Como calcular seno, cosseno e tangente

O Ensino da Matemática com Significação nos Anos Iniciais da Educação Básica

RESUMO

O conteúdo deste trabalho foi desenvolvido pela acadêmica Sueli dos Santos do curso de Pedagogia modalidade Licenciatura para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental do Núcleo Aberto e a Distância do Instituto de Educação da Universidade Federal de Mato Grosso, para conclusão da área de Matemática. Preocupa-se em discutir sobre como o processo de ensino-aprendizagem da Matemática deve acontecer nos alunos dos Anos Iniciais da Educação Básica com significação. Porque é importante que os alunos das Séries Iniciais do Ensino Fundamental construam o pensamento lógico-matemático de forma organizada. Fazendo relação do que eles conhecem do seu convívio sócio-cultural com o que a escola ensina, além de fornecer elementos básicos para a participação desses alunos para a vida em sociedade. Hoje, entende-se que uma educação de qualidade só é alcançada pelo aluno se o professor levá-lo a refletir sobre situações que o rodeia no mundo real, na busca de fazer com que esse aluno vislumbre a aprendizagem seja matemática ou não fazendo relações.

INTRODUÇÃO

No âmbito escolar, a educação da matemática é vista como uma linguagem capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferenças. Na escola a criança deve envolver-se com atividades matemáticas que a educam nas quais ao manipulá-las ele construa a aprendizagem de forma significativa, pois o conhecimento matemático se manifesta como uma estratégia para a realização das intermediações criadas pelo homem, entre sociedade e natureza.

Mas, a construção desse conhecimento pelos alunos ainda está muito longe porque a prática desenvolvida por muitos professores ainda é tradicional, a prática deles não leva seus alunos a construírem uma aprendizagem voltada para a realidade na qual seus alunos participam.

As críticas acerca dos resultados negativos do ensino da matemática levam professores comprometidos com a educação da matemática nas séries iniciais do ensino fundamental a buscarem caminhos para solucionar essas deficiências apresentadas pelos alunos, eles buscam ensinar a matemática voltada à realidade dos alunos.

Infelizmente o ensino da Matemática, em muitas escolas e por muitos professores, ainda está direcionado para atuar como um instrumento disciplinador e excludente. Uma grande maioria de professores tem como único objetivo ensinar a Matemática sem se preocuparem em repassar para o aluno um conhecimento matemático significativo.

No entanto as críticas, que de todos os lados se levantam contra os vários aspectos e resultados do ensino da Matemática, vêm, em todo o mundo, ocasionando debates que levam os profissionais da área a repensar o seu papel e a procurar novas estratégias didáticas. Eles buscam atividades matemáticas que sejam realmente educativas e não meramente um treino em uma linguagem sem sentido para o aluno.

Se o professor conseguir trabalhar nessa linha, a Matemática será um instrumento de primeira para educar o indivíduo socialmente. Mas ainda, ela será um instrumento ímpar para trabalhar sua formação. Basta lembrarmos que ela é uma das atividades humanas que exigem o trabalho simultâneo dos dois hemisférios cerebrais, como vimos no fascículo 1 de Contactos Matemáticos do Primeiro Grau de Reginaldo Naves de Souza Lima. A aplicação de pelos menos dezoito raciocínios e a utilização de pelo menos três inteligências, tendo um fundo emocional não desprezível que a maioria das pessoas desconhece.
Profissionais da área que se preocupam em desmistificar o ensino da Matemática acreditam que é possível alcançar esses objetivos desde que seja levada em consideração a realidade das influências sofridas pelos alunos em sala de aula de Matemática. Para eles, em verdade está a influência de pelo menos quatro elementos: 1º o professor – 2º o conhecimento lógico-matemático – 3º o ambiente (pais, administração escolar, colegas e espaço físico) – 4º o aluno.

Na vida, ninguém quer enfrentar dificuldades, suportar dores ou ter sofrimentos indevidos. Por outro lado, as coisas que são capazes de provocar satisfação real nas pessoas não causam aborrecimento a elas, porque nelas, as pessoas sempre descobrem experiências novas. É razoável então, pensar que as abordagens da aprendizagem que não conseguem dar satisfação às pessoas ou manter seu interesse, não trarão mais alegria e plenitude para a vida delas. Assim, para levar o aluno a aprender, é necessário fazer que o objeto da aprendizagem lhe se agradável e divertido.

A criança e o jovem gostam de movimentar-se, conversar, perguntar, rabiscar, brincar, colorir, cantar, jogar e, principalmente, agir. Em Educação Matemática, todas essas ações que a criança ou jovem adoram tornam-se veículos estupendos para o aluno aprender. Pois, além de satisfação e alegria, é necessário compreender que a criança ou jovem tem que se formar para enfrentar o mundo a sua frente; infelizmente, muitos não sobrevivem a esse enfrentamento.

Para que sobrevivam ao máximo, a aprendizagem que a escola propicia deve preparar esse indivíduo, então, à flexibilidade. Isto significa que, a cada instante, as pessoas são exigidas a se safarem de situações-problemas de diferentes aspectos. Deverão aprender a resolver essas situações-problemas para serem consideradas capazes para assumirem responsabilidades.

Então, só é possível deflagrar idéias matemáticas na cabeça de alguém, se esse alguém é colocado diante de uma situação envolvente que lhe seja problemática, interessante, desafiante e, ao mesmo tempo, que seja capaz de estimulá-lo a aprender. Não é uma situação lida em livro, não é uma situação apenas explicada oralmente, descrita ou exposta no quadro negro pelo professor. Tem que ser uma situação que vislumbre o aluno, que faça com que ele consiga aprender plenamente. Infelizmente, algumas escolas e professores não estão preparados para isso, falham por serem incapazes de realizar tal situação.

