Trigonometria Hiperbólica

Funções exponenciais reais

A função exponencial é uma das mais importantes da Matemática. Esta função é definida por f:RR através de

f(t) = exp(t) = e^t

No plano R², podemos obter a reflexão do gráfico desta função em relação ao eixo OY, que nos dá outra função exponencial g:RR definida por

g(t) = exp(-t) = e^-t

Os gráficos destas funções podem ser vistos abaixo.

Observamos que tais funções são positivas. f(t)=e^t (cor vermelha) é crescente e g(t)=e^-t (cor azul) é decrescente.

Com estas funções, definimos outras funções da Matemática bastante utilizadas nas ciências em geral, inclusive na própria Matemática.

Cosseno hiperbólico e Seno hiperbólico

As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, são definidas, respectivamente, por:

A função cosh é positiva, enquanto que senh é positiva para parâmetros positivos reais, negativos para parâmetros negativos reais e se anula em t=0.

Com estas duas funções cosh (cor vermelha) e senh (cor azul), também podemos definir outras funções da Matemática.

Aplicação: Ao observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso do mesmo faz com que ele fique meio arredondado, dando a impressão que o gráfico formado pela curva representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a catenária (do Latim catena=cadeia) pois foi através de uma corrente metálica formada por elos (cadeias) que se observou primeiramente tal curva.

Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante hiperbólicos

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, são respectivamente definidas por:

tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sech(t) = 1/cosh(t)
csch(t) = 1/senh(t)

quando os denominadores são diferentes de zero.

Relação fundamental da trigonometria hiperbólica

Ao tomar a diferença dos quadrados das funções cosh e senh, obtemos:

cosh²(t)-senh²(t)=[½(e^t+e^t)]²-[½(e^t+e^t)]²

efetuando as operações temos que

cosh²(t) – senh²(t) = 1

que é uma relação notável na Trigonometria hiperbólica.

Porque trigonometria hiperbólica?

A construção da trigonometria circular, é realizada sobre uma circunferência de raio unitário, dada por x²+y²=1. Tomando x=cos(t) e y=sen(t), observamos a relação fundamental da trigonometria circular:

cos²(t) + sen²(t) = 1

onde t é o ângulo (tomado em radianos).

Na construção da trigonometria hiperbólica, usamos uma curva denominada hipérbole, representada por x²-y²=1. Tomando x=cosh(t) e y=senh(t), observamos a relação fundamental da trigonometria hiperbólica:

cosh²(t) – senh²(t) = 1

onde t é um parâmetro real que pode ser interpretado geometricamente.

Trigonometria circular versus Trigonometria hiperbólica

Praticamente todas as propriedades da trigonometria circular podem ser transladadas para a trigonometria hiperbólica, com o cuidado de observar muitas vezes a troca do sinal de “+” pelo sinal de “-“.

Para as derivadas, temos a tabela:

Funções inversas da trigonometria hiperbólica

É possível definir a função inversa de cosh, que será identificada por arccosh, assim como de todas as outras funções trigonométricas hiperbólicas. O procedimento é semelhante em todos os seis casos.

Se cosh(u)=t, obteremos o valor de u em função de t, denotando-o por qualquer uma das duas formas abaixo:

u = arccosh(t) = cosh^-1(t)

Pela definição dada na parte inicial desta página, segue que:

t = cosh(u) = ½(e^u + e^-u)

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2t = e^u + 1/e^u

Tomando e^u=x, obteremos 2t=x+1/x, ou seja, x²-2tx+1=0. Resolvendo esta equação do segundo grau em x e usando a notação R[z] para a raiz quadrada de z>0, obteremos:

e^u = x = t + R[t²-1]

Aplicando o logaritmo natural a ambos os membros dessa igualdade, obtemos:

u = log(t+R[t²-1])

Assim, a função inversa de cosh é a função definida por:

arccosh(t) = cosh^-1(t) = log(t + R[t²-1])

Integrais difíceis e Aplicações

Com a trigonometria circular

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho facilitado! A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria circular,

cos²(t) + sen²(t) = 1
cos²(t)-sen²(t)=cos(2t)

teremos

resolvendo o sistema:

C + S =
C – S = 0

obteremos,

C = S = /2

Aplicação: Já sabemos do Ensino Fundamental que a área do círculo envolvido pela circunferência x²+y²=r² é dado por A=r². Podemos obter tal resultado através de uma integral com uma substituição trigonométrica.

Explicitaremos y em função de x e consideraremos esta função no primeiro quadrante para obter para 0<x<r:

y(x) = R[r²-x²]

em que a notação R[z] representa a raiz quadrada de z>0.

A integral dessa função no intervalo [0,r] nos fornece a área A que corresponde à área da quarta parte do círculo.

Usando a mudança de variáveis x=rsen(t), dx=rcos(t)dt, obteremos:

Com a trigonometria hiperbólica

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho muito facilitado!

A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria hiperbólica,

cosh²(t) – senh²(t) = 1
cosh²(t)+senh²(t)=cosh(2t)

nos dá:

U – V = x
U + V = ½ senh(2x) = senh(x).cosh(x)

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U = ½(x+senh(x).cosh(x))
V = ½(-x+senh(x).cosh(x))

Aplicação: Obteremos a área da região do 1o. quadrante localizada sob a hipérbole x²-y²=1, acima do eixo OX e à esquerda da reta x=t.

Usaremos a integral com uma substituição trigonométrica hiperbólica. Inicialmente, explicitando o valor de y em função de x e consideraremos esta função no 1o. quadrante para obter, com 1<x<t:

y(t) = R[x²-1]

A integral dessa função no intervalo [1,t] nos fornece:

Com a mudança de variáveis x=cosh(v), dx=senh(v)dv teremos a integral indefinida:

I = integral(R[cosh²(v)-1] senh(v)dv)
  = integral(senh²(v))dv
  = ½[-v + senh(v).cosh(v)]

Voltando às variáveis originais, poderemos escrever:

I = ½ (-arccosh(x) + x R[x²-1])

Desse modo, a área desejada será dada por:

Área = ½(-arccosh(t) + t R[t²-1])

ou então,

Área = ½(-log(t + R[t²-1]) + t R[t²-1])