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Adquira- Planilha eficaz de gastos mensais – Controle financeiro e orçamento familiar

A planilha de gastos pessoais é uma ferramenta poderosa, mas é preciso entender que ela será útil na organização das contas somente se os envolvidos estiverem totalmente comprometidos.

Elaborar o orçamento doméstico é uma tarefa que precisa envolver todas as pessoas de casa. Isso porque é fundamental que cada um tenha clareza sobre qual é a situação financeira em que a família se encontra no momento, qual é o objetivo em comum que se pretende alcançar e como então usar os recursos atuais disponíveis para realizar os sonhos e planos de cada um.

Conciliar os desejos e necessidades individuais e coletivas em um mesmo plano não parece ser uma tarefa fácil, certo? Por isso mesmo todos os envolvidos devem falar, ser de fatos escutados e estarem abertos ao diálogo em uma conversa totalmente transparente. Essa é uma condição indispensável para desenvolver um orçamento sustentável e atenda a todos.

Partindo então dessas premissas, seguem quatro etapas fundamentais para você poder planejar o seu orçamento doméstico de forma eficaz.

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Conversão de unidades de comprimento

Converte unidades de comprimento (metros, quilômetros, milhas etc).

Na ciência, unidade de medida é uma medida (ou quantidade) específica de determinada grandeza física usada para servir de padrão para outras medidas.

Ao longo do tempo, foi registrado o uso de diversas formas de medidas utilizadas pelos povos antigos. Os egípcios, por exemplo, utilizavam o palmo e o cúbito há 4 mil anos. Porém, nos diferentes territórios e países, os meios e as medidas usadas no dia a dia eram diferentes, assim dificultando o comércio internacional. Com o passar do tempo, e com a evidente necessidade de facilitar o comércio entre as pessoas e as nações, foi criado apenas em 1960, depois de inúmeras convenções internacionais com representantes de diversos países, o Sistema Internacional de Unidades (SI) na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas(CGPM). (Fonte: Wikipédia)

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Dividindo com 2 algarismos no divisor

Divisão, na Matemática, é a distribuição de determinado objeto em partes iguais. Ao dividir uma pizza, por exemplo, entre duas pessoas, o objeto “pizza” deve ser dividido em duas partes iguais, e cada uma dessas pessoas ficará com uma dessas partes.

A divisão é uma operação básica da Matemática, assim como a multiplicação, adição e subtração. Multiplicação e divisão são operações inversas, por isso, a “prova real” da divisão é feita por meio de uma multiplicação.

Imagine uma divisão entre dois números quaisquer. O número que será dividido é chamado Dividendo (D), o número pelo qual o dividendo será dividido é chamado de divisor (d) e o resultado dessa divisão é chamado de Quociente (q). Em alguns casos, uma parcela chamada Resto (r) é formada no processo de divisão.

♦ Algoritmo da divisão

O algoritmo utilizado no Brasil para realizar a divisão é conhecido como “método da chave”. Para realizar a divisão por meio desse algoritmo, devemos dispor os elementos da seguinte maneira:

Dividendo | divisor
Resto Quociente

O quociente será um número que, multiplicado pelo divisor, terá como resultado o dividendo, isto é, q·d = D

Caso essa divisão tenha resto, escreve-se: r + q·d = D

Portanto, para realizar uma divisão pelo método da chave, temos como pré-requisito saber toda a tabuada de multiplicação.

Dividindo com 2 algarismos no divisor

Entre as várias operações básicas, aquela onde os alunos têm maior dificuldade é a divisão. E quantos mais algarismos tiver o divisor, maior as dificuldades os alunos apresentam. Neste artigo você poderá aprender, também com imagens e passo a passo, como fazer “contas de dividir” com 2 ou mais algarismos no divisor.
Mas antes de passarmos à nossa explicação, é essencial que conheça o nome dos os elementos básicos da divisão. É importante saber os nomes corretos para entender quando os usarmos no nosso tutorial de como fazer divisões com 2 ou mais algarismos na chave.
Como fazer “contas” de dividir com 2 algarismos
  • 1º Passo

Marcar no dividendo o menor número possível maior ou igual ao divisor.

Pensamento: 12 é menor que 14, pego então 121

2º Passo

Em 121, quantas vezes cabe o 14?
Para descobrir que número multiplicado por 14 dê 121 ou o número que seja o mais próximo possível de 121 (neste caso tem de ser inferior e nunca superior a 121), faça os cálculos, com tentativas, mas observe que o 121 e pouco menor que 140 que é 14×10, assim o numero é pouco menor que 10.
Por exemplo,
14X7=98. Ainda está longe.
14X8=112. Já está mais perto.
14X9=126, passou . Terá de ser o 8.
3º Passo
Multiplica-se 8 pelo divisor (14), e subtrai-se o resultado a 121.
121-112 = 9. Coloca-se a diferença abaixo do 121 encostado à direita).
  • 4º Passo
Baixa-se o algarismo seguinte do dividendo.
  • 5º Passo
Repetir os passos 2 e 3.
Em 91 quantas vezes há 14? Volta-se a tentar várias opções ao lado. 14X4=56, 14X5=70, 14X6=84. Multiplica-se então 6 por 14, e coloca-se a diferença abaixo.
91-84=7
  • 6º Passo
Se após ter baixado todos os algarismos do dividendo, o resto não for ainda igual a zero, devemos então colocar então uma vírgula a seguir ao dividendo, e acrescentar um zero ao resto.
  • 7º Passo
Repetir os passos 2 e 3. Em 70 quantas vezes há 14? Tentas ao lado, multiplicando 14 por vários números. O número será o 5. Multiplica-se 5 por 14 e coloca-se a diferença em baixo.
  • 8º Passo
Depois de alcançar o resto zero, Acabou a conta! Nem sempre se chega ao resto zero, nesse caso teremos uma dízima periódica, que já é outra história

Texto adaptado do site: http://www.estudarmatematica.pt/

Financeira
Sistemas de Amortização: Price versus PES
Matemática Financeira: Sistemas de Amortização: Price versus PES
  • Introdução
  • Planilha sistema Price
  • Dados da planilha sistema Price
  • Sugestões sobre o sistema Price
  • Planilha sistema PES
  • Dados da planilha sistema PES
  • Sugestões sobre o sistema PES
  • Comparação: Price × PES

Introdução

Após consultas de várias pessoas sobre as vantagens e desvantagens dos sistemas de amortização Price e PES, resolvi realizar uma análise comparativa entre os mesmos. Estive na Caixa Econômica e solicitei planilhas de cálculo relativas aos dois sistemas para o financiamento de um imóvel com valor igual a R$15.000,00 e com o valor do empréstimo igual a R$10.000,00. Este valor é um referência para efeitos de cálculos.