Aprendemos nesses estudos matemáticos que a aprendizagem matemática da criança tem que acontecer com atividades que lhe tragam significação. Atualmente algumas escolas e professores têm dado o conhecimento matemático pronto e acabado para o aluno. Não permitem ao aluno construir sua aprendizagem estabelecendo essa relação de significação.

O conhecimento matemático tem que ser construído pelo aluno por meio de atividades que lhe despertem o interesse para aprender. Fazendo relações do que ele vê dentro da escola com o que ele já conhece fora da escola. Compartilhado por ele no seu convívio sócio-cultural.

Nosso trabalho foi dividido em momentos. No primeiro refletiremos acerca do ensino da Matemática, abordando sobre os estudos de Gardner acerca das inteligências múltiplas, o ensino da matemática e a avaliação da aprendizagem. No segundo, discutiremos sobre a criança e a idéia do número e sua representação. No terceiro, um enfoque ao ensino da Geometria. Por fim, trazemos nossas considerações finais e as obras pesquisas para se concluir este relatório de final de área.

1 REFLEXÃO ACERCA DO ENSINO DA MATEMÁTICA

A Matemática surgiu na antiguidade por necessidades da vida cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de variedades e extensas disciplinas. Como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza.

Com um conhecimento superficial matemático, é possível reconhecer certos traços que a caracterizam: abstração, previsão, vigor lógico, caráter irrefutável de suas conclusões, bem como o extenso campo de suas aplicações.

A Matemática move-se quase exclusivamente no campo dos conceitos abstratos e de suas inter-relações. Para demonstrar suas afirmações, o matemático emprega apenas raciocínios e cálculos.

Em sua origem, a matemática constituiu-se a partir de uma coleção de regras isoladas de decorrentes experiências diretamente conectadas com a vida diária. Da mesma forma, a sobrevivência numa sociedade complexa, que exige novos padrões de produtividades, depende cada vez mais do conhecimento matemático. É importante destacar que a matemática deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode fornecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua capacidade expressiva, de sua sensibilidade e estética e de sua imaginação.

No âmbito escolar, a educação matemática é vista como uma linguagem capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferentes mudanças e implicações. Segundo D`Ambrósio, a matemática tem sido concebida e tratada como conhecimento congelado, criando barreiras entre o educando e o objeto de estudo por não possuir a dinâmica do mundo na qual o mesmo está inserido.

A história nos mostra que o ensino da matemática foi organizado a partir das necessidades de cada povo. Os primeiros indícios de construção de conhecimentos matemáticos são heranças dos povos egípcios e babilônios (2500 a.c). Esses povos a usavam para resolver problemas práticos, geralmente ligados ao comércio, cálculo de impostos, construções de habitações, monumentos funerários e medidas de terras. Porém a concepção do conhecimento matemático abstrato, independente do empírico, influência, até hoje, na matemática que se quer ensinar na escola.

1.1 As Inteligências Múltiplas de Gardner e o ensino da Matemática

No início da década de 1980, Howard Gardner, claramente explica em suas obras, as teorias das inteligências múltiplas que possui atualmente milhares de adeptos e que se constituiu como prática pedagógica de inúmeras escolas no mundo inteiro.

As repercussões do avanço científico representado pelo conhecimento do cérebro são extremamente significativas para a medicina na compreensão de disfunções mentais e para o cuidado das enfermidades e patologias cerebrais. Também na educação, que lança novas bases e, eventuais diretrizes, para compreender a aprendizagem, desenvolve estímulos às inteligências com o fim de cuidar dos distúrbios ligados à atenção, criatividade e memorização.

Segundo Gardner o nosso cérebro abriga oito inteligências ou capacidades, são elas:

Cabe a escola estimular nos alunos essas inteligências por meio de estratégias pedagógicas (jogos, brinquedos e brincadeiras), de forma que eles consigam desenvolver suas habilidades e competências. Assim, é importante que o professor saiba como atuar pedagogicamente com seus alunos para que eles alcancem esses objetivos. Porque durante muitos anos, o cérebro humano foi considerado como sendo uma área impenetrável. Há muitas décadas já se compreendia o funcionamento de várias partes do corpo humano, mas, o cérebro ainda era considerado como sendo uma estrutura impenetrável, apenas era possível visualizá-lo após o falecimento de suas funções neuronais. Nos dias de hoje, estudos acerca do funcionamento da mente e do cérebro vêm se tornando cada vez mais populares, pois, atualmente dispomos de novas tecnologias que são capazes de fornecer subsídios mais concretos sobre estes assuntos.

Quanto ao entendimento de como ocorre a aprendizagem da matemática, a Psicologia da Educação relaciona a proposição numa abordagem integrada do individuo humano que se dispõe a aprender matemática como alguém possuidor de uma subjetividade sempre embebida em um contexto cultural especifico, porém jamais submetida ou diretamente moldada por este ultimo. Abordar esta mesma discussão agora de um ponto de vista metodológico implica eleger o foco de analise suficientemente circunscrito para ser pesquisado e, simultaneamente, complexa pra ser representativo das situações de aprendizagem em matemática, de forma a se poder construir uma boa narrativa a cerca de pessoas envolvidas em atividades de aprendizagem da matemática. “ O cérebro funciona em módulos cooperativos que se ajudam na hora de recuperar informações. Quanto mais caminhos levam a ela, mais fácil será o resgate”, (Revista Nova Escola, p. 44, 06/2003).

