,84 5.997,50 52,48 325,02 272,54 5.724,96
21 5.724,96 28,62 5.753,59 50,35 325,02 274,67 5.478,91
22 5.478,91 27,39 5.506,31 48,18 325,02 276,84 5.229,46
23 5.229,46 26,15 5.255,61 45,99 325,02 279,03 4.976,58
24 4.976,58 24,88 5.001,46 43,77 325,02 281,25 4.720,21
25 4.720,21 23,60 4.743,81 41,51 325,02 283,51 4.460,30
26 4.460,30 22,30 4.482,60 39,23 325,02 285,79 4.196,81
27 4.196,81 20,98 4.217,79 36,91 325,02 288,11 3.929,68
28 3.929,68 19,65 3.949,32 34,56 325,02 290,46 3.658,86
29 3.658,86 18,29 3.677,16 32,18 325,02 292,84 3.384,31
30 3.384,31 16,92 3.401,23 29,76 325,02 295,26 3.105,97
31 3.105,97 15,53 3.121,50 27,32 325,02 297,70 2.823,80
32 2.823,80 14,12 2.837,92 24,84 325,02 300,18 2.537,73
33 2.537,73 12,69 2.550,42 22,32 325,02 302,70 2.247,72
34 2.247,72 11,24 2.258,96 19,77 325,02 305,25 1.953,71
35 1.953,71 9,77 1.963,47 17,18 325,02 307,84 1.655,63
36 1.655,63 8,28 1.663,91 14,56 325,02 310,46 1.353,45

Dados extraídos da planilha do sistema Price

Com a Matemática Financeira, extraímos informações relacionadas com a planilha apresentada e estas estão na tabela abaixo:

Informação 1 Informação 2 Indicador
Taxa de Referência (TR) Mensal 0,50%
Taxa Efetiva de Juros Anual 11,0200%
Taxa Efetiva de juros Mensal 0,8750%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Imóvel 0,0164%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Empréstimo 0,0648%
Número de Pagamentos mensais 36
Valor Total do Empréstimo 10.000,00
Valor da Prestação 325,02
Taxa Real de juros Mensal 1,378886%
Anual 17,86102%
Valor do Seguro sobre o Imóvel (1a. parcela) 15.000,00 2,46
Valor do Seguro sobre o Empréstimo (1a. parcela) 10.000,00 6,48
Valor da Soma dos Seguros (1a. parcela) 8,94
Saldo Devedor após o pagamento das 36 parcelas 1353,45
Sugestão para zerar o Saldo: Prestação + Poupança 354,28 9%

Sugestões sobre o sistema Price

Informação da Caixa Sugestão ou Crítica
Taxa anual de juros
10,5%
Taxa anual efetiva=11,02%
Saldo Devedor final
R$1.353,45
Motivado por um erro da própria Caixa que faz com que a Prestação mensal seja mais barata para atingir maior quantidade de clientes, mas com um problema no final do financiamento. A Caixa realiza o cálculo da Prestação mas não introduz a TR mensal para corrigir o Saldo Devedor. Para que não exista o Saldo Devedor final, a Caixa poderia exigir do cliente um acréscimo mensal da ordem de 9% que seria depositado em uma Caderneta de Poupança compulsória para que o Saldo Final fosse nulo ou quase nulo.

