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Propriedades das potências

As potências são operações matemáticas cujas propriedades podem facilitar a realização de cálculos e a simplificação de expressões.

As propriedades das potências podem ser usadas para ajudar no cálculo e na simplificação de expressões.

As quatro operações matemáticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão, entretanto, não são as únicas operações existentes. Quando o produto envolve fatores que são todos iguais, é possível definir uma nova operação matemática: a potenciação. Como tudo na Matemática, com uma nova definição, é possível também encontrar novas propriedades exclusivas a ela.

Vale relembrar, de forma rápida, a definição de potenciação antes de prosseguir com a explicação de suas propriedades.

Definição de potenciação

A potenciação é a operação matemática baseada em um produto, na qual todos os fatores são o mesmo número real. Exemplo:

7·7·7·7

O número real que se repete é chamado de base da potência, e a quantidade de vezes que ele repete-se é denominada expoente da potência. É possível reescrever uma potência com notação própria, colocando o expoente à direita da base, como um índice superior. Veja o exemplo anterior escrito na notação de potência:

7·7·7·7 = 74

De forma geral, as potências são definidas como:

an = a·a·a·…·a, em que a repete-se n vezes.

Propriedades da potenciação

A potenciação possui oito propriedades mais importantes, com as quais é possível resolver quase todos os problemas envolvendo essa operação:

1 – Expoente zero

Sempre que o expoente de uma potência for zero, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência será igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a0 = 1

2 – Expoente unitário

Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a1 = a

3 – Produto de potências de mesma base

O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências.

Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

an∙am = an + m

Para verificar isso, observe o exemplo:

a4·a2 = a·a·a·a·a·a = a6 = a4 + 2

4 – Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os expoentes das potências que estão sendo divididas.

Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

an:am = an – m

Para verificar isso, observe o exemplo:

a9:a7 = a9 – 7 = a2

5 – Potência de potência

Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e conservamos a base.

Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, teremos:

(an)m = an·m

6 – Potência cuja base é uma divisão ou um produto

Nesse caso, cada um dos fatores deverá ser elevado separadamente ao expoente da potência. Dessa forma, se a e b forem pertencentes ao conjunto dos números reais e diferentes de zero, e m pertencente ao conjunto dos números naturais, teremos:

(a·b)n = an·bn

Se a base for uma divisão, teremos:

(a:b)n = an:bn

Esse último caso também pode ser expresso na forma de fração.

7 – Expoentes negativos

Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida.

Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos:

8 – Potências com expoente racional

Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos:

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática”

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Interpretação de enunciados

Situações problemas

Entender o que uma situação-problema pede faz parte de uma alfabetização matemática necessária para toda a escolaridade básica. Sabendo como interpretar os desafios propostos, os alunos podem escolher os procedimentos mais eficientes e descobrir as operações necessárias para resolvê-los.

Antes de pedir que as crianças solucionem um problema, é preciso refletir sobre as características que podem deixá-lo mais ou menos complexos e trabalhar com esse grau de dificuldade paulatinamente. “Não é apenas a escolha dos números que influi na complexidade de um problema,” explica Priscila Monteiro, consultora pedagógica da Fundação Victor Civita. “Além de grandes ou pequenos, você deve considerar se os números envolvidos facilitam os cálculos, como redondos (10, 50, 100…), onde está a incógnita da questão, a ordem na qual as informações são apresentadas e se o contexto do problema é conhecido pela turma, entre outros pontos que mudam a dificuldade de um problema”.

Quando esse trabalho com os enunciados não é bem-feito pelo educador, a garotada pode não conseguir relacionar o que está escrito em palavras com as operações matemáticas envolvidas na resolução. Sempre que for propor um problema com enunciado é preciso conversar com a turma sobre o que está sendo pedido. Falar sobre a atividade, debater os números e as palavras usadas é bem diferente de dar pistas sobre o cálculo a ser usado. Se o seu objetivo é que a turma utilize procedimentos próprios, não informar ou dar dicas são condições didáticas necessárias.

E é preciso ficar alerta: debater o que está escrito em um enunciado não se trata de ensinar as palavras-chave que indicam qual operação usar, como aliar ganhar à adição e perder à subtração. Essa prática pode desvincular as operações das suas diversas possibilidades de uso, gerar interpretações errôneas e ainda viciar os alunos em termos específicos que muitas vezes não estarão presentes nos enunciados.

Exemplo de algumas palavras que não devem ser usadas:

*A mais

*No total

*Quantos a mais

*Quantos a menos

*Ficaria

*Quanto sobrou

*Quantos restaram

*Ao todo

Exemplo:

FORMA ERRADA

Marina tinha 20 figurinhas, ganhou mais 15 num jogo e ficou com 35. Quantas figurinhas ela ficou no total?