1.2 A avaliação da aprendizagem matemática

Atualmente as escolas, na sua grande maioria, possuem uma política de avaliação de rendimento escolar centrada por assim dizer, na dicotomia aprovação/reprovação. Neste contexto, não há espaço para uma prática de avaliação, que ajude na identificação de superação de dificuldades no processo de ensino e aprendizagem, tanto do aluno como do professor.

A avaliação na maioria das nossas escolas, públicas ou não, é eminentemente somativa, sempre preocupada com os resultados finais que levam a situações irreversíveis no que diz respeito ao desempenho dos alunos, sem que sejam levadas em contas a muitas implicações, inclusive sociais, de um processo decisório fatal do ponto de vista educativo.

Nos valendo das idéias de Piaget (1991) que considera que a escola e alguns professores têm retirado a autonomia do aluno como meio para desenvolver a aprendizagem com maior eficiência e criatividade. Segundo ele, os professores com atitudes negativas não encorajam os alunos a desenvolverem e a atingirem a esta autonomia, limitando muito o desenvolvimento do pensamento crítico, isto, os professores com atitudes negativas dão oportunidade aos alunos de persistirem em seus próprios esforços. Portanto, é de fundamental importância que as escolas desenvolvam programas que ajudem não apenas o aluno, mas também os professores a desenvolver atitudes favoráveis em relação a aprendizagem matemática.

É Fundamental ver o aluno como um ser social e político sujeito de seu próprio desenvolvimento. O professor não precisa mudar suas técnicas, seus métodos de trabalhos; precisa sim, ver o aluno como alguém capaz de estabelecer uma relação cognitiva e efetiva, mantendo uma ação interativa capaz de uma transformação libertadora, que propicia uma vivencia harmoniosa com a realidade pessoal e social que o envolve.

Assim, compreendemos que o professor que leciona matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental deve agir sempre como facilitador, aquele que ajuda o aluno a superar seus limites. Valendo-se de atividades e avaliações criativas que permita ao seu aluno construir a aprendizagem de forma significativa, ou seja, que o faça interagir conhecimento escolar com o meio social no qual está inserido.

2 A CRIANÇA E A IDÉIA DO NÚMERO E SUA REPRESENTAÇÃO

2.1 O Número Natural

O Número Natural nasceu da necessidade de se compararem umas as outras grandezas discretas. As combinações dessas grandezas deram origem à idéia de operação sobre números. A pratica da adição e o conhecimento mais ou menos claro das suas propriedades fazem parte da atividade mental elementar. Reunir coleções distintas em uma única, e prever o resultado, essa operação banal é a gênese do pensamento matemático.

Os documentos de fontes babilônica e egípcia revelam, desde épocas muito remotas, um grande adiantamento nos processos de cálculos, compreendendo a adição, a multiplicação, a divisão, a determinação de quadrados e cubos. As tabuas babilônicas remontam ao ano 2300 a.C., e empregam os sistemas de numeração decimal e sexagesimal. Serviam os cálculos e fins exclusivamente utilitários; nas medidas, nas trocas comercia nas combinações do calendário, etc.

O numeral, de acordo com Piaget, e uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objeto (por abstração reflexiva). Uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica.

A teoria do número de Piaget também é contrária ao pressuposto comum de que os conceitos numéricos podem ser ensinados pela transmissão social como o conhecimento social (convencional), especialmente em relação ao ato de ensinar as crianças a contar. Exemplos de conhecimentos sociais (convencional) são os que se referem a fatos como de que o natal sempre ser comemorado no dia 25 de dezembro, que algumas pessoas cumprimentam-se em certas circunstâncias, apertando as mãos, e que as mesas não foram feitas para que se fique de pé sobre elas.

A origem fundamental do conhecimento social é pautada em convenções construída pelas pessoas. A característica principal do conhecimento social e a de que possui uma natureza amplamente arbitrária. O mesmo objeto pode ter diversos nomes varias línguas distintas, uma vez que não exista nenhuma relação física ou lógica entre um objeto e seu nome. Portanto, para a criança construir o conhecimento social e indispensável a interferência de outras pessoas.

Portanto, a visão de Piaget constata com a crença de que um mundo dos números em direção ao que toda criança deve ser socializada. Pode-se afirmar que há consenso a respeito da soma de 2+3, mas nem o número, nem a adição estão lá fora, no mundo social, para serem a resposta correta para 2+3, mas não será possível ensinar-lhes diretamente as relações que subjazem esta adição. Da mesma forma, até as crianças de dois anos podem ver a diferença entre uma pilha de três blocos e uma de dez. Mas isto não implica que o número esteja lá fora, no mundo físico, para ser aprendido através da abstração empírica. “A atividade matemática escolar não é um olhar para as coisas prontas e definidas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servira dele para compreender e transformar sua realidade”, (PCN: Matemática, p.19, 2001).

A criança que já construiu o conhecimento lógico-matemático é capaz de representar esta idéia com símbolos ou com signos. Na teoria de Piaget os símbolos diferem dos signos no sentido de que os símbolos mantêm uma semelhança figurativa com os objetos representados e são criados pela criança.

O objetivo para ensinar o número e o da construção que a criança faz da estrutura mental de número uma vez que esta não pode ser ensinada diretamente, o professor deve priorizar o ato de encorajar a criança a pensar ativa e autonomamente em todos os tipos de situações. Uma criança que pensa ativamente, constrói o número. A tarefa do professor a encorajar o pensamento espontâneo da criança, o que é muito difícil porque a maioria de nos foi treinada para obter das crianças a produção de respostas certas. As relações são criadas pelas crianças a partir de seu interior e não lhe são ensinadas por outrem. No entanto, o professor tem um papel crucial na criação de ambiente material e social que encoraje a autonomia e o pensamento.