Planilha de amortização (da Caixa) para o sistema PES

No. Saldo devedor Correção monetária S.devedor+
C.monetária
Juros Prestação Amortiz. Saldo a Pagar
1 10.000,00 50,00 10.050,00 87,94 365,28 227,34 9.772,66
2 9.772,66 48,86 9.821,52 85,94 365,28 230,48 9.542,18
3 9.542,18 47,71 9.589,89 83,91 365,28 233,66 9.308,52
4 9.308,52 46,54 9.355,07 81,86 365,28 236,88 9.071,65
5 9.071,65 45,36 9.117,01 79,78 365,28 240,14 8.831,51
6 8.831,51 44,16 8.875,66 77,66 365,28 243,46 8.588,04
7 8.588,04 42,94 8.630,98 75,52 365,28 246,82 8.341,22
8 8.341,22 41,71 8.382,93 73,35 365,28 250,22 8.091,00
9 8.091,00 40,45 8.131,45 71,15 365,28 253,68 7.837,32
10 7.837,32 39,19 7.876,51 68,92 365,28 257,17 7.580,15
11 7.580,15 37,90 7.618,05 66,66 365,28 260,72 7.319,43
12 7.319,43 36,60 7.356,03 64,37 365,28 264,31 7.055,12
13 7.055,12 35,28 7.090,39 62,04 355,70 258,38 6.796,73
14 6.796,73 33,98 6.830,72 59,77 355,70 261,95 6.534,79
15 6.534,79 32,67 6.567,46 57,47 355,70 265,56 6.269,23
16 6.269,23 31,35 6.300,58 55,13 355,70 269,22 6.000,01
17 6.000,01 30,00 6.030,01 52,77 355,70 272,93 5.727,08
18 5.727,08 28,64 5.755,71 50,37 355,70 276,69 5.450,38
19 5.450,38 27,25 5.477,64 47,93 355,70 280,52 5.169,87
20 5.169,87 25,85 5.195,71 45,47 355,70 284,38 4.885,48
21 4.885,48 24,43 4.909,91 42,97 355,70 288,30 4.597,18
22 4.597,18 22,99 4.620,17 40,43 355,70 292,28 4.304,90
23 4.304,90 21,52 4.326,42 37,86 355,70 296,32 4.008,58
24 4.008,58 20,04 4.028,63 35,25 355,70 300,41 3.708,18
25 3.708,18 18,54 3.726,72 32,61 341,46 290,31 3.417,87
26 3.417,87 17,09 3.434,96 30,06 341,46 294,31 3.123,56
27 3.123,56 15,62 3.139,17 27,47 341,46 298,37 2.825,18
28 2.825,18 14,13 2.839,31 24,85 341,46 302,48 2.522,70
29 2.522,70 12,61 2.535,31 22,19 341,46 306,66 2.216,04
30 2.216,04 11,08 2.227,12 19,49 341,46 310,89 1.905,15
31 1.905,15 9,53 1.914,68 16,76 341,46 315,17 1.589,98
32 1.589,98 7,95 1.597,93 13,99 341,46 319,52 1.270,46
33 1.270,46 6,35 1.276,81 11,18 341,46 323,93 946,53
34 946,53 4,73 951,26 8,33 341,46 328,40 618,13
35 618,13 3,09 621,22 5,44 341,46 332,93 285,20
36 285,20 1,43 286,63 2,51 341,46 337,52 (52,32)

Dados extraídos da planilha do sistema PES

Com a Matemática Financeira, extraímos as informações relacionadas com a segunda planilha apresentada e estas estão na tabela abaixo:

Informação 1 Informação 2 Indicador
Taxa de Referência (TR) Mensal 0,50%
Taxa Efetiva de Juros Anual 11,0200%
Taxa Efetiva de juros Mensal 0,8750%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Imóvel 0,0164%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Empréstimo 0,0648%
Número de Pagamentos mensais 36
Valor Total do Empréstimo 10.000,00
Valor da Prestação 325,02
Taxa Real de juros – 1o. ano Mensal 1,5622%
Anual 20,4442%
Taxa Real de juros – 2o. ano Mensal 1,5848%
Anual 20,7663%
Taxa Real de juros – 3o. ano Mensal 1,5705%
Anual 20,5620%
Valor do Seguro sobre o Imóvel (1a. parcela) 15.000,00 2,46
Valor do Seguro sobre o Empréstimo (1a. parcela) 10.000,00 6,48
Valor da Soma dos Seguros (1a. parcela) 8,94
Saldo Credor após o pagamento das 36 parcelas 52,32

Sugestões sobre o sistema PES

Informação da Caixa Sugestão
Taxa anual de juros
10,5%
Taxa efetiva no 1o.ano = 20,4442%
Taxa efetiva no 2o.ano = 20,7663%
Taxa efetiva no 3o.ano = 20,5620%
Saldo Credor final
R$52,32
Neste sistema o cliente amortiza inclusive o valor corrigido pela TR, razão pela qual, praticamente não há Saldo Devedor no final.