A Caixa construiu as planilhas levando em consideração que a Taxa Referencial (TR) é atualizada a 0,5% ao mês e considerou nos dois casos que a Caixa estaria executando uma taxa de anual de juros da ordem de 10,5%. O prazo do financiamento foi fixado em 36 meses.

A Caixa informou que são cobradas duas taxas de seguro: 1) Seguro de 0,0164% sobre o valor do imóvel; 2) Seguro de 0,0648% sobre o valor do empréstimo. Tais valores são pagos separadamente e adicionados aos valores das prestações calculadas pelos procedimentos financeiros.

Planilha de amortização (da Caixa) para o sistema Price

No. Saldo
devedor
Correção
monetária
S.Devedor+
C.monetária
Juros Prestação Amortização Saldo a Pagar
1 10.000,00 50,00 10.050,00 87,94 325,02 237,08 9.812,92
2 9.812,92 49,06 9.861,98 86,29 325,02 238,73 9.623,25
3 9.623,25 48,12 9.671,36 84,63 325,02 240,39 9.430,97
4 9.430,97 47,15 9.478,13 82,94 325,02 242,08 9.236,04
5 9.236,04 46,18 9.282,22 81,22 325,02 243,80 9.038,42
6 9.038,42 45,19 9.083,61 79,48 325,02 245,54 8.838,07
7 8.838,07 44,19 8.882,26 77,72 325,02 247,30 8.634,96
8 8.634,96 43,17 8.678,13 75,94 325,02 249,08 8.429,05
9 8.429,05 42,15 8.471,19 74,13 325,02 250,89 8.220,30
10 8.220,30 41,10 8.261,40 72,29 325,02 252,73 8.008,67
11 8.008,67 40,04 8.048,71 70,43 325,02 254,59 7.794,12
12 7.794,12 38,97 7.833,09 68,54 325,02 256,48 7.576,61
13 7.576,61 37,88 7.614,49 66,63 325,02 258,39 7.356,10
14 7.356,10 36,78 7.392,88 64,69 325,02 260,33 7.132,55
15 7.132,55 35,66 7.168,21 62,72 325,02 262,30 6.905,91
16 6.905,91 34,53 6.940,44 60,73 325,02 264,29 6.676,14
17 6.676,14 33,38 6.709,52 58,71 325,02 266,31 6.443,21
18 6.443,21 32,22 6.475,43 56,66 325,02 268,36 6.207,06
19 6.207,06 31,04 6.238,10 54,59 325,02 270,43 5.967,67
20 5.967,67 29,84 5.997,50 52,48 325,02 272,54 5.724,96
21 5.724,96 28,62 5.753,59 50,35 325,02 274,67 5.478,91
22 5.478,91 27,39 5.506,31 48,18 325,02 276,84 5.229,46
23 5.229,46 26,15 5.255,61 45,99 325,02 279,03 4.976,58
24 4.976,58 24,88 5.001,46 43,77 325,02 281,25 4.720,21
25 4.720,21 23,60 4.743,81 41,51 325,02 283,51 4.460,30
26 4.460,30 22,30 4.482,60 39,23 325,02 285,79 4.196,81
27 4.196,81 20,98 4.217,79 36,91 325,02 288,11 3.929,68
28 3.929,68 19,65 3.949,32 34,56 325,02 290,46 3.658,86
29 3.658,86 18,29 3.677,16 32,18 325,02 292,84 3.384,31
30 3.384,31 16,92 3.401,23 29,76 325,02 295,26 3.105,97
31 3.105,97 15,53 3.121,50 27,32 325,02 297,70 2.823,80
32 2.823,80 14,12 2.837,92 24,84 325,02 300,18 2.537,73
33 2.537,73 12,69 2.550,42 22,32 325,02 302,70 2.247,72
34 2.247,72 11,24 2.258,96 19,77 325,02 305,25 1.953,71
35 1.953,71 9,77 1.963,47 17,18 325,02 307,84 1.655,63
36 1.655,63 8,28 1.663,91 14,56 325,02 310,46 1.353,45

Dados extraídos da planilha do sistema Price

Com a Matemática Financeira, extraímos informações relacionadas com a planilha apresentada e estas estão na tabela abaixo:

Informação 1 Informação 2 Indicador
Taxa de Referência (TR) Mensal 0,50%
Taxa Efetiva de Juros Anual 11,0200%
Taxa Efetiva de juros Mensal 0,8750%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Imóvel 0,0164%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Empréstimo 0,0648%
Número de Pagamentos mensais 36
Valor Total do Empréstimo 10.000,00
Valor da Prestação 325,02
Taxa Real de juros Mensal 1,378886%
Anual 17,86102%
Valor do Seguro sobre o Imóvel (1a. parcela) 15.000,00 2,46
Valor do Seguro sobre o Empréstimo (1a. parcela) 10.000,00 6,48
Valor da Soma dos Seguros (1a. parcela) 8,94
Saldo Devedor após o pagamento das 36 parcelas 1353,45
Sugestão para zerar o Saldo: Prestação + Poupança 354,28 9%

Sugestões sobre o sistema Price

Informação da Caixa Sugestão ou Crítica
Taxa anual de juros
10,5%
Taxa anual efetiva=11,02%
Saldo Devedor final
R$1.353,45
Motivado por um erro da própria Caixa que faz com que a Prestação mensal seja mais barata para atingir maior quantidade de clientes, mas com um problema no final do financiamento. A Caixa realiza o cálculo da Prestação mas não introduz a TR mensal para corrigir o Saldo Devedor. Para que não exista o Saldo Devedor final, a Caixa poderia exigir do cliente um acréscimo mensal da ordem de 9% que seria depositado em uma Caderneta de Poupança compulsória para que o Saldo Final fosse nulo ou quase nulo.

