Cálculos Trigonometria
Como calcular seno, cosseno e tangente

Como calcular seno, cosseno e tangente

 

Saber como funciona a trigonometria e para que servem os cálculos de seno, cosseno e tangente é importante para as provas do vestibular e, principalmente, para as carreiras profissionais na área de exatas. Nos itens abaixo você aprenderá o significado de cada um desses conceitos e também irá entender porque a matemática os utiliza.

Razões trigonométricas

A trigonometria é um ramo da matemática que procura estudar as relações entre os ângulos e os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. O seno, o cosseno e a tangente são medidas que estão dentro do campo das razões trigonométricas. E para entendê-los, é preciso retomar alguns conceitos. Confira:

Triângulo retângulo

Triângulo Retângulo - Toda Matéria

É chamado dessa maneira porque um de seus ângulos é reto, ou seja, possui 90°. Veja:

Lembrando que a soma de todos ângulos internos do triângulo é igual a 180°. Sendo assim, em um triângulo retângulo, é possível considerar dois fatores:

1) Ambos os outros dois ângulos são menores que 90º.

2) Os ângulos também são complementares, já que a soma dos dois deve ser igual a 90º.

Os lados dos triângulos também possuem nomes:

Hipotenusa

Ficheiro:Triangulo-Rectangulo.svg – Wikipédia, a enciclopédia livre

No triângulo retângulo, corresponde ao lado do triângulo oposto ao ângulo de 90°. Na figura abaixo, a é a hipotenusa.

Catetos

Para determinar os catetos de um triângulo, você precisa de um ângulo como referência. O lado oposto ao ângulo reto será o cateto oposto já o adjacente é o que está ao lado. Veja a figura:

B^= cateto oposto: b

cateto adjacente: c

 

C^= cateto oposto: c

cateto adjacente: b

Lembre-se do famoso Teorema de Pitágoras:

“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.”

Razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente - Mundo Educação

Seno

O seno de um ângulo é igual à medida do seu cateto oposto (Co) dividido pela hipotenusa (h), conforme a fórmula:

Cosseno

 

O cosseno de um ângulo é igual à medida do cateto adjacente (Ca) dividido pela hipotenusa (h). Veja a fórmula:

Tangente

A tangente de um ângulo é obtida pela razão entre o cateto oposto (Co) dividido pelo cateto adjacente (Ca). Veja:

Tabela trigonométrica

A tabela trigonométrica traz as medidas de seno, cosseno e tangente dos chamados arcos notáveis.

Seno, Cosseno e Tangente de 30°, 45º e 60º – GeoGebraSaber esses valores de cor na hora da prova vai ser bastante útil para você. Muitos vestibulares ainda podem oferecer a tabela, junto ou não de valores aproximados para as raízes.

Quando usar seno, cosseno e tangente?

Esses valores são utilizados para descobrir a medida dos lados do triângulo a partir das medidas de seus ângulos. São cálculos requisitados com frequência no Enem e nos principais vestibulares.

Para te ajudar a visualizar o conteúdo na prática, fizemos a resolução de um exercício. Veja:

Enem 2010

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.

Enem 2010: Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo)

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e sob um ângulo de 30°.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

  1. a) 1,8 km
  2. b) 1,9 km
  3. c) 3,1 km
  4. d) 3,7 km
  5. e) 5,5 km

Resolução:

Para calcular a distância (d) usaremos a tangente do ângulo 60°, pois:

tg 60° = h/1,8

v3 = h/1,8

h = v3 . 1,8

Sabemos que a raiz de 3 é igual a aproximadamente 1,7, logo:

h ? 1,73 . 1,8

h ? 3,11

Resposta: Letra C

A trigonometria é um assunto muito amplo e também bastante complexo. Várias fórmulas trigonométricas podem ser utilizadas para resolver o mesmo exercício do vestibular. Por isso, é importante que você estude bastante e domine o conteúdo por completo.

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A planilha de gastos pessoais é uma ferramenta poderosa, mas é preciso entender que ela será útil na organização das contas somente se os envolvidos estiverem totalmente comprometidos.

Elaborar o orçamento doméstico é uma tarefa que precisa envolver todas as pessoas de casa. Isso porque é fundamental que cada um tenha clareza sobre qual é a situação financeira em que a família se encontra no momento, qual é o objetivo em comum que se pretende alcançar e como então usar os recursos atuais disponíveis para realizar os sonhos e planos de cada um.