Comparação entre os sistemas: Price e PES

Os dois sistemas funcionam bem (praticamente iguais em termos monetários) para a amortização de uma dívida contraída junto ao Sistema Financeiro da Habitação. O Fato do PES custar mais caro inicialmente, visa amortizar mais rapidamente a dívida de forma que para cada novo ano ocorra um refinanciamento com o período reduzido de 12 unidades, o que significa na prática um novo financiamento do Saldo Devedor do ano anterior pelo período ainda não realizado. Se a opção for pelo Sistema Price, fatalmente restará um Saldo Devedor que deverá ser quitado pelo comprador, fato este bastante ingrato para quem julga ter terminado de pagar “todas” as contas. O ideal seria a Caixa acrescentar um percentual da ordem de nove por cento (9%) sobre as prestações do Sistema Price, formando uma Caderneta de Poupança Compulsória e usá-lo de uma forma mais intensa, uma vez que o público entende melhor este tipo de financiamento.

Informação Price PES
Taxa Mensal de Referência (TR) 0,50% 0,50%
Taxa Efetiva Anual de Juros 11,020000% 11,020000%
Taxa Efetiva Mensal de Juros 0,8750% 0,8750%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Imóvel 0,0164% 0,0164%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Empréstimo 0,0648% 0,0648%
Número de Pagamentos mensais 36 36
Valor Total do Empréstimo 10.000,00 10.000,00
Valor da Prestação – 1o. ano 325,02 365,28
Valor da Prestação – 2o. ano 325,02 355,70
Valor da Prestação – 3o. ano 325,02 341,46
Valor Médio das 36 Prestações 325,02 354,15
Taxa Real mensal de juros: 1o. ano 1,378886% 1,5622%
Taxa Real anual de juros: 1o. ano 17,86102% 20,4442%
Taxa Real mensal de juros: 2o. ano 1,378886% 1,5848%
Taxa Real anual de juros: 2o. ano 17,86102% 20,7663%
Taxa Real mensal de juros: 3o. ano 1,378886% 1,5705%
Taxa Real anual de juros: 3o. ano 17,86102% 20,5620%
Valor do Seguro sobre o Imóvel (R$15.000,00) 2,46 2,46
Valor do Seguro sobre o Empréstimo (R$10.000,00) 6,48 6,48
Valor da Soma dos Seguros (1a. parcela) 8,94 8,94
Saldo Final após 36 pagamentos 1.353,45 -52,32
Valor mensal necessário para zerar o Saldo Final 354,28 354,15

Este trabalho foi realizado com finalidades didáticas, visando auxiliar a população sobre os dois sistemas, uma vez que o governo bem como os agentes financeiros da habitação não tornam público tais cálculos no nível de detalhamento que apresentamos.

Este trabalho não pode ser utilizado em qualquer atividade sem a prévia autorização do responsável pela página.

Financeira
Sistema Alemão de Amortização
Matemática Financeira: Sistema Alemão de Amortização
  • Introdução ao sistema alemão
  • O modelo matemático
  • Fórmulas básicas
  • Problema típico

Introdução ao sistema alemão

O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,…,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte.

O Modelo matemático

Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão:

Co = C – C i = C (1-i)

mas o cliente deverá pagar C no final do período.

No início do 2o. período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento:

C1 = C – A1

Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser:

P1 = A1 + i C1 = A1 + i (C – A1)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período.