Planilha de amortização (da Caixa) para o sistema PES

No. Saldo devedor Correção monetária S.devedor+
C.monetária
Juros Prestação Amortiz. Saldo a Pagar
1 10.000,00 50,00 10.050,00 87,94 365,28 227,34 9.772,66
2 9.772,66 48,86 9.821,52 85,94 365,28 230,48 9.542,18
3 9.542,18 47,71 9.589,89 83,91 365,28 233,66 9.308,52
4 9.308,52 46,54 9.355,07 81,86 365,28 236,88 9.071,65
5 9.071,65 45,36 9.117,01 79,78 365,28 240,14 8.831,51
6 8.831,51 44,16 8.875,66 77,66 365,28 243,46 8.588,04
7 8.588,04 42,94 8.630,98 75,52 365,28 246,82 8.341,22
8 8.341,22 41,71 8.382,93 73,35 365,28 250,22 8.091,00
9 8.091,00 40,45 8.131,45 71,15 365,28 253,68 7.837,32
10 7.837,32 39,19 7.876,51 68,92 365,28 257,17 7.580,15
11 7.580,15 37,90 7.618,05 66,66 365,28 260,72 7.319,43
12 7.319,43 36,60 7.356,03 64,37 365,28 264,31 7.055,12
13 7.055,12 35,28 7.090,39 62,04 355,70 258,38 6.796,73
14 6.796,73 33,98 6.830,72 59,77 355,70 261,95 6.534,79
15 6.534,79 32,67 6.567,46 57,47 355,70 265,56 6.269,23
16 6.269,23 31,35 6.300,58 55,13 355,70 269,22 6.000,01
17 6.000,01 30,00 6.030,01 52,77 355,70 272,93 5.727,08
18 5.727,08 28,64 5.755,71 50,37 355,70 276,69 5.450,38
19 5.450,38 27,25 5.477,64 47,93 355,70 280,52 5.169,87
20 5.169,87 25,85 5.195,71 45,47 355,70 284,38 4.885,48
21 4.885,48 24,43 4.909,91 42,97 355,70 288,30 4.597,18
22 4.597,18 22,99 4.620,17 40,43 355,70 292,28 4.304,90
23 4.304,90 21,52 4.326,42 37,86 355,70 296,32 4.008,58
24 4.008,58 20,04 4.028,63 35,25 355,70 300,41 3.708,18
25 3.708,18 18,54 3.726,72 32,61 341,46 290,31 3.417,87
26 3.417,87 17,09 3.434,96 30,06 341,46 294,31 3.123,56
27 3.123,56 15,62 3.139,17 27,47 341,46 298,37 2.825,18
28 2.825,18 14,13 2.839,31 24,85 341,46 302,48 2.522,70
29 2.522,70 12,61 2.535,31 22,19 341,46 306,66 2.216,04
30 2.216,04 11,08 2.227,12 19,49 341,46 310,89 1.905,15
31 1.905,15 9,53 1.914,68 16,76 341,46 315,17 1.589,98
32 1.589,98 7,95 1.597,93 13,99 341,46 319,52 1.270,46
33 1.270,46 6,35 1.276,81 11,18 341,46 323,93 946,53
34 946,53 4,73 951,26 8,33 341,46 328,40 618,13
35 618,13 3,09 621,22 5,44 341,46 332,93 285,20
36 285,20 1,43 286,63 2,51 341,46 337,52 (52,32)

Dados extraídos da planilha do sistema PES

Com a Matemática Financeira, extraímos as informações relacionadas com a segunda planilha apresentada e estas estão na tabela abaixo:

Informação 1 Informação 2 Indicador
Taxa de Referência (TR) Mensal 0,50%
Taxa Efetiva de Juros Anual 11,0200%
Taxa Efetiva de juros Mensal 0,8750%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Imóvel 0,0164%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Empréstimo 0,0648%
Número de Pagamentos mensais 36
Valor Total do Empréstimo 10.000,00
Valor da Prestação 325,02
Taxa Real de juros – 1o. ano Mensal 1,5622%
Anual 20,4442%
Taxa Real de juros – 2o. ano Mensal 1,5848%
Anual 20,7663%
Taxa Real de juros – 3o. ano Mensal 1,5705%
Anual 20,5620%
Valor do Seguro sobre o Imóvel (1a. parcela) 15.000,00 2,46
Valor do Seguro sobre o Empréstimo (1a. parcela) 10.000,00 6,48
Valor da Soma dos Seguros (1a. parcela) 8,94
Saldo Credor após o pagamento das 36 parcelas 52,32

Sugestões sobre o sistema PES

Informação da Caixa Sugestão
Taxa anual de juros
10,5%
Taxa efetiva no 1o.ano = 20,4442%
Taxa efetiva no 2o.ano = 20,7663%
Taxa efetiva no 3o.ano = 20,5620%
Saldo Credor final
R$52,32
Neste sistema o cliente amortiza inclusive o valor corrigido pela TR, razão pela qual, praticamente não há Saldo Devedor no final.

Comparação entre os sistemas: Price e PES

Os dois sistemas funcionam bem (praticamente iguais em termos monetários) para a amortização de uma dívida contraída junto ao Sistema Financeiro da Habitação. O Fato do PES custar mais caro inicialmente, visa amortizar mais rapidamente a dívida de forma que para cada novo ano ocorra um refinanciamento com o período reduzido de 12 unidades, o que significa na prática um novo financiamento do Saldo Devedor do ano anterior pelo período ainda não realizado. Se a opção for pelo Sistema Price, fatalmente restará um Saldo Devedor que deverá ser quitado pelo comprador, fato este bastante ingrato para quem julga ter terminado de pagar “todas” as contas. O ideal seria a Caixa acrescentar um percentual da ordem de nove por cento (9%) sobre as prestações do Sistema Price, formando uma Caderneta de Poupança Compulsória e usá-lo de uma forma mais intensa, uma vez que o público entende melhor este tipo de financiamento.