 

FORMA CORRETA

Marina tinha algumas figurinhas, ganhou 15 num jogo e ficou com 35. Quantas figurinhas ela tinha antes do jogo?

FORMA ERRADA

Numa classe, há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há ao todo?

FORMA CORRETA

Numa classe, há 28 alunos, 13 são meninas. Quantos meninos há nesta turma?

Para se resolver um problema de matemática (ou qualquer problema!), você precisará, antes de tudo, estar muito atento!

Esta é a etapa fundamental para se resolver um problema! Nada vai adiantar se você ler com pressa e sem atenção, e tentar sair resolvendo o problema de qualquer maneira, ou “chutando” o que deve ser feito!

Em segundo lugar, tente dividir o enunciado em partes. Isto é muito importante, principalmente quando o enunciado tem muitas informações e/ou muitas perguntas. Senão você provavelmente ficará confuso! Esta etapa é muito importante, pois é aqui que você vai determinar todos os passos seguintes. Evite ficar confuso nesta parte!

Atividade 4° ano do Ensino Fundamental

Referências bibliográficas

http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/roteiro-didatico-adicao-subtracao-1-2-3-ano-matematica-637802.shtml?page=3.2

https://www.google.com.br/search?newwindow=1&safe=active&hl=pt-PT&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1920&bih=969&q=situa%C3%A7%C3%B5es+problemas+4+ano&oq=SITUA%C3%87OES+PROBLEMAS&gs_l=img.3.1.0i24l10.7783.11958.0.16949.19.12.0.0.0.0.694.2061.2-2j1j0j2.5.0….0…1ac.1.53.img..14.5.2056.1oTBMGRLZDA

Problemas de matemática – 4º ano

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O Homem Vitruviano e o número Phi: a matemática da beleza

Leonardo da Vinci (1452-1519), um dos maiores gênios da humanidade, não foi só o pintor de Mona Lisa, a obra mais famosa já pintada, reproduzida e parodiada de todos os tempos. Ele também era matemático, engenheiro, cientista e inventor. E também botânico, poeta e músico.

Por volta de 1490, da Vinci produziu vários desenhos para um diário. Entre eles, está o célebre Homem Vitruviano, baseado numa passagem do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de De Architectura, um tratado de arquitetura em que, no terceiro livro, são descritas as proporções do corpo humano masculino:

“O Homem Vitruviano”, de Leonardo da Vinci. 1490, Lápis e tinta sobre papel, 34 X 24 cm

– um palmo é o comprimento de quatro dedos
– um pé é o comprimento de quatro palmos
– um côvado é o comprimento de seis palmos
– um passo são quatro côvados
– a altura de um homem é quatro côvados
– o comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura
– a distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem
– a distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem
– o comprimento máximo nos ombros é um quarto da altura de um homem
– a distância entre a o meio do peito e o topo da cabeça é um quarto da altura de um homem
– a distância entre o cotovelo e a ponta da mão é um quarto da altura de um homem
– a distância entre o cotovelo e a axila é um oitavo da altura de um homem
– o comprimento da mão é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o fundo do queixo e o nariz é um terço do comprimento do rosto
– a distância entre a linha de cabelo na testa e as sobrancelhas é um terço do comprimento do rosto
– o comprimento da orelha é um terço do da face
– o comprimento do pé é um sexto da altura

Após várias tentativas de Vitrúvio para encaixar as proporções do corpo humano dentro da figura de um quadrado e um círculo, foi apenas com Leonardo que o encaixe saiu corretamente perfeito, dentro dos padrões matemáticos esperados.

O Homem Vitruviano é considerado frequentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, por extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do quadrado (quadratura do círculo) e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional Phi (aproximadamente 1,618).

Miolo do girassol

Colmeia de abelhas

Mas o que é o número Phi ou número áureo? Este número está envolvido com a natureza do crescimento e está associado ao significado da perfeição, que pode ser encontrado em vários exemplos de seres vivos: crescimento de plantas, população de abelhas, escamas de peixes, presas de elefantes, flor de girassol, entre outros. E também em espirais de galáxias. Na matemática, o número Phi é encontrado de várias formas: Figuras Geométricas, Retângulo Dourado, Série de Frações, Série de Raízes e a Série de Fibonacci. Neste post, vou me ater ao número áureo encontrado através da Série de Fibonacci.