As crianças podem saber como recitar números numa seqüência correta, não escolhem necessariamente usar esta aptidão como ferramenta confiável. Quando a criança constrói a estrutura mental do número e assimila as palavras e esta estrutura a contagem torna-se um instrumento confiável. No entanto, antes dos sete anos de idade, a correspondência um a um, a copia da configuração espacial, ou mesmo estimativas imperfeitas representam para a criança procedimentos mais viáveis.

As crianças não aprendem conceitos numéricos com desenhos. Tampouco aprendem conceitos numéricos meramente pela manipulação de objetos.Elas constroem esses conceitos pela abstração reflexiva a medida em que atuam (mentalmente) sobre os objetos.

Hoje em dia, os educadores da educação pré-primaria freqüentemente definem seus objetivos dizendo que as crianças devem aprender os chamados conceitos, tais como os de números, letras cores, formas geométricas, em cima, embaixo, entre, da esquerda, mais cumprido, primeiro, segundo terceiro e etc.

Algumas habilidades matemáticas que a criança pré-escolar e ate a idade de 8 anos apresenta antes mesmo de ser formalmente instruída sobre conceitos matemáticos. Essas habilidades referem-se aos conceitos espontâneos que a criança constrói a partir de suas experiências e ações sobre o mundo. “É possível concluir que existe um conhecimento intuitivo, espontâneo, sobre adição e a subtração desde muito cedo, conhecimento este que antecede a instrução escolar”, (Revista SBEM, nº 3, p. 43, 2º sem 1994).

Na teoria piagetiana, a brincadeira não recebe uma conceituação especifica. Entendida como ação assimiladora, a brincadeira aparece como forma de expressão da conduta, dotada de características metafóricas com espontânea, prazerosa, semelhantes as do romantismo da Biologia. Ao colocar a brincadeira dentro do conteúdo da inteligência e não na estrutura cognitiva, Piaget distingue a construção das estruturas mentais da aquisição de conhecimentos. A brincadeira enquanto processo assimilativo e participa da inteligência, a semelhança da aprendizagem.

Através do lúdico a criança assume o conteúdo matemático com a finalidade de desenvolver habilidades de resolução, dando a si mesma a oportunidade de estabelecer e atingir determinados objetivos. Na maioria das vezes os professores deixam de buscar alternativas pedagógicas que favoreçam aos alunos construírem a aprendizagem de forma que eles sejam capazes de desenvolverem suas habilidades e competências. Penso que, é bastante importante para o professor estar sempre atento para ampliar meios e recursos para estimular o interesse e a participação da criança na sala de aula. Acredito que, uma criança entenderá de melhor maneira os números e as operações matemáticas se puderem manipular materiais concretos. Pois a criança conseguirá, desta maneira, estabelecer as relações necessárias entre o conhecimento dado na escola com o que ela conhece de mundo.

2.2 O Número Racional

O estudo do número racional é geralmente desenvolvido pela escola de forma fragmentada. O conceito de número racional, por ser bastante complexo do ponto de vista matemático, gera uma serie de dificuldades no processo ensino-aprendizagem, cuja superação tem motivado a realização de pesquisas.

Sumérios, egípcios e babilônios já usavam frações em 3100 a.C. quando registravam em tabuletas de argila fresca o inventário de seus bens com sacos de grãos, etc. As representações eram esquisitas, bem diferentes da atual. Um lado da tabuleta trazia a quantidade dos bens. Os totais vinham no verso. Como no criptograma das palavras cruzadas, os símbolos foram decifrados pelos historiadores depois de seguidas substituições nas duas faces das tabuletas. Primeiro se chegou aos inteiros, entalhes simples que se repetiam. Como esses números eram sempre registrados em ordem crescente, concluiu-se que o que estava à esquerda da unidade era sempre uma fração.

Aguiar (1980), desenvolveu um estudo com o objetivo de analisar, dentre outros, a natureza dos processos envolvidos na construção do conceito de fração, verificando que as relações parte-todo e parte-parte, indicadas por Piaget, entram no desenvolvimento dos conceitos de frações…idênticas e equivalentes,… inicialmente, através da contagem e da impressão perceptiva da magnitude das figuras geométricas, e sem que haja articulação entre esses dois processos (p.6-7).

Lima (1985) analisou o desenvolvimento dos conceitos de fração e de conservação em quantidades discretas e contínuas, constatando que a conservação da quantidade discreta (de coleções) antecede a conservação de quantidades contínuas (áreas, volumes etc.), em geral, em torno de um ano, pelo fato da criança lidar muito cedo com conjuntos e coleções. Iniciar, portanto, o estudo da fração utilizando coleções e fracionando as mesmas talvez seja o mais indicado.

Guimarões e Silva (1991), observaram que as dificuldades dos alunos e dos professores envolvendo as frações com quantidades discretas eram as mesmas, embora estes tenham apresentado um melhor desempenho que os alunos, resolvendo as frações com quantidades contínuas. Encontraram, trataram, também, indicações de que as dificuldades se relacionavam mais ao ensino do que aobstáculos relativos ao desenvolvimento dos alunos. Para aprofundar a analise sobre dificuldades na resolução de problemas com frações, Carraher e Schliemann (1992) investigaram a utilização de frações literais e frações relativas. Concluíram que havia uma grande tendência, por parte de alunos, em relacionar o numerador e o denominador, respectivamente, ao numero de elementos marcados e ao numero total de elementos de um conjunto. Quando não havia essa relação muitos alunos não aceitavam a fração como uma representação da figura.