Informação Price PES
Taxa Mensal de Referência (TR) 0,50% 0,50%
Taxa Efetiva Anual de Juros 11,020000% 11,020000%
Taxa Efetiva Mensal de Juros 0,8750% 0,8750%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Imóvel 0,0164% 0,0164%
Percentual do Seguro sobre o Valor do Empréstimo 0,0648% 0,0648%
Número de Pagamentos mensais 36 36
Valor Total do Empréstimo 10.000,00 10.000,00
Valor da Prestação – 1o. ano 325,02 365,28
Valor da Prestação – 2o. ano 325,02 355,70
Valor da Prestação – 3o. ano 325,02 341,46
Valor Médio das 36 Prestações 325,02 354,15
Taxa Real mensal de juros: 1o. ano 1,378886% 1,5622%
Taxa Real anual de juros: 1o. ano 17,86102% 20,4442%
Taxa Real mensal de juros: 2o. ano 1,378886% 1,5848%
Taxa Real anual de juros: 2o. ano 17,86102% 20,7663%
Taxa Real mensal de juros: 3o. ano 1,378886% 1,5705%
Taxa Real anual de juros: 3o. ano 17,86102% 20,5620%
Valor do Seguro sobre o Imóvel (R$15.000,00) 2,46 2,46
Valor do Seguro sobre o Empréstimo (R$10.000,00) 6,48 6,48
Valor da Soma dos Seguros (1a. parcela) 8,94 8,94
Saldo Final após 36 pagamentos 1.353,45 -52,32
Valor mensal necessário para zerar o Saldo Final 354,28 354,15

Este trabalho foi realizado com finalidades didáticas, visando auxiliar a população sobre os dois sistemas, uma vez que o governo bem como os agentes financeiros da habitação não tornam público tais cálculos no nível de detalhamento que apresentamos.

Este trabalho não pode ser utilizado em qualquer atividade sem a prévia autorização do responsável pela página.

Financeira
Sistema Alemão de Amortização
Matemática Financeira: Sistema Alemão de Amortização
  • Introdução ao sistema alemão
  • O modelo matemático
  • Fórmulas básicas
  • Problema típico

Introdução ao sistema alemão

O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,…,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte.

O Modelo matemático

Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão:

Co = C – C i = C (1-i)

mas o cliente deverá pagar C no final do período.

No início do 2o. período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento:

C1 = C – A1

Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser:

P1 = A1 + i C1 = A1 + i (C – A1)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período.

No início do 3o. período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo:

C2 = C1 – A2

Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a i C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:

P2 = A2 + i C2 = A2 + i (C1-A2)

ou seja

P2 = A2 + i (C – A1 – A2)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período.

No início do 4o. período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste momento de:

C3 = C2 – A3

Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que corresponde a i C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:

P3 = A3 + i C3 = A3 + i (C2 – A3) = A3 + i (C1 – A2 – A3)

ou seja

P3 = A3 + i (C – A1 – A2 – A3)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período.

Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever:

Ck = Ck-1 – Ak

e

Pk = Ak + i (C – A1 – A2 – A3 – … – Ak)

Resumindo até o momento, temos:

n Cn Pn
1 C1 = C – A1 P1 = A1 + i (C – A1)
2 C2 = C – A1 – A2 P2 = A2 + i (C – A1– A2)
3 C3 = C – A1 – A2 – A3 P3 = A3 + i (C – A1 – A2 – A3)
4 C4 = C – A1 – A2 – A3 – A4 P4 = A4 + i (C – A1 – A2 – A3 – A4)
k Ck = C – A1 – A2 – A3 – … – Ak Pk = Ak + i (C – A1 – A2 – A3 – … – Ak)

A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente e como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então segue que

P1 = P2 = P3 = … = Pn = P

Como P1=P2, então

A1 + i (C – A1) = A2 + i (C – A1 – A2)

logo

A1 + i (C-A1) = A2 + i (C-A1) – i A2

assim

A1 = A2 – i A2

e dessa forma

A1 = A2 (1-i)

e podemos escrever que

A2 = A1 / (1-i)

De forma análoga, podemos mostrar que

A3 = A2 / (1-i)

para concluir que

A3 = A1 / (1-i)2

Temos em geral que, para todo k=2,3,4,…,n:

Ak = A1 / (1-i)k-1

Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que:

C = A1 + A2 + A3 + … + An

Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos:

Evidenciando o último termo, poderemos escrever:

Como o termo nos colchetes é a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), então:

e desse modo

Já observamos antes que

e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, teremos:

Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n.

Usamos fortemente o conceito de sequência geométrica (PG), o que justifica a importância deste assunto tão pouco aplicado no âmbito do Ensino Médio.

Fórmulas básicas

Para obter os cálculos com as fórmulas básicas

com os seguintes elementos:

Objeto Descrição
C Capital financiado
i Taxa de juros ao período
n Número de períodos
P Valor de cada prestação
A1 Primeira amortização
Ak Amortização para k=1,2,…,n.

Problema típico

Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização.

Solução: Devemos tomar i=0,04; n=5 e C=300.000,00 e inserir os dados na primeira das três últimas fórmulas apresentadas, para obter a prestação


Financeira
Sistemas de Amortização
Matemática Financeira: Sistemas de Amortização
  • Introdução à amortização
  • Sistema de pagamento único
  • Sistema de pagamentos variáveis
  • Sistema Americano
  • Amortização Constante (SAC)
  • Sistema Price (ou Francês)
  • Amortização Misto (SAM)
  • Sistema Alemão

Introdução à amortização

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que

Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!

Os principais sistemas de amortização são:

  1. Sistema de Pagamento único:Um único pagamento no final.
  2. Sistema de Pagamentos variáveis:Vários pagamentos diferenciados.
  3. Sistema Americano:Pagamento no final com juros calculados período a período.
  4. Sistema de Amortização Constante (SAC):A amortização da dívida é constante e igual em cada período.
  5. Sistema Price ou Francês (PRICE):Os pagamentos (prestações) são iguais.
  6. Sistema de Amortização Misto (SAM):Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.
  7. Sistema Alemão:Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.

Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:

 

Pagamento = Amortização + Juros

Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%.

Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados:

Sistema de Amortização
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 300.000,00
1
2
3
4
5 0
Totais 300.000,00

Sistema de Pagamento Único

O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula:

M = C (1+i)n

Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.

 

Sistema de Pagamento Único
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 312.000,00
2 12.480,00 324.480,00
3 12.979,20 337.459,20
4 13.498,37 350.957,57
5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0
Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87

Sistema de Pagamentos Variáveis

O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.

Uso comum: Cartões de crédito.

Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma:

  • No final do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros
  • No final do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros
  • No final do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros
  • No final do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros
  • No final do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros

 

Sistema de Pagamentos Variáveis
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00
2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00
3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00
4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00
5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0
Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00

Sistema Americano

O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período.