O número áureo pode ser aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…, na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:

2/1 = 2 ….. 3/2 = 1,5 ….. 5/3 = 1,666…… 8/5 = 1,6 …… 13/8 = 1,625

 

Muitos estudos e muitas pesquisas já se fizeram e continuarão a ser feitos desvendando os mistérios do número Phi. Importante lembrar que, desde sempre, o homem está continuamente à procura da felicidade. E a beleza, sentida ou mostrada, faz parte desta felicidade. O número áureo, sendo a representação extrema da perfeição, é a ponte que liga a Arte à Matemática, em busca da beleza, em busca da felicidade.

Autor: Catherine Beltrão

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Multiplicação e divisão dos egípcios

O método da multiplicação egípcia também torna possível a multiplicação de quaisquer dois naturais recorrendo às operações envolvendo o número 2. Outro resgate arqueológico bastante interessante de uma matemática pouco divulgada.

A multiplicação e a divisão dos egípcios eram efetuadas por uma sucessão de duplicações.

Como exemplo de multiplicação achemos o produto de 12 por 27. A multiplicação é efetuada duplicando 12 até que a soma das duplicações exceda 27.

Escolhemos, na coluna da esquerda, números que somados deem 27:

Tomamos, na coluna da direita, os valores correspondentes e também os somamos:

Este número é o resultado da multiplicação:

12 x 27=324
 

  • Para efetuar a divisão de 184 por 8 procedemos assim:

Dobramos sucessivamente o divisor 8 até que o número de duplicações exceda o dividendo 184. Escolhemos, na coluna da direita, números que somados deem 184:

Tomamos, na coluna da esquerda, os valores correspondentes e somando-os, temos:

Este é o resultado da divisão:

Lembrando que escreviam os algarismos assim:hieroglifos-egipcios

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O Crivo de Eratóstenes (Números Primos)

Eratóstenes foi um matemático grego que viveu entre os anos 276 a.C. até 194 a.C.
Ele desenvolveu uma tabela, chamada de “Crivo de Eratóstenes”, onde ele conseguiu determinar, não com uma fórmula, mas com uma tabela os números naturais primos, no nosso exemplo do 2 até o 100; mas que na teoria pode ser feito para todos os números primos; porém, o inconveniente é que quanto maior for o nº primo, mais difícil de aplicar o Crivo de Eratóstenes, pois o esforço aliado ao tempo gasto começará a aumentar incrivelmente.

Crivo de Eratóstenes  Como construir?

1º passo: Escrever numa tabela os números de 2 até 100;
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2º passo: Sabemos, pelas regras de divisibilidade, que qualquer número par é divisível por 2, então não risque o nº 2 que é primo e risque na sua tabela todos os múltiplos de 2 (4,6,8,…);
3º passo: Lembrando que qualquer nº é divisível por 3 se a soma de seus algarismos também o for, portanto, sem riscar o nº 3 que é primo, na sua tabela, risque portanto todos os nºs múltiplos de 3;
4º passo: Sabendo que todo nº é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5, sem riscar o nº 5 que é primo, risque na sua tabela todos os múltiplos de 5;
5º passo: Agora, sem riscar o nº7 que é primo, risque todos os nºs que fazem parte da tabuada do 7 na sua tabela. Lembre-se que a tabuada é infinita, ou seja, não termina no 7×10=70, mas continua, infinitamente: 7×11=77; 7×12=84, …;
6º passo: Não se esqueça que um número primo, por definição, só é divisível por ele mesmo e pelo número 1 e portanto tem dois e somente dois divisores naturais.
7º passo: Por fim, escreva os números que você não riscou na sua tabela e serão estes, então, os números primos naturais de 0 até 100.
Confira a seguir se você acertou:


No caso da lista a seguir há os primos entre 2 e 150:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149}

 

Veja abaixo os primos de 2 a 250

abaaag7xwah-54

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Decompor números online

Denominamos fatoração a decomposição de um número natural em um produto de fatores primos.
A fatoração de qualquer número natural primo resultará no próprio número. A fatoração do número primo 73, por exemplo, não resultará em outro número senão ao próprio número 73.

A fatoração de qualquer número natural composto resultará em um produto de 2 ou mais fatores primos.

Observe que um mesmo fator primo pode ocorrer mais de uma vez. Quando isto acontece o representamos na forma de uma potência cujo expoente é o número de ocorrências do tal fator e a base é o próprio fator.

Vejamos o número 147, por exemplo. Ele pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:

3
7
7

Ou seja, 147 decomposto em fatores primos é igual a 3\cdot7 ^{2}
Para verificar seus cálculos, use a ferramenta abaixo

Matematicando na vida!