Áreas de regiões circulares

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares

Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.

Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que també aumenta:

1. O apótema, aproximando-se do raio do cículo como um limite.
2. O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite.
3. A área, aproximando-se da área do círculo como um limite.

Neste trabalho não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.

A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.

O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.

Perímetro do círculo e da circunferência

Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente.

Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

Relações associadas ao perímetro

1. Com base nestas duas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência:

   A razão entre o perímetro e o diâmetro
   de uma circunferência é uma constante

2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.
   

   A1 A2 = D1 D2 = r1 r2

3. Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada Pi, denotada pela letra grega que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é:

   = 3,1415926536….

Área do círculo

Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo são:

Área = r² = ¼ D²

Proporção com áreas: Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.

Arcos

O comprimento de um arco genérico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco AB contendo vários pontos A=P_o, P₁, P₂, P₃, …, P_n-1, P_n=B, formando n pequenos arcos e também n pequenos segmentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP₁, P₁P₂, …, P_n-1B.

A idéia aqui é tomar um número n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.

O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente.

Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus=2radianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincidirá com o comprimento do arco da mesma e é dado por:

Perímetro da circunferência = 2r

Comprimento do arco: Seja um arco AB em uma circunferência de raio r e m a medida do ângulo correspondente, sendo m tomado em graus ou em radianos. O comprimento do arco pode ser obtido (em radianos) por:

Comprimento do arco AB = r m/180 = r m

Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… 2 Pi r
m   graus ……… Comprimento de AB

logo

comprimento do arco AB = m r / 180

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… 2 Pi r
m    rad ……… comprimento de AB

assim

Comprimento do arco AB = r m radianos

Setor circular

Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.

Usando a figura acima, podemos extrair algumas informações:

1. OACB é um setor circular
2. OADB é um setor circular
3. r é o raio de cada um dos setores
4. ACB é o arco do setor OACB
5. ADB é o arco do setor OADB.
6. Tomando m como a medida do arco ACB (em graus ou radianos), a área do setor circular OACB será dada por:

Área do setor circular OACB = r² m/360 = ½ m r²

Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… Área do círculo
m   graus ……… Área do setor OACB

logo

Área(setor OACB) = Pi r² m / 360

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… Área do círculo
m    rad ……… Área setor OACB

assim

Área(setor OACB) = ½ m r² radianos

Segmento circular

Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura abaixo, existem dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.

A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB.

Área(segmento) = Área(setor OACB) – Área(triângulo AOB)

A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.

Curiosidades sobre o número Pi

1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem:

   "Fez também o mar de fundição; era redondo
   e media dez côvados duma borda à outra, cinco
   côvados de altura e trinta de circunferência."
   

   sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.

2. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.
3. O símbolo usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII.
4. O valor de correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.
5. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento Pi através de régua e compasso.
6. O número exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.
7. Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de com mais de cem mil dígitos decimais.

Detalhes sobre o cálculo de Pi: De modo análogo ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.

Perímetro polígono inscrito 2r < < Perímetro polígono circunscrito 2r

Tais relações estão na tabela com dados sobre o polígono regular dado:

Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.

Outra forma (lenta) para obter o número Pi, é:

A forma mais rápida que conhecemos para obter Pi, é:

obtida em The miraculous Bailey-Borwein-Plouffe Pi Algorithm.