 

Sistema Americano
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 12.000,00 300.000,00
2 12.000,00 12.000,00 300.000,00
3 12.000,00 12.000,00 300.000,00
4 12.000,00 12.000,00 300.000,00
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0
Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00

Sistema de Amortização Constante (SAC)

O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais.

Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação

 

Sistema de Amortização Constante (SAC)
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00

Sistema Price (Sistema Francês)

Todas as prestações (pagamentos) são iguais.

Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.

Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pela fórmula

onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece:

P = K × Vf = 67.388,13

 

Sistema Price (ou Sistema Francês)
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65

Sistema de Amortização Misto (SAM)

Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).

Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.

Cálculo:

PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

 

n PSAC PPrice PSAM
1 72.000,00 67.388,13 69.694,06
2 69.600,00 67.388,13 68.494,07
3 67.200,00 67.388,13 67.294,07
4 64.800,00 67.388,13 66.094,07
5 62.400,00 67.388,13 64.894,07

 

Sistema de Amortização Misto (SAM)
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94
2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11
3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20
4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14
5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0
Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94

Sistema Alemão

O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações Ak, k=1,2,3,…,n.

Uso comum: Alguns financiamentos.

Fórmulas necessárias: Para k=1,2,…,n.

A prestação mensal do financiamento, pode ser calculada com as fórmulas acima.

P = (300.000×0,04)÷[1-(1-0,04)5]=64.995,80
A1 = 64.995,80 × (1-0,04)4 = 55.203,96
A2 = 55.203,96 ÷ (1-0,04) = 57.504,13
A3 = 57.504,13 ÷ (1-0,04) = 59.900,13
A4 = 59.900,13 ÷ (1-0,04) = 62.395,97
A5 = 62.395,97 ÷ (1-0,04) = 64.995,80

 

Sistema Alemão
n Juros Amortização do
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00
1 9.791,84 55.203,96 64.995,80 244.796,04
2 7.491,68 57.504,13 64.995,80 187.291,91
3 5.095,67 59.900,13 64.995,80 127.391,78
4 2.599,83 62.395,97 64.995,80 64.995,80
5 64.995,80 64.995,80 0
Totais 36.979,02 300.000,00 336.979,02
Financeira
Fluxo de Caixa

Fluxo de Caixa

Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da análise de uma certa aplicação, que pode ser um investimento, empréstimo, financiamento, etc. Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas na linha de tempo com início no instante t=0.

Um típico exemplo é o gráfico:

Fluxo de Caixa da pessoa
Eo
0 1 2 3 n-1 n
S1 S2 S3 Sn-1 Sn

que representa um empréstimo bancário realizado por uma pessoa de forma que ela restituirá este empréstimo em n parcelas iguais nos meses seguintes. Observamos que Eo é o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou positivo) e S1, S2, …, Sn serão os valores das parcelas que sairão do caixa da pessoa (negativas).

No Fluxo de Caixa do banco, as setas têm os sentidos mudados em relação ao sentidos das setas do Fluxo de Caixa da Pessoa. Assim:

Fluxo de Caixa do banco
E1 E2 E3 En-1 En
0 1 2 3 n-1 n
So

O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), é assumido por convenção, e o Fluxo de Caixa dependerá de quem recebe ou paga o Capital num certo instante, sendo que:

  1. t=0 indica o dia atual;
  2. Ek é a Entrada de capital num momento k;
  3. Sk é a Saída de capital num momento k.

Observação: Neste trabalho, o ponto principal é a construção de Fluxos de Caixa na forma gráfica e pouca atenção é dada à resolução dos problemas. Caso você tenha algum Fluxo de Caixa interessante que valha a pena ser tratado, envie a sua sugestão.

Exemplos importantes

Na sequência, iremos apresentar uma coleção de situações e construiremos os Fluxos de Caixa das mesmas (do ponto de vista da pessoa). Tais situações são muito comuns nas operações financeiras.

Resolveremos apenas alguns exercícios, mas os interessados deverão ver o nosso curso sobre Matemática Financeira, nesta mesma Home Page, onde encontrarão muitas informações sobre o assunto.

  1. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$11.000,00 daqui há um mês.
    Fluxo de Caixa 01
    10.000
    0 1
    11.000
  2. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará em duas parcelas iguais e seguidas de R$6.000,00 a partir do próximo mês.
    Fluxo de Caixa 02
    10.000
    0 1 2
    6.000 6.000
  3. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 5.500,00 em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias.
    Fluxo de Caixa 03
    10.000
    0 1 2
    5.500 6.500
  4. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 1.000,00 em 15 parcelas iguais a partir do mês seguinte.
    Fluxo de Caixa 04
    10.000
    0 1 2 14 15
    1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
  5. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará em 24 parcelas de R$ 876,54 a partir do mês seguinte.
    Fluxo de Caixa 05
    16.000
    0 1 2 23 24
    876,54 876,54 876,54 876,54 876,54
  6. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará o mesmo em 24 parcelas de R$ 840,00 a partir de hoje.
    Fluxo de Caixa 06
    16.000
    0 1 2 23
    840,00 840,00 840,00 840,00 840,00
  7. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga a partir do mês seguinte.
    Fluxo de Caixa 07
    12.000
    0 1 2 19 20
    500 600 2.300 2.400
  8. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga já no momento inicial.
    Fluxo de Caixa 08
    12.000
    0 1 2 18 19
    500 600 700 2.300 2.400
  9. Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir do próximo mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?
    Fluxo de Caixa 09
    VP=A
    0 1 2 n-1 n
    R R R R R

    Solução matemática:

    A = R/(1+i) + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 +…+ R/(1+i)n

    que também pode ser escrito na forma

  10. Uma pessoa financia um objeto em 5 parcelas iguais e seguidas de R$1.000,00 a partir do próximo mês. Se a taxa bancária de juros é de 7% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?
    Fluxo de Caixa 10
    VP
    0 1 2 3 4 5
    1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

    Solução matemática: Como i=7%=0,07; R=1000 e n=5, então pela Fórmula do ítem anterior, temos que:

  11. Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir deste mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?
    Fluxo de Caixa 11
    VP=A
    0 1 2 n-1
    R R R R R

    Solução matemática:

    A=R+R/(1+i)+R/(1+i)2+R/(1+i)3 +…+ R/(1+i)n-1

    que também pode ser escrito na forma

  12. Considere o problema do ítem 10 e uma nova alternativa. Refinanciar a compra do objeto que custa o Valor Presente (obtido no Fluxo de Caixa 10) em 4 parcelas iguais e seguidas a partir do mês inicial. Considere a mesma taxa bancária de juros. Qual deverá ser o valor de cada nova parcela R? Qual será o percentual de aumento da prestação em relação à prestação anterior, com esta nova alternativa?
    Fluxo de Caixa 12
    4.100,20
    0 1 2 3
    R ? R ? R ? R ?