Os resultados das análises quantitativas evidenciaram o progresso dos alunos, com a intervenção e os seguintes aspectos: os alunos não cogitam de que a divisão tem que ser em partes iguais para que se obtenha uma fração; as questões de equivalência crescem em dificuldade quanto há necessidade de um passo intermediário; é muito difícil para os alunos estabelecerem relações entre as questões que envolvem representações gráficas relacionadas com equivalência; as dificuldades nas questões de ordenação aumentam sensivelmente quando o número de frações é maior do que dois.

A noção de equivalência é em geral explorada apenas por meio da regrinha obtêm-se uma fração equivalente a uma fração dada, multiplicando ou dividindo mero, diferente de zero. Ela, no entanto, não diz nada ao aluno.

O conceito de frações equivalentes como àquelas que representam a mesma quantidade só pode ser construído a partir de experiências concretas e representações gráficas que são dadas aos alunos por meio de atividades lúdicas que trazem a realidade que eles vivenciam para a sala de aula.

3 UM ENFOQUE AO ENSINO GEOMÉTRICO

O homem neolítico representava elementos do seu convívio, através de desenhos, criando utensílios e instrumentos para expressar as relações vivenciadas por ele no seu dia-a-dia. Ele registrou a historia e demonstrou preocupação com, as relações espaciais. As primeiras considerações que o homem fez a respeito da Geometria são, inquestionavelmente, muito antigas. Parecem ter se originado de simples observações provenientes da capacidade humana de reconhecer configurações físicas de comparação de formas e tamanhos.

Num outro período histórico, os egípcios utilizaram processos de medição de terras com a finalidade de resolver o problema oriundo das enchentes anuais do rio Nilo que apagava as demarcações das terras ao seu redor. Essas demarcações foram determinantes para regularizar as posses e efetuar a cobrança dos impostos sobre as terras. Todos esses conhecimentos antigos foram deixados como experiência para a posteridade.

Inúmeras circunstâncias da vida, até mesmo do homem mais primitivo, o levavam a um certo montante de descobertas geométricas subconscientes. A noção de distância foi, sem dúvida, um dos primeiros conceitos geométricos a serem desenvolvidos. A necessidade de delimitar a terra levou à noção de figuras simples tais como retângulos e quadrados. Outros conceitos geométricos simples, como as noções de vertical, paralelismo e perpendicularismo, teriam sido sugeridos pela construção de muros e moradias.

As muitas observações do cotidiano levaram o homem primitivo à concepção de curvas, superfícies e sólidos. Por exemplo, há registro de figuras desenhadas em paredes de cavernas que sugerem círculos numerosos, entre outros o contorno do sol e da lua, o arco-íris, as sementes de muitas flores e o corte transversal de um tronco de árvore.

Em outros registros aparece o desenho do lançamento de uma pedra, que arremessada descreve o trajeto de uma parábola; uma corda não esticada e pendurada pelas pontas forma uma catenária; uma corda enrolada forma um espiral; os círculos de crescimento do tronco de uma árvore, os círculos concêntricos provocados na superfície de um lago por uma pedra nele arremessada e figuras sobre certas conchas que sugerem a idéia de famílias de curvas.

Muitas frutas e seixos são esféricos e bolhas de água são hemisféricas; alguns ovos de pássaros são aproximadamente elipsóides de revolução; um anel é um toro; troncos de arvores são cilindros circulares; configurações cônicas são freqüentemente encontradas na natureza. Oleiros primitivos construíam muitas superfícies e sólidos de revolução. Corpos de homens e animais, a maioria das folhas e flores e certas conchas e cristais ilustram a idéia de simetria. A idéia de volume surge imediatamente ao se considerarem recipientes para conter líquidos e outras mercadorias. Assim, podemos dizer que a geometria empregada pelo homem primitivo para fazer ornamentos decorativos e desenhos preparou o caminho para o desenvolvimento geométrico posterior.

Por volta do ano 600 a.C., os gregos começaram a introduzir a dedução geométrica, dando origem ao que hoje consideramos geometria demonstrativa. Com o passar do tempo esse olhar sobre o pensamento geométrico tornou-se o estudo axiomático-material do espaço físico idealizado: formas, tamanhos e relações de objetos físicos contidos no espaço. Para os gregos só havia um espaço físico e uma única geometria; estes eram conceitos absolutos, o espaço não era pensado como uma coleção de ponto de vista, a relação básica em geometria era a de congruência ou superposição.

Por um longo tempo a compreensão da geometria esteve intimamente ligada ao espaço físico, começando na verdade como uma acumulação gradual de noções subconscientes sobre o espaço físico e as formas contidas nesse espaço. A essa visão primitiva damos o nome de geometria subconsciente. Mais tarde, a inteligência humana evoluiu tornando-se capaz de consolidar conscientemente algumas das noções primitivas da geometria num conjunto de leis e regras um tanto geral. Os estudiosos chamam essa fase laboratorial do desenvolvimento do pensamento geométrico de geometria cientifica.

Todos esse caminhar concuminou na atual conhecimento chamada de geometria analítica que, na primeira metade do século XVII, passa a considerar o espaço como sendo como uma coleção de pontos. Com a invenção da geometria não euclidiana clássica, cerca de dois séculos mais tarde, os matemáticos aceitaram a situação de que há mais do que um espaço concebível e, portanto, mais do que um só olhar geométrico. Mas o espaço ainda era considerado como um lugar onde as figuras podiam ser comparadas entre si. A idéia central tornou-se a de um grupo de transformações congruentes do espaço em si mesmo, e a geometria passou ser considerada como estudo das propriedades das configurações de pontos que permanecem inalterados, como os espaços circundantes que estão sujeitos constantemente a transformações.