Conciliar os desejos e necessidades individuais e coletivas em um mesmo plano não parece ser uma tarefa fácil, certo? Por isso mesmo todos os envolvidos devem falar, ser de fatos escutados e estarem abertos ao diálogo em uma conversa totalmente transparente. Essa é uma condição indispensável para desenvolver um orçamento sustentável e atenda a todos.

Partindo então dessas premissas, seguem quatro etapas fundamentais para você poder planejar o seu orçamento doméstico de forma eficaz.

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Propriedades das potências

As potências são operações matemáticas cujas propriedades podem facilitar a realização de cálculos e a simplificação de expressões.

As propriedades das potências podem ser usadas para ajudar no cálculo e na simplificação de expressões.

As quatro operações matemáticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão, entretanto, não são as únicas operações existentes. Quando o produto envolve fatores que são todos iguais, é possível definir uma nova operação matemática: a potenciação. Como tudo na Matemática, com uma nova definição, é possível também encontrar novas propriedades exclusivas a ela.

Vale relembrar, de forma rápida, a definição de potenciação antes de prosseguir com a explicação de suas propriedades.

Definição de potenciação

A potenciação é a operação matemática baseada em um produto, na qual todos os fatores são o mesmo número real. Exemplo:

7·7·7·7

O número real que se repete é chamado de base da potência, e a quantidade de vezes que ele repete-se é denominada expoente da potência. É possível reescrever uma potência com notação própria, colocando o expoente à direita da base, como um índice superior. Veja o exemplo anterior escrito na notação de potência:

7·7·7·7 = 74

De forma geral, as potências são definidas como:

an = a·a·a·…·a, em que a repete-se n vezes.

Propriedades da potenciação

A potenciação possui oito propriedades mais importantes, com as quais é possível resolver quase todos os problemas envolvendo essa operação:

1 – Expoente zero

Sempre que o expoente de uma potência for zero, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência será igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a0 = 1

2 – Expoente unitário

Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a1 = a

3 – Produto de potências de mesma base

O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências.

Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

an∙am = an + m

Para verificar isso, observe o exemplo:

a4·a2 = a·a·a·a·a·a = a6 = a4 + 2

4 – Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os expoentes das potências que estão sendo divididas.

Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

an:am = an – m

Para verificar isso, observe o exemplo:

a9:a7 = a9 – 7 = a2

5 – Potência de potência

Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e conservamos a base.

Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, teremos:

(an)m = an·m

6 – Potência cuja base é uma divisão ou um produto

Nesse caso, cada um dos fatores deverá ser elevado separadamente ao expoente da potência. Dessa forma, se a e b forem pertencentes ao conjunto dos números reais e diferentes de zero, e m pertencente ao conjunto dos números naturais, teremos:

(a·b)n = an·bn

Se a base for uma divisão, teremos:

(a:b)n = an:bn

Esse último caso também pode ser expresso na forma de fração.

7 – Expoentes negativos

Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida.

Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos:

8 – Potências com expoente racional

Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos:

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática”

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Conversão de unidades de comprimento

Converte unidades de comprimento (metros, quilômetros, milhas etc).

Na ciência, unidade de medida é uma medida (ou quantidade) específica de determinada grandeza física usada para servir de padrão para outras medidas.

Ao longo do tempo, foi registrado o uso de diversas formas de medidas utilizadas pelos povos antigos. Os egípcios, por exemplo, utilizavam o palmo e o cúbito há 4 mil anos. Porém, nos diferentes territórios e países, os meios e as medidas usadas no dia a dia eram diferentes, assim dificultando o comércio internacional. Com o passar do tempo, e com a evidente necessidade de facilitar o comércio entre as pessoas e as nações, foi criado apenas em 1960, depois de inúmeras convenções internacionais com representantes de diversos países, o Sistema Internacional de Unidades (SI) na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas(CGPM). (Fonte: Wikipédia)