    Solução matemática: Como i=7%=0,07; VP=4.100,20 e n=4, então pela Fórmula do ítem anterior, temos que:

    que pode ser escrito na forma

    4.100,20 = R × 3,6243160444

    de onde segue que

    R = 1.131,30

    A nova parcela sobre a anterior aumentou 13,20%.

    Observação: Este percentual poderá mudar se a taxa aplicada for alterada.

Financeira
Análise de Investimento ou Financiamento
Matemática Financeira: Análise de Investimento ou Financiamento
  • Elementos gerais
  • Valor Presente Líquido (NPV)
  • Taxa Interna de Retorno (IRR)
  • Conexão entre NPV e IRR
  • Quadro comparativo
  • Análise entre dois investimentos
  • Análise entre dois financiamentos
  • A Matemática do NPV

Elementos gerais

Em uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas. Em geral, temos o conhecimento da Taxa de Mercado, também conhecida como a Taxa de Atratividade do Mercado e desejamos saber a taxa real de juros da operação, para poder tomar uma decisão.

Existem dois importantes objetos matemáticos que são utilizados na análise da operação financeira de Investimento ou Financiamento: Valor Presente Líquido (NPV) e Taxa Interna de Retorno (IRR).

Valor Presente Líquido (NPV)

O Valor Presente Líquido (NPV=Net Present Value) de um fluxo de caixa de uma operação é o somatório de todos os valores atuais calculados no instante t=0 para cada elemento isolado da operação.

Taxa Interna de Retorno (IRR)

A Taxa Interna de Retorno (IRR=Internal Rate Return) de um fluxo de caixa da operação é a taxa real de juros da operação financeira.

Conexão entre NPV e IRR

Há uma íntima relação entre esses dois objetos matemáticos, sendo que as considerações sobre eles devem resultar de análise invertidas quando se tratar de Investimentos ou Financiamentos.

A razão desta inversão é que alguém, ao realizar um Investimento de capital espera ampliar o mesmo, ao passo que ao realizar um Financiamento de um bem espera reduzir a aplicação.

Em um Investimento, se NPV for positivo, a Taxa Real (IRR) é maior do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real (IRR) é menor do que a Taxa de Mercado e se NPV=0 então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (IRR).

Conclusão: Em um Investimento, se NPV é maior então a Taxa (IRR) também é maior.

Em um Financiamento, se NPV for positivo, a Taxa Real IRR é menor do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real IRR é maior do que a Taxa de Mercado e se NPV=0, então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (IRR).

Conclusão: Em um Financiamento, se NPV é maior então a Taxa (IRR) é menor.

Estas duas análises podem ser reduzidas ao

Quadro comparativo

NPV IRR do Investimento IRR do Financiamento
Igual a 0 Igual à Taxa de mercado Igual à Taxa de mercado
Positivo Maior que a Taxa de mercado Menor que a Taxa de mercado
Negativo Menor que a Taxa de mercado Maior que a Taxa de mercado

Análise entre dois Investimentos

Se tivermos dois Investimentos: Invest1 e Invest2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o investimento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona; maior retorno ao investidor, isto é:

Se NPV1 > NPV2 então Invest1 é melhor do que Invest2

Análise entre dois Financiamentos

Se tivermos dois Financiamentos: Financ1 e Financ2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o Financiamento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona o menor retorno para a pessoa que financiou, isto é:

Se NPV1 > NPV2 então Financ1 é pior do que Financ2

A Matemática do Valor Presente Líquido (NPV)

Para obter o Valor Presente Líquido, devemos construir o Fluxo de Caixa da operação e levar em consideração algumas possibilidades:

  • Operação com parcelas iguais (Begin)
  • Operação com parcelas iguais (End)
  • Operação com parcelas diferentes

Operação com parcelas iguais (Begin): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante n períodos, com uma renda R em cada período, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa aparece na tabela:

t 0 1 2 3 4 n-1 n
Renda R R R R R R R 0

Tomando u=1+i, poderemos escrever:

NPV = R + R/u + R/u²+ R/u³ +…+ R/un-1

ou a forma mais simples

NPV = R [un – 1]÷[iun-1]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um Investimento mensal de R=100,00, durante n=24 meses, à taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=0?

Neste caso (Begin): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos:

NPV = 100 [(1,015)24 – 1]÷[0,015(1,015)23] = 2.033,09

Operação com parcelas iguais (End): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante N períodos, com uma renda r em cada período, a partir do instante t=1 a uma Taxa de mercado I. O fluxo de caixa aparece na tabela:

t 0 1 2 3 4 n-1 n
Renda 0 R R R R R R R

Tomando u=1+i, poderemos escrever:

NPV = R/u + R/u²+ R/u³+…+R/un

ou na forma mais simples

NPV = R.[un – 1]÷[i.un]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um Investimento mensal de R=100,00, por n=24 meses, à taxa de i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=1?

Neste caso (End): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos:

NPV = 100 [(1,015)24 – 1] ÷[0,015 (1,015)24]= 2.003,04

Operação com parcelas diferentes: Tomemos a situação que um indivíduo invista durante algum tempo parcelas distintas, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa dessa situação pode ser visto na tabela:

t 0 1 2 3 4 n-1
Renda R0 R1 R2 R3 R4 Rn-1

Tomando u=1+i, poderemos escrever:

NPV = Ro + R1/u1 + R2/u² + R3/u³ +…+ Rn-1/un-1

Exemplo: Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) de alguns Investimentos de acordo com a tabela abaixo, à taxa de mercado i=1,25% ao mês.