Há muitas áreas da matemática em que a introdução de um procedimento e uma terminologia geométrica simplifica na compreensão como a apresentação de um determinado conceito ou desenvolvimento. Isto está se tornando cada vez mais evidente, tanto que muitos matemáticos do século XX sentem que talvez a melhor maneira de descrever a geometria hoje não seja como um corpo de conhecimentos, algo separado e determinado, mas como um ponto de vista, uma maneia particular de observar o espaço.

Além de a linguagem da geometria freqüentemente ser muito mais simples e elegante do que a linguagem da álgebra e da análise, às vezes é possível levar a cabo linhas de raciocínio rigorosas em termos geométricos sem traduzi-las para a álgebra e a análise. Disso resultou uma economia considerável, tanto de reflexões como de comunicações de reflexões. Além disso, talvez este seja o aspecto mais importante, as imagens geométricas sugeridas freqüentemente levam a resultados e estudos adicionais, dotando-nos de um instrumento poderoso de raciocínio indutivo criativo.

No inicio da década de 60 que se generaliza, também no Brasil, a influencia do movimento da matemática moderna, cuja idéia central é adaptar o ensino da matemática às novas concepções surgidas com evolução deste ramo do conhecimento. São lançados os primeiros livros didáticos de matemática escritos de acordo com a nova orientação. Neles, com nos demais que serão publicados a partir daí, está presente a preocupação com as estruturas algébricas e com a utilização da linguagem simbólica da teoria dos conjuntos. Quanto ao ensino da geometria, opta-se, num primeiro momento, por conceituar nesses livros as noções de figuras geométricas e de intersecção de figuras como conjuntos de pontos no plano, adotando-se para sua representação, a linguagem simbólica da teoria dos conjuntos.

A evolução do conhecimento da geometria para as crianças é bem conhecida e fácil de ser observada, pois essa compreensão faz com que ela enxergue o mundo que a rodeia de forma diferenciada e esse olhar diferenciado é aprimorada na escola.

Atualmente, o entendimento sobre as figuras geométricas revela-se necessário, em maior ou menor intensidade, para profissionais de diferentes áreas das atividades humanas. Por exemplo, engenheiros, artistas plásticos, geógrafos, pilotos de avião, de veículos terrestres ou marítimos, etc. Portanto, são necessários para a criança que futuramente exercerá uma dessa ou de outras funções na sociedade que a circunda.

Os resultados que destacam o papel da geometria no ensino da matemática são em número reduzido e ainda não chegaram às escolas. O próprio desenvolvimento da ciência matemática, ao gerar teorias mais abrangentes, vem dedicando menos tempo as investigações nesse campo, porque se considera a geometria difícil, muito abstrata.

Ocasionalmente, a maior parte dos professores que atuam nos anos iniciais do Ensino Fundamental direciona sua preferência apenas para temas aritméticos. Esses temas, por sua vez, são desenvolvidos em um nível de abstração não condizente com estágio de desenvolvimento dos alunos, por exemplo, o estudante é levado a repetir definições, regras, propriedades e processos sem significação funcional para ele. Desprezam-se, desta forma, experiências preparatórias, indispensáveis a construção lógica matemática que o estuda da geometria proporciona.

O ensino da Geometria, se comparado com ensino de outras partes da matemática, tem sido o mais desvairador; alunos, professores, autores de livros didáticos, educadores e pesquisadores, de tempos em tempos, têm se deparado com modismos fortemente radicalizantes, desde o formalismo impregnado de demonstrações apoiadas no raciocínio lógico dedutivo, passando pelo raciocínio algébrico, indo até o empirismo inoperante.

No Brasil, o ensino da Geometria esta ausente ou quase ausente das salas de aula. Vários trabalhos de pesquisadores brasileiros, entre eles Peres (1991) e Pavanelo (1993), confirmam essa lamentável realidade educacional. São inúmeras as causas, porém, duas delas estão atuando fortemente e diretamente em sala de sala: a primeira é que muitos professores não detêm os conhecimentos geométricos necessários para realização de suas de práticas educativas. A segunda causa da omissão geométrica se deve a exagerada importância que entre nós, desempenha o livro didático, quer devido à má formação de nossos professores, quer devido à estafante jornada de trabalho a que estão submetidos.

No entanto, a caótica situação de ensino de geometria possui outras causas que embora mais distantes da sala de aula, não são menos maléficas que as duas anteriores. A geometria possui uma fragilíssima posição: ‘Como se pode ensinar bem aquilo que não conhece?’. Esta aí mais uma razão para o atual esquecimento geométrico.

O movimento da matemática moderna também tem sua parcela de contribuição no atual caos de ensino da Geometria: antes de sua chegada ao Brasil o nosso ensino geométrico era marcantemente lógico-dedutivo com demonstrações. A proposta de ensino da matemática moderna de algebrizar a geometria não vingou no Brasil, mas conseguiu eliminar o modelo anterior criando assim uma lacuna nas nossas praticas pedagógicas, que perdura até os dias de hoje.

A Geometria esta por toda parte, desde antes de Cristo, mas é preciso conseguir enxergá-la, mesmo não querendo, lidamos com ela a todo o momento em nosso cotidiano. Por exemplo, vemos o conhecimento geométrico nas idéias de paralelismo, perpendicularismo, conseqüência, semelhança, proporcionalidade, medição, comprimento, área volume, etc. Portanto, a aprendizagem geométrica é necessária ao desenvolvimento da criança, pois em inúmeras situações escolares requer percepção espacial. Por exemplo: algoritmos, medições, valor posicional, séries, seqüência, etc, como na leitura escrita. A Geometria pode ser ainda um excelente meio para a criança indicar seu nível de compreensão, seu raciocínio, suas dificuldades ou soluções.