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“Vai um”? “Empresta um”? O que isso significa exatamente?
As operações de adição e subtração representam uma das grandes dificuldades para os alunos das séries iniciais. Muitos professores acreditam que, para aprender a resolver essas operações, basta decorar uma série de etapas. Por exemplo, para resolver a operação abaixo:
5+7=12
Em geral, os alunos aprendem a recitar mentalmente o que fazer: “cinco mais sete igual a doze, fica dois, vai um. Um + um + um = três. O resultado é 32”. Esse aluno sabe resolver a operação; mas, será que se lhe perguntarmos o que significa “vai 1”, ele saberá responder?
É muito importante que o professor permita ao aluno ter acesso a diferentes formas de calcular, seguindo várias propostas. As operações são ensinadas como técnicas, ou seja, séries de ações que, se repetidas, conduzem ao resultado esperado. Na maioria das vezes, essas ações são aplicadas sem que se saiba seu significado, o porquê de cada etapa; sem saber o que faz a conta dar o resultado correto.
Além disso, com frequência o ensino do algoritmo se confunde com a própria operação a que se relaciona. Dizemos, muitas vezes, que um determinado aluno já sabe somar porque ele saber fazer uma conta de adição. A operação de adição é um conteúdo bem mais amplo e complexo, que envolve várias ações e ideias, não apenas uma técnica de cálculo.
Outro ponto a ser considerado é que, para os alunos, é importante o contato com diferentes maneiras de calcular e, principalmente, que possam utilizar estratégias criadas por elas mesmas. Ao aprender o algoritmo da adição, um aluno da 1ª série, por exemplo, pode resolver esta operação da seguinte forma:
15+17=212
Como ainda não havia compreendido o transporte para a coluna das dezenas (“vai um”), somou as unidades e colocou o 12 abaixo da linha; depois, somou as dezenas e encontrou o resultado apresentado.
No entanto, se esse aluno já realiza suas contas por meio da decomposição dos números e sabe que o resultado deve estar próximo de 30 (pois somou: 10 + 10 = 20, sendo o 10 do 15 e o 10 do 17), pode perceber que seu resultado não está correto, antes mesmo que o professor aponte o erro. O fato de ter acesso a diferentes estratégias de cálculo ajuda o aluno a controlar seu resultado.
Quando vamos ao supermercado e temos que somar o total de uma compra como, por exemplo, 29 + 32, podemos:
a) Arredondar os números envolvidos e obter uma soma aproximada. Neste caso, faríamos: 30 (arredondando 29) mais 30 (arredondando 32).Portanto, 60 seria um valor aproximado do resultado.
b) Utilizar a decomposição decimal dos números. Neste caso, 29 se converteria em 20 + 9 e 32 ficaria 30 + 2. Em seguida, é preciso somar as dezenas: 20 (do 29) + 30 (do 32) = 50. Depois, somar as unidades: 9 (do 29) + 2 (do 32) = 11. Por fim, basta juntar os totais parciais encontrados: 50 + 11 = 61.
c) Recorrer a outras decomposições. Poderíamos fazer o seguinte:
29 = 25 + 4
32 = 25 + 7
29 + 32 = 25 + 25 + 4 + 7
29 + 32 = 50 + 4 + 7
A escolha da estratégia mais adequada depende da situação. No caso do supermercado, se eu quiser apenas ter uma ideia aproximada de quanto já gastei, talvez a primeira estratégia seja melhor.
O professor deve oferecer aos alunos a possibilidade de experimentar diferentes formas de cálculo favorecendo a escolha das estratégias mais adequadas à vida prática. O algoritmo tradicional (ou conta armada) também é importante e precisa ser ensinado. Mas não como a única forma de calcular e não de forma mecânica, sem que o aluno entenda o que está fazendo.
Se desejamos que nossos alunos tenham contato com o algoritmo, mas que não o aprendam como uma série de passos sem significado e também que experimentem outras estratégias, é importante dar-lhes tempo para pesquisar, trocar experiências com seus colegas e “inventar” formas de calcular, antes de aprender o algoritmo.
A busca de estratégias pessoais de realização do cálculo envolve diversos conhecimentos a respeito dos números e da maneira de operar com eles. Todo esse aprendizado será fundamental para a compreensão dos passos envolvidos na realização da conta armada.
Estratégias pessoais
Ensinar aos alunos diferentes técnicas de cálculo, com base no que eles mesmos criaram pensando em correspondências, é uma ótima maneira de valorizar suas contribuições. Além disso, garante que o aprendizado não seja memorizado mecanicamente, sendo compreendido de fato pelos alunos.
O algoritmo da subtração
Como vimos no ensino da operação de adição, a principal dificuldade é o transporte, o “vai um”.
A operação de subtração também coloca seus desafios, se quisermos que os alunos não se limitem a repetir as etapas, sem compreendê-las. No caso da subtração, o maior desafio é explicar o significado do “empresta 1”.
Por exemplo:
João tinha 72 reais. Gastou 38 reais comprando algumas roupas. Quanto sobrou? Um aluno pode resolver assim:
É simples compreender o que ele fez. Ele decompôs o 72 em 7 grupos de 10, pois sabe que o 7 do número 72 vale 7 vezes o número 10. Depois, riscou os três grupos de 10 correspondentes ao 38. Para subtrair o 8, transformou uma das dezenas restantes em dez unidades, deixando sobrar 2 (10 – 8). Feito isso, bastou contar quanto sobrou. Como seria a conta armada para resolver esse mesmo problema?
Quando cortamos o 7, para que ele “empreste 1” ao 2, estamos dando os seguintes passos:
a) Separamos uma das dezenas do 70, transformando-o em 6 dezenas + 10 unidades.
b) Juntamos as 10 unidades ao 2, totalizando 12.
É muito importante não esquecer que, nesta conta armada, o 7 não é apenas 7, na verdade, ele continua valendo 70, ou 7 dezenas. Quando “empresta 1”, está emprestando uma dezena, que se juntará às duas unidades, transformando o 2 em 12 (10 + 2). É mais ou menos isso que o aluno fez, ao transformar 10, daqueles em que decompôs o 72, em dez palitos. Ele não juntou essas dez unidades com as outras duas porque, para seu cálculo, isso não seria necessário.
Ensinar aos alunos que, no 72, o 7 vale 70 ou 7 grupos de 10; que um desses grupos de 10 corresponde a 10 unidades, e assim por diante, fica mais fácil de ser entendido.
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O Homem Vitruviano e o número Phi: a matemática da beleza