Tempo 0 1 2 3 4
Renda 0 1.000 2.000 1.500 2.500

Tomando u=1+i=1,0125, obteremos:

NPV = 1000/u + 2000/u² + 1500/u³ +2500/u4 = 6.762,51

Financeira
Curso de Matemática Financeira

Matemática Financeira: Curso de Matemática Financeira
  • Elementos básicos
  • Compatibilidade dos dados
  • Juros simples
  • Montante simples
  • Fluxo de caixa
  • Juros compostos
  • Montante composto
  • Fator de Acumulação de Capital
  • Fator de Valor Atual
  • Cálculo de juros Compostos
  • Taxas
  • Taxas equivalentes
  • Descontos
  • Tipos de descontos
  • Financiamento: Sistema Price

Elementos básicos em Matemática Financeira

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.

Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.

Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas.

Regime Processo de funcionamento
Simples Somente o principal rende juros.
Compostos Após cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros.

 

Notações comuns que serão utilizadas neste material

C Capital
n número de períodos
j juros simples decorridos n períodos
J juros compostos decorridos n períodos
r taxa percentual de juros
i taxa unitária de juros (i = r / 100)
P Principal ou valor atual
M Montante de capitalização simples
S Montante de capitalização composta

Compatibilidade dos dados

Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de unidades.

Exemplo: Na fórmula

F(i,n) = 1 + i n

a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de períodos n, ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês, então n deverá ser um número indicado em meses.

Juros simples

  1. Se n é o numero de periodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os juros simples são calculados por:

    j = P i n

    Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:

    j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00

  2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos i por r/100 e obtemos a fórmula:

    j = P r n / 100

    Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:

    j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00

  3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula:

    j = P r m / 100

    Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por:

    j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00

  4. Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros exatos (número exato de dias) ou comerciais simples com a fórmula:

    j = P r d / 100

    Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de 0,02% ao dia são dados por:

    j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00

    Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por:

    j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50

Montante simples

Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas:

M = P + j = P (1 + i n)

Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M=2P

Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in)

Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo

n = 2/3 ano = 8 meses

 

Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?

Contagem do tempo:

Período Número de dias
De 10/01 até 31/01 21 dias
De 01/02 até 28/02 28 dias
De 01/03 até 31/03 31 dias
De 01/04 até 12/04 12 dias
Total 92 dias

Fórmula para o cálculo dos juros exatos:

j = P r (d / 365) / 100

Cálculo:

j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05

Fluxo de caixa

Apresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. O internauta interessado em obter mais detalhes, poderá acessar outro link que construímos sobre Fluxo de caixa. Em nossa Página, existem muitos outros links sobre Matemática Financeira que construímos para dar suporte a este curso.

Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações.

A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.

Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de R$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destes depósitos.

Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.

Juros compostos

Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.

Tempo Data Valor Principal Juros Montante
0 01/01/94 100,00 0 100,00
1 01/02/94 100,00 50,00 150,00
2 01/03/94 150,00 75,00 225,00
3 01/04/94 225,00 112,50 337,50
4 01/05/94 337,50 168,75 506,20
5 01/06/94 506,25 253,13 759,38

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.

Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:

S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5

Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde

Sn Soma ou montante
P Valor Principal aplicado inicialmente
i taxa unitária
n número de períodos da aplicação

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.

Montante composto

A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número de períodos n, é dada por:

S = P (1+i)n

Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?

Objetivo: S=2P

Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:

S=P(1+i)n

Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2

Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano

 

Observação: Tábua de logaritmo imediata

Para obter o logaritmo do número N na base natural, basta trocar N pelo número desejado e escrever:

javascript:Math.log(N)

na caixa branca de seu browser que indica Endereço (Location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para continuar os estudos.

Uma forma alternativa é copiar a linha em azul para o Endereço, pressionando a seguir a tecla <ENTER> para obter o resultado.

Fator de Acumulação de Capital (Fator de P para S)

Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, definimos o Fator de Acumulação de Capital ou Fator de P para S, denotado por FAC(i,n) ou FPS(i,n), como:

FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1 + i)n

Agora, podemos escrever o montante composto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n):

S = P FAC(i,n) = P FPS(i,n)

 

Utilidade: O FAC(i,n)=(1+i)n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e a seguir tecla-se o sinal de igualdade n-1 vezes.

 

Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo:

S = P (1 + i)n
P = S (1+i)-n

Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual P de um capital futuro conhecido S.

P=S(1+i)-n

Fator de Valor Atual

Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou Fator de Desconto, denotado por FVA(i,n) ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(i,n):

FVA(i,n) = FSP(i,n) = (1+i)-n

 

Utilidade: O FVA(i,n)=(1+i)-n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e o sinal = (igual) n-1 vezes para obter FAC(i,n) e a seguir teclamos o sinal de divisão e finalmente o sinal = (igual) para obter o FVA(i,n), que é o inverso do FAC(i,n).

Cálculo de juros Compostos

J = P [(1+i)n-1]

Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?

Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.

Dúvida: Qual será a fórmula para juros compostos quando a taxa é anual e o período está indicado em uma unidade diferente de 1 ano? A idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter:

n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano

Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1. A fórmula empregada é:

J = P [(1+i)n-1]

Solução:

J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21

Teste: Você saberia obter a raiz quarta de um número com uma calculadora que só extrai a raiz quadrada? E a raiz oitava de um número que só extrai a raiz quadrada?

Taxas

Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira.

Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: “No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira ‘poluição’ de taxas de juros."

Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:

 

Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

  1. 1200% ao ano com capitalização mensal.

  2. 450% ao semestre com capitalização mensal.

  3. 300% ao ano com capitalização trimestral.

 

Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

  1. 120% ao mês com capitalização mensal.

  2. 450% ao semestre com capitalização semestral.

  3. 1300% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

 

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)

 

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:

vreal = 1 + ireal

que pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)

isto é:

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02

o que significa que a taxa real no período, foi de:

ireal = 2%

 

Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.

Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o valor de:

V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77

Taxas equivalentes

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.

Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que :

S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00

Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto, teremos:

S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00

Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo trimestre.

 

Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao ano capitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês a mês, porque:

i = 300/12 = 25

Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre, aplicada a cada trimestre, porque:

i = 300/4 = 75

É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.

 

Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processos de capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.

Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano é indicado por Np.

Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias.

A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:

1 + ia = (1+ip)Np

onde

ia taxa anual
ip taxa ao período
Np número de vezes em 1 ano

 

Situações possíveis com taxas equivalentes

Fórmula Taxa Período Número de vezes
1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2
1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3
1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4
1+ia = (1+imes)12 imes mês 12
1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24
1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52
1+ia = (1+idias)365 idias dia 365

 

Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês?