No início do 3o. período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo:

C2 = C1 – A2

Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a i C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:

P2 = A2 + i C2 = A2 + i (C1-A2)

ou seja

P2 = A2 + i (C – A1 – A2)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período.

No início do 4o. período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste momento de:

C3 = C2 – A3

Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que corresponde a i C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:

P3 = A3 + i C3 = A3 + i (C2 – A3) = A3 + i (C1 – A2 – A3)

ou seja

P3 = A3 + i (C – A1 – A2 – A3)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período.

Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever:

Ck = Ck-1 – Ak

e

Pk = Ak + i (C – A1 – A2 – A3 – … – Ak)

Resumindo até o momento, temos:

n Cn Pn
1 C1 = C – A1 P1 = A1 + i (C – A1)
2 C2 = C – A1 – A2 P2 = A2 + i (C – A1– A2)
3 C3 = C – A1 – A2 – A3 P3 = A3 + i (C – A1 – A2 – A3)
4 C4 = C – A1 – A2 – A3 – A4 P4 = A4 + i (C – A1 – A2 – A3 – A4)
k Ck = C – A1 – A2 – A3 – … – Ak Pk = Ak + i (C – A1 – A2 – A3 – … – Ak)

A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente e como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então segue que

P1 = P2 = P3 = … = Pn = P

Como P1=P2, então

A1 + i (C – A1) = A2 + i (C – A1 – A2)

logo

A1 + i (C-A1) = A2 + i (C-A1) – i A2

assim

A1 = A2 – i A2

e dessa forma

A1 = A2 (1-i)

e podemos escrever que

A2 = A1 / (1-i)

De forma análoga, podemos mostrar que

A3 = A2 / (1-i)

para concluir que

A3 = A1 / (1-i)2

Temos em geral que, para todo k=2,3,4,…,n:

Ak = A1 / (1-i)k-1

Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que:

C = A1 + A2 + A3 + … + An

Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos:

Evidenciando o último termo, poderemos escrever:

Como o termo nos colchetes é a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), então:

e desse modo

Já observamos antes que

e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, teremos:

Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n.

Usamos fortemente o conceito de sequência geométrica (PG), o que justifica a importância deste assunto tão pouco aplicado no âmbito do Ensino Médio.

Fórmulas básicas

Para obter os cálculos com as fórmulas básicas

com os seguintes elementos:

Objeto Descrição
C Capital financiado
i Taxa de juros ao período
n Número de períodos
P Valor de cada prestação
A1 Primeira amortização
Ak Amortização para k=1,2,…,n.

Problema típico

Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização.

Solução: Devemos tomar i=0,04; n=5 e C=300.000,00 e inserir os dados na primeira das três últimas fórmulas apresentadas, para obter a prestação


Financeira
Sistemas de Amortização
Matemática Financeira: Sistemas de Amortização
  • Introdução à amortização
  • Sistema de pagamento único
  • Sistema de pagamentos variáveis
  • Sistema Americano
  • Amortização Constante (SAC)
  • Sistema Price (ou Francês)
  • Amortização Misto (SAM)
  • Sistema Alemão

Introdução à amortização

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que

Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!

Os principais sistemas de amortização são:

  1. Sistema de Pagamento único:Um único pagamento no final.
  2. Sistema de Pagamentos variáveis:Vários pagamentos diferenciados.
  3. Sistema Americano:Pagamento no final com juros calculados período a período.
  4. Sistema de Amortização Constante (SAC):A amortização da dívida é constante e igual em cada período.
  5. Sistema Price ou Francês (PRICE):Os pagamentos (prestações) são iguais.
  6. Sistema de Amortização Misto (SAM):Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.
  7. Sistema Alemão:Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.

Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:

 

Pagamento = Amortização + Juros

Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%.

Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados:

Sistema de Amortização
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 300.000,00
1
2
3
4
5 0
Totais 300.000,00

Sistema de Pagamento Único

O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula:

M = C (1+i)n

Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.