A inquietação com o abandono do ensino da Geometria, abandono este que é na verdade um fenômeno mundial, parece estar ligado às questões de ordem educacional. Há, entre os matemáticos, opiniões divergentes quanto ao papel do ensino da Geometria. Hoje, tanto na educação como na pesquisa matemática, compreende-se a importância dos alunos, desde as séries iniciais do Ensino Fundamental conseguirem estabelecer relações entre o conhecimento geométrico ensinado na escola, com o que ela vivencia no mundo que a cerca, porque se compreende hoje que a aprendizagem geométrica é uma contribuição valiosíssima para que a criança consiga entender o mundo com um olhar diferenciado sobre as formas geométricas.

O ensino da Geometria na escola desde as séries iniciais da Educação Básica tem sido essencialmente utilitário. Busca-se o domínio de técnicas operatórias que são necessárias à vida prática e a atividade comercial, portanto de grande importância para o desenvolvimento do raciocínio espacial do aluno. Cabe a nós que somos professores, mediarmos este conhecimento, levando os alunos a refletirem e enxergarem a geometria em toda à parte, mesmo quando o conhecimento geométrico é trazido nos últimos capítulos dos livros.

É importante destacar que a geometria deverá ser vista pelo aluno com um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, levando-o a perceber que, a matemática está ao seu redor nas formas geométricas. Isso pode ocorrer se as aulas privilegiarem atividades significativas para os alunos, desenvolvendo neles aspectos importantes que abranjam uma postura ampliada nas atividades vivenciadas pela criança. Além de influenciarem essa criança a despertar sua imaginação, criatividade e disposição para aprender brincando.

As atividades lúdicas permitem a criança interagir com o meio, bem como se socializar com outras crianças, promovendo assim não somente o desenvolvimento cognitivo como também a socialização. Trabalhar com atividades concretas nas quais as crianças ao manipularem esses materiais consigam construir suas aprendizagens com significação, é sem sombra de dúvida tarefa do professor.

4 UM ENFOQUE SOBRE O ENSINO DA ESTATISTICA

Estatística é uma ciência que surgiu na Antiguidade e se desenvolveu paralelamente à própria civilização humana e, com certeza, dificilmente alguém conseguiria descobrir a sua origem. Haja vista que, há mais de 3.000 anos a.C., os antigos egípcios deixaram dados estatísticos sobre seus povos gravados em monumentos históricos daquela época, principalmente nas famosas pirâmides.

Além deles, os chineses, realizaram um censo demográfico no ano 2.275 a.C., e bem mais tarde, os romanos no ano 556 a.C., também realizaram trabalhos bastante semelhantes. Nessas épocas, os censos concentravam-se basicamente no levantamento do número de habitantes, nascimentos, óbitos e, até mesmo as forças de guerra, pois o principal objetivo disto estava em fornecer dados confiáveis aos então governantes.

Na era cristã, principalmente no primeiro milênio, houve, também diversos censos demográficos, notadamente em Israel e alguns paises do Ocidente. Entretanto, a partir do século XVI a Estatística começou a ganhar importância, passando a ser estudada por matemáticos e filósofos, e conseqüentemente introduzida nos currículos das grandes universidades.

O termo estatística foi utilizado em pleno século XVIII, para denominar a ciência dos negócios do Estado e significava levantamento de dados efetuados somente por órgãos governamentais. Esses levantamentos eram direcionados a orientar o Estado na cobrança de impostos, bem como, para determinar estratégias de guerras que se caracterizavam por sucessivas batalhas. Evidentemente, era necessário que os altos comandantes mantivessem um certo controle de seu potencial bélico.

Na atualidade, a Estatística é considerada como um ramo da Matemática Aplicada e Contínua que se caracteriza por um conjunto de métodos e processos que permitem coletar, organizar, descrever e analisar dados com o objetivo prático para a tomada de decisões em nível governamental e empresarial.

O termo população em estatística pode ser considerado como sendo o conjunto de objetos, pessoas ou coisas que possuem pelo menos uma característica em comum e que interessa a um determinado fenômeno coletivo.

Podemos ressaltar que a população ou universo estatístico, normalmente possui um grande número de elementos que o representa. Entretanto, na maioria das vezes, quando se pretende fazer uma pesquisa, limita-se à coleta de dados de uma pequena amostra dessa população, esses dados serão analisados e expressaram a totalidade da população envolvida na pesquisa. É indispensável que essa pequena parte da população analisada seja criteriosamente selecionada, para que represente fielmente o conjunto como um todo. Portanto, para que se conclua uma determinada pesquisa de opinião em qualquer segmento de nossa sociedade é indispensável que se tenha um método apropriado para tal.

Os dados após a coleta e organização serão tabulados e expressos na forma de tabelas de séries estatísticas, que é um conjunto de dados organizados de acordo com os critérios específicos de cada variável envolvida na pesquisa. Uma tabela tem como principal objetivo o agrupamento de dados de mesma natureza, para facilitar sua interpretação e análise. As tabelas apresentam valores absolutos coletados de forma bem organizada, resumida e de acordo com uma ordem pré-estabelecida.

Após dos dados serem organizados em tabelas de séries estatísticas poderão também se apresentar na forma de gráficos estatísticos, cujo objetivo é produzir no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos expressam de forma mais rápida e clara a compreensão das séries. Em linhas gerais, os dados estatísticos representados através de gráficos são importantes porque permitem uma visualização global do fenômeno em estudo, possibilitando uma análise rápida e segura, basicamente sem questionamentos. A sua compreensão é bastante fácil até pelos leigos em estatística.