Vamos entender a frase: “12% ao ano capitalizada mês a mês". Ela significa que devemos dividir 12% por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito “12% ao ano capitalizada trimestralmente" deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número de trimestres de 1 ano) que é 3%.

Vamos observar o fluxo de caixa da situação:

Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por

1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247

logo

i2 = 0,1268247 = 12,68247%

Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva.

Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a ser usada é:

1+ia = (1 + imes)12

Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter:

1,12 = [1 + i(mes)]12

Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 a ambos os lados da igualdade para obter:

log(1,12) = 12 log[1+i(mes)]
log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)]
0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)]
0,004101501889182 = log[1+i(mes)]

assim

100,004101501889182 = 10log[1+i(mes)]

Desenvolvendo a potência obtemos:

1,009488792934 = 1 + i(mes)
0,009488792934 = i(mes)
i(mes) = 0,9488792934%

 

Observação: Interprete os últimos exemplos com muito cuidado!

Descontos

Notações comuns na área de descontos:

D Desconto realizado sobre o título
A Valor Atual de um título
N Valor Nominal de um título
i Taxa de desconto
n Número de períodos para o desconto

Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo título.

D = N – A

Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).

Tipos de descontos

Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculos exponenciais.

 

Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.

Desconto por fora Juros simples
D = N i n j = P i n
N = Valor Nominal P = Principal
i = taxa de desconto i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos

O valor atual no desconto por fora, é calculado por:

A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)

 

Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.

O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.

Desconto por dentro Juros simples
D = A i n j = P.i.n
N = Valor Atual P = Principal
i = taxa de desconto i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos

O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:

A = N / (1 + i n)

 

Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título.

Desconto composto por fora Juros compostos
A = N(1-i)n S = P(1+i)n
A = Valor Atual P = Principal
i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos

Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicações repetidas do desconto simples para 1 período.

Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:

A1 = N(1-i)

onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é:

A2 = A1(1-i) = N(1-i)2

Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n:

An = N(1-i)n

Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por:

S = P(1+i)n

 

Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.

Como D = N – A e como N = A(1 + i)n , então

D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

 

Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.

Solução:

D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30

 

Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento de R$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições de resgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa?

Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045

Número de períodos para o desconto: n=12-5=7

Fórmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n

Financiamento pelo Sistema Price

No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matemática Financeira é muito mais útil no nosso cotidiano do que outras “matemáticas". Aqui se vê a força do estudo de sequências geométricas (PG), fato que não é possível explicitar facilmente a alunos de níveis elementares. No entanto, praticamente todos os indivíduos estão envolvidos com compras de bens de consumo no seu dia-a-dia e este ponto se torna fundamental pois transforma o estudo de Progressões Geométricas em algo extremamente útil.

O sistema Price (Richard Price), também chamado Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país que utilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos os pagamentos sao iguais.

A idéia essencial neste contexto é construir um fluxo de caixa e descobrir o Valor Atual ou Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos.

Antes de continuar, iremos mostrar uma situação para identificar o que está escondido sob os cálculos de um financiamento.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre um carro para pagar em 4 prestações mensais consecutivas e iguais de R$8.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao mês. Qual será o Valor Atual (real) deste carro?

Fluxo de caixa do problema

O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para obter o Valor Atual do bem financiado.

A1 = 8000/(1+0,1)1
A2 = 8000/(1+0,1)2
A3 = 8000/(1+0,1)3
A4 = 8000/(1+0,1)4

Assim o Valor Atual será a soma dos valores atuais parciais

A = 8000.(1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4)

que pode ser escrito como:

A = 8000 x 3,169865435 = 25.358,92

que é o valor à vista que custa o carro.

Um fato curioso é o aparecimento da expressão:

K = 1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4

que representa a soma dos termos de uma sequência geométrica (PG) com 4 termos.

Na sequência, analisaremos a situação geral quando temos n prestações num modelo semelhante, considerando agora um financiamento cujo Valor Atual A na data inicial (tempo=0) será pago em n prestações iguais a R ao final de cada um dos n meses seguidos, a taxas mensais iguais a i.

Fluxo de caixa do problema

O problema é similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matemático, como :

A = R[(1+i)-1+(1+i)-2+…+(1+i)-n]

Evidenciando o termo (1+i)-n, segue que:

A = R[1+(1+i)1+…+(1+i)n-1] / (1 +i)n

e o termo dentro dos colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo é igual 1 e cuja razão é igual a (1+i).

A fórmula abaixo é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são realizados os cálculos de taxas de juros em financiamentos.

Esta não é uma expressão matemática simples! Quando se conhece a taxa i, o número de períodos n e o valor de cada prestação R é bastante fácil obter o Valor Atual A.

Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) A, Prestação R e Número de períodos n, não é fácil obter a taxa de juros porque além de ser matematicamente difícil, o governo, as empresas e financeiras em geral, embutem muitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da taxa!

Esta fórmula matemática pode ser escrita como:

A = R FVAs(i,n)

onde FVAs é o Fator de Valor Atual para uma série uniforme, definido por:

Esta é a fórmula utilizada nas tabelas financeiras que encontramos no comércio em geral. Através desta fórmula podemos obter a taxa de um financiamento em prestações com pagamentos iguais.

Para o próximo exemplo, vamos admitir que o dono de uma loja te garantiu o valor certo para a taxa ao período, o que eu não acredito em geral.

Para se calcular o valor da prestação R de um bem cujo preço à vista é A e será pago em n prestações iguais sem entrada, à taxa i ao período, sendo que a primeira prestação será paga no final do primeiro período, divide-se o valor atual A pelo FVAs(i,n), isto é:

R = A / FVAs(i,n)

Exemplo: Determinar a prestação R da compra de uma geladeira que custa à vista A=$1.000,00 e que será paga em 12 meses, sem entrada, com um taxa de 5% ao mês.

Para realizar estes cálculos de uma forma mais simples, acesse nesta mesma página o link Prestação mensal em um financiamento.

Se você souber o Valor à vista A, a prestação R e o número de meses n, você poderá obter a taxa i ao mês, desde que possua uma tabela financeira ou então se tiver acesso ao link Taxa de juros em um financiamento.