 

Sistema de Pagamento Único
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 312.000,00
2 12.480,00 324.480,00
3 12.979,20 337.459,20
4 13.498,37 350.957,57
5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0
Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87

Sistema de Pagamentos Variáveis

O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.

Uso comum: Cartões de crédito.

Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma:

  • No final do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros
  • No final do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros
  • No final do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros
  • No final do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros
  • No final do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros

 

Sistema de Pagamentos Variáveis
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00
2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00
3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00
4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00
5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0
Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00

Sistema Americano

O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período.

 

Sistema Americano
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 12.000,00 300.000,00
2 12.000,00 12.000,00 300.000,00
3 12.000,00 12.000,00 300.000,00
4 12.000,00 12.000,00 300.000,00
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0
Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00

Sistema de Amortização Constante (SAC)

O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais.

Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação

 

Sistema de Amortização Constante (SAC)
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00

Sistema Price (Sistema Francês)

Todas as prestações (pagamentos) são iguais.

Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.

Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pela fórmula

onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece:

P = K × Vf = 67.388,13

 

Sistema Price (ou Sistema Francês)
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65

Sistema de Amortização Misto (SAM)

Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).

Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.

Cálculo:

PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

 

n PSAC PPrice PSAM
1 72.000,00 67.388,13 69.694,06
2 69.600,00 67.388,13 68.494,07
3 67.200,00 67.388,13 67.294,07
4 64.800,00 67.388,13 66.094,07
5 62.400,00 67.388,13 64.894,07

 

Sistema de Amortização Misto (SAM)
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94
2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11
3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20
4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14
5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0
Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94

Sistema Alemão

O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações Ak, k=1,2,3,…,n.

Uso comum: Alguns financiamentos.

Fórmulas necessárias: Para k=1,2,…,n.

A prestação mensal do financiamento, pode ser calculada com as fórmulas acima.

P = (300.000×0,04)÷[1-(1-0,04)5]=64.995,80
A1 = 64.995,80 × (1-0,04)4 = 55.203,96
A2 = 55.203,96 ÷ (1-0,04) = 57.504,13
A3 = 57.504,13 ÷ (1-0,04) = 59.900,13
A4 = 59.900,13 ÷ (1-0,04) = 62.395,97
A5 = 62.395,97 ÷ (1-0,04) = 64.995,80

 

Sistema Alemão
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00
1 9.791,84 55.203,96 64.995,80 244.796,04
2 7.491,68 57.504,13 64.995,80 187.291,91
3 5.095,67 59.900,13 64.995,80 127.391,78
4 2.599,83 62.395,97 64.995,80 64.995,80
5 64.995,80 64.995,80 0
Totais 36.979,02 300.000,00 336.979,02
Financeira
Fluxo de Caixa

Fluxo de Caixa

Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da análise de uma certa aplicação, que pode ser um investimento, empréstimo, financiamento, etc. Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas na linha de tempo com início no instante t=0.

Um típico exemplo é o gráfico:

Fluxo de Caixa da pessoa
Eo
0 1 2 3 n-1 n
S1 S2 S3 Sn-1 Sn

que representa um empréstimo bancário realizado por uma pessoa de forma que ela restituirá este empréstimo em n parcelas iguais nos meses seguintes. Observamos que Eo é o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou positivo) e S1, S2, …, Sn serão os valores das parcelas que sairão do caixa da pessoa (negativas).

No Fluxo de Caixa do banco, as setas têm os sentidos mudados em relação ao sentidos das setas do Fluxo de Caixa da Pessoa. Assim:

Fluxo de Caixa do banco
E1 E2 E3 En-1 En
0 1 2 3 n-1 n
So

O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), é assumido por convenção, e o Fluxo de Caixa dependerá de quem recebe ou paga o Capital num certo instante, sendo que:

  1. t=0 indica o dia atual;
  2. Ek é a Entrada de capital num momento k;
  3. Sk é a Saída de capital num momento k.