Entretanto é fundamental que seja feito de forma criteriosa e seguindo certos padrões que venham a permitir sua interpretação de maneira objetiva. Normalmente, os gráficos são padronizados e ajustados a determinadas situações, contudo o fundamental é que eles representem, com clareza, o fenômeno estatístico para o qual foram elaborados. Pode-se, inclusive utilizar-se de cores fortes para destacar dados que merece maior atenção do observador.

Nas análises estatísticas, não se pode simplesmente observar uma seqüência estatística, mas criar mecanismo que permitam estudá-la, independente da quantidade de elementos, para tanto é conveniente a utilização de cálculos de algumas medidas que caracterizam o comportamento dos elementos de uma série estatística.

Essas medidas são chamadas de medidas de tendência central que na prática possibilitam determinar um valor compreendido entre o maior e o menor da série numérica. Em linhas gerais, as medidas de tendência central procuram estabelecer um valor no eixo horizontal chamado de eixo das abscissas, no qual se expressa a maior concentração de valores. As medidas de tendência central mais utilizadas são: A moda, a média e a mediana.

A conhecimento estatístico se expressa a todo o momento, por exemplo, em revistas, em jornais, nos livros, no noticiais televisivos, etc. Portanto, é de vital importância fazermos os alunos conhecerem a Estatística na escola, pois vivemos numa sociedade globalizada, e os fenômenos sociais se mostram a todo instante na forma de tabelas e gráficos. Isso dará condições de fazer o aluno opinar, ser crítico e atuar na sociedade de maneira responsável e coerente.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A Matemática tem sido conceituada como a ciência dos números e formas, das relações e das medidas. Mesmo sendo uma ciência que demonstra exatidão, ainda não desperta o interesse da maior parte dos alunos porque não conseguem fazer relação do que se ensina na escola com o que eles vivenciam no seu cotidiano social.

O futuro da educação matemática não depende das revisões de conteúdo, mas da dinamização deste ensino. A peça chave é o professor que deve assumir o papel de mediador ou facilitar do conhecimento para o aluno. O fazer pedagógico do professor tem que levar o aluno a refletir que a matemática não está longe dele, mas que faz parte do seu dia-a-dia de forma simples, pois no contexto sócio-cultural no qual o aluno está inserido a matemática está sempre presente.

É indiscutível que A Matemática desempenha um papel fundamental na vida do ser humano. Esse conhecimento nos possibilita resolver problemas no dia a dia. Tem muitas aplicações no mundo do trabalho, e funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimentos em outras áreas curriculares.

Também é componente importante para que se fomente a autonomia no aluno, a fim de que exerça sua cidadania com responsabilidade, pois na medida em que a sociedade utiliza os conhecimentos científicos e recursos tecnológicos de diversas áreas do conhecimento humano, direta ou indiretamente lá está a Matemática.

No campo educacional o ensino da Matemática ainda é mistificado como sendo a disciplina difícil e complicada. Alguns consideram muitos dos conteúdos trabalhados desnecessários para se viver em sociedade, porque, se acredita que alguns dos seus conteúdos geométricos e algébricos não trazem significação, não fazem relação com o que se vivencia. Porém, esse olhar negativo sobre a aprendizagem matemática tem que acabar. O professor não deve ensinar a matemática como sendo um conhecimento pronto e acabado. Ele deve facilitar sua compreensão de maneira que seus alunos construam de maneira não traumática o conhecimento lógico-matemático. Partindo do conhecimento que eles têm sobre as coisas que os rodeiam. Isso servirá para que ele compreenda que a Matemática é importante para que ele viva de forma responsável na sociedade na qual ele está inserido.

A Matemática está ligada à compreensão, isto é, construir com significado; aprender o significado de um objeto ou acontecimento, aprender a fazer relações entre eles. O conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente evolução.

Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel fundamental no processo de ensino e aprendizagem. Todos precisam estar integrados ao processo de ensino-aprendizagem da Matemática de forma que permita que os alunos consigam fazer relação do que ele aprenda na escola com o que ele vivencia.

Os alunos trazem para a escola conhecimentos, idéias e intuições, construídas através das experiências que vivenciaram em seu grupo sócio-cultural. Eles chegaram à sala de aula com diferenciadas ferramentas básicas para, por exemplo, classificar, ordenar, quantificar e medir. Além disso, aprendem a atuar de acordo com os recursos, dependências e restrições de seu meio à sobrevivência numa sociedade que, a cada dia, torna-se mais complexa, exigindo novos padrões de produtividade que depende, cada vez mais, de conhecimentos.

As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permita reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática. Quando essa capacidade é potencializada pela escola a aprendizagem apresenta, melhor resultado.

È fundamental não subestimar a capacidade dos alunos reconhecendo que resolvem situações-problemas, mesmo que razoavelmente complexas, lançando mão de seus conhecimentos sobre o assunto e buscando estabelecer relações entre o já conhecido e o novo.

Tradicionalmente, a prática mais freqüente no ensino de Matemática era aquela em que o professor apresentava o conteúdo oralmente, partindo das definições, exemplos, demonstrações de propriedades, seguidas de exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação, e propondo que o aluno aprenda pela reprodução. Essa prática de ensino mostrou-se ineficaz, pois mostra que o aluno aprendeu a reproduzir, mas não compreendeu o conteúdo. Portanto, como incentivador da aprendizagem, o professor deve estimular o aluno a construção de uma aprendizagem significativa, que se dá a partir da realização em sala de aula de atividades que imitam a realidade vivenciada por esse aluno no seu dia-a-dia.