Leonardo da Vinci (1452-1519), um dos maiores gênios da humanidade, não foi só o pintor de Mona Lisa, a obra mais famosa já pintada, reproduzida e parodiada de todos os tempos. Ele também era matemático, engenheiro, cientista e inventor. E também botânico, poeta e músico.

Por volta de 1490, da Vinci produziu vários desenhos para um diário. Entre eles, está o célebre Homem Vitruviano, baseado numa passagem do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de De Architectura, um tratado de arquitetura em que, no terceiro livro, são descritas as proporções do corpo humano masculino:

“O Homem Vitruviano”, de Leonardo da Vinci. 1490, Lápis e tinta sobre papel, 34 X 24 cm

– um palmo é o comprimento de quatro dedos
– um pé é o comprimento de quatro palmos
– um côvado é o comprimento de seis palmos
– um passo são quatro côvados
– a altura de um homem é quatro côvados
– o comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura
– a distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem
– a distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem
– o comprimento máximo nos ombros é um quarto da altura de um homem
– a distância entre a o meio do peito e o topo da cabeça é um quarto da altura de um homem
– a distância entre o cotovelo e a ponta da mão é um quarto da altura de um homem
– a distância entre o cotovelo e a axila é um oitavo da altura de um homem
– o comprimento da mão é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o fundo do queixo e o nariz é um terço do comprimento do rosto
– a distância entre a linha de cabelo na testa e as sobrancelhas é um terço do comprimento do rosto
– o comprimento da orelha é um terço do da face
– o comprimento do pé é um sexto da altura

Após várias tentativas de Vitrúvio para encaixar as proporções do corpo humano dentro da figura de um quadrado e um círculo, foi apenas com Leonardo que o encaixe saiu corretamente perfeito, dentro dos padrões matemáticos esperados.

O Homem Vitruviano é considerado frequentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, por extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do quadrado (quadratura do círculo) e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional Phi (aproximadamente 1,618).

Miolo do girassol

Colmeia de abelhas

Mas o que é o número Phi ou número áureo? Este número está envolvido com a natureza do crescimento e está associado ao significado da perfeição, que pode ser encontrado em vários exemplos de seres vivos: crescimento de plantas, população de abelhas, escamas de peixes, presas de elefantes, flor de girassol, entre outros. E também em espirais de galáxias. Na matemática, o número Phi é encontrado de várias formas: Figuras Geométricas, Retângulo Dourado, Série de Frações, Série de Raízes e a Série de Fibonacci. Neste post, vou me ater ao número áureo encontrado através da Série de Fibonacci.