Observação: Neste trabalho, o ponto principal é a construção de Fluxos de Caixa na forma gráfica e pouca atenção é dada à resolução dos problemas. Caso você tenha algum Fluxo de Caixa interessante que valha a pena ser tratado, envie a sua sugestão.

Exemplos importantes

Na sequência, iremos apresentar uma coleção de situações e construiremos os Fluxos de Caixa das mesmas (do ponto de vista da pessoa). Tais situações são muito comuns nas operações financeiras.

Resolveremos apenas alguns exercícios, mas os interessados deverão ver o nosso curso sobre Matemática Financeira, nesta mesma Home Page, onde encontrarão muitas informações sobre o assunto.

  1. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$11.000,00 daqui há um mês.
    Fluxo de Caixa 01
    10.000
    0 1
    11.000
  2. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará em duas parcelas iguais e seguidas de R$6.000,00 a partir do próximo mês.
    Fluxo de Caixa 02
    10.000
    0 1 2
    6.000 6.000
  3. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 5.500,00 em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias.
    Fluxo de Caixa 03
    10.000
    0 1 2
    5.500 6.500
  4. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 1.000,00 em 15 parcelas iguais a partir do mês seguinte.
    Fluxo de Caixa 04
    10.000
    0 1 2 14 15
    1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
  5. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará em 24 parcelas de R$ 876,54 a partir do mês seguinte.
    Fluxo de Caixa 05
    16.000
    0 1 2 23 24
    876,54 876,54 876,54 876,54 876,54
  6. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará o mesmo em 24 parcelas de R$ 840,00 a partir de hoje.
    Fluxo de Caixa 06
    16.000
    0 1 2 23
    840,00 840,00 840,00 840,00 840,00
  7. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga a partir do mês seguinte.
    Fluxo de Caixa 07
    12.000
    0 1 2 19 20
    500 600 2.300 2.400
  8. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga já no momento inicial.
    Fluxo de Caixa 08
    12.000
    0 1 2 18 19
    500 600 700 2.300 2.400
  9. Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir do próximo mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?
    Fluxo de Caixa 09
    VP=A
    0 1 2 n-1 n
    R R R R R

    Solução matemática:

    A = R/(1+i) + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 +…+ R/(1+i)n

    que também pode ser escrito na forma

  10. Uma pessoa financia um objeto em 5 parcelas iguais e seguidas de R$1.000,00 a partir do próximo mês. Se a taxa bancária de juros é de 7% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?
    Fluxo de Caixa 10
    VP
    0 1 2 3 4 5
    1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

    Solução matemática: Como i=7%=0,07; R=1000 e n=5, então pela Fórmula do ítem anterior, temos que:

  11. Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir deste mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?
    Fluxo de Caixa 11
    VP=A
    0 1 2 n-1
    R R R R R

    Solução matemática:

    A=R+R/(1+i)+R/(1+i)2+R/(1+i)3 +…+ R/(1+i)n-1

    que também pode ser escrito na forma

  12. Considere o problema do ítem 10 e uma nova alternativa. Refinanciar a compra do objeto que custa o Valor Presente (obtido no Fluxo de Caixa 10) em 4 parcelas iguais e seguidas a partir do mês inicial. Considere a mesma taxa bancária de juros. Qual deverá ser o valor de cada nova parcela R? Qual será o percentual de aumento da prestação em relação à prestação anterior, com esta nova alternativa?
    Fluxo de Caixa 12
    4.100,20
    0 1 2 3
    R ? R ? R ? R ?

    Solução matemática: Como i=7%=0,07; VP=4.100,20 e n=4, então pela Fórmula do ítem anterior, temos que:

    que pode ser escrito na forma

    4.100,20 = R × 3,6243160444

    de onde segue que

    R = 1.131,30

    A nova parcela sobre a anterior aumentou 13,20%.

    Observação: Este percentual poderá mudar se a taxa aplicada for alterada.