O número áureo pode ser aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…, na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:

2/1 = 2 ….. 3/2 = 1,5 ….. 5/3 = 1,666…… 8/5 = 1,6 …… 13/8 = 1,625

 

Muitos estudos e muitas pesquisas já se fizeram e continuarão a ser feitos desvendando os mistérios do número Phi. Importante lembrar que, desde sempre, o homem está continuamente à procura da felicidade. E a beleza, sentida ou mostrada, faz parte desta felicidade. O número áureo, sendo a representação extrema da perfeição, é a ponte que liga a Arte à Matemática, em busca da beleza, em busca da felicidade.

Autor: Catherine Beltrão

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Super calculadora

Utilize a calculadora abaixo para fazer cálculos dos mais simples aos mais complexos.. super útil

Por exemplo para resolver a equação do segundo grau on-line:

(x+10)^2-x^2=1700 escrevemos (x+10)^2-x^2=1700 e pronto, retornará x=80.

Podemos resolver outras expressões utilizando os termos abaixo:

Símbolo Operação Exemplo
^ Exponencial x^y (x elevado a y)
sqrt() Raiz quadrada sqrt(4) (raiz de 4)
^(1/3) Raiz cúbica x^(1/3) (raiz cúbica de x)
^(1/n) Raiz enésima x^(1/n) (raiz de x cujo índice é n)
log() Logaritmo comum log(x+1)
log()/log(b) Logaritmo log(x)/log(2) (log de x na base 2)
ln()/log(e) Logaritmo natural log(x+1)/log(e) = ln(x+1)
* Multiplicação 4*x (4 vezes x)
/ Divisão 1/x (1 dividido por x)
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Valor atualizado de um boleto bancário vencido

Valor atualizado de um boleto bancário vencido
Matematicando na vida!

2ª Via de Boleto da CAIXA

Na Caixa Econômica Federal, é possível usar o sistema de atualização de boletos por meio da página: https://bloquetoexpresso.caixa.gov.br/bloquetoexpresso/index.jsp. Para fazer a atualização, informe o número do boleto (código de barras). A outra opção é digitar o Código do Cedente e o Nosso Número, que são impressos na cobrança.

2ª Via de Boleto do Banco do Brasil

O Banco do Brasil também conta com um sistema online para a atualização de boletos em seu site. Basta acessar: https://www63.bb.com.br/portalbb/boleto/boletos/hc21e,802,3322,10343.bbx. Se você não conseguir fazer a atualização do valor, é preciso entrar em contato com o emissor (condomínio, escola e etc.).

2ª Via de Boleto do Bradesco

No Bradesco, a atualização dos boletos é feita pela página: https://www.bradesco.com.br/html/classic/produtos-servicos/outros/2-via-de-boleto.shtm.  Para aqueles clientes que perderam o boleto, o banco sugere que entrem em contato com o emissor para conseguir os dados e efetuar o pagamento.

2ª Via de Boleto do Itaú

Quem tem um boleto vencido do Itaú pode recalcular o valor na página: https://www.itau.com.br/servicos/boletos/atualizar/. Informe se o boleto foi emitido pelo Itaú ou pelo Unibanco e insira os dados solicitados.

2ª Via de Boleto do Santander

No Santander, a reemissão de boletos vencidos também é feita pelo site: https://www.santander.com.br/br/resolva-on-line/reemissao-de-boleto-vencido. É preciso informar os números do boleto para fazer a atualização do valor. Depois,, basta efetuar o pagamento pela internet mesmo.

Sites Para Atualização de Boletos de Cobrança

Hoje em dia, vários sites oferecem o serviço de atualização de boletos. Porém, sugerimos que você sempre faça o procedimento pelo banco emissor. Dessa forma, fica mais fácil evitar golpes, que são cada vez mais comuns com boletos e outras cobranças. Acontece que, ao gerar um novo boleto a partir de um site não seguro, o código de barras fornecido pelo site pode não corresponder corretamente ao pagamento que deseja efetuar. Na prática, você pode pagar para um terceiro.

É bom também tomar cuidados básicos de segurança, como manter o antivírus do computador sempre atualizado. Evite baixar programas e arquivos desconhecidos. Ao pegar um boleto para pagamento online, confira se os dados da linha digitável conferem com os do banco emissor. Em caso de desconfiança, procure o banco antes de pagar a conta.