Equações do primeiro grau

Introdução às equações de primeiro grau

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variável

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um “peso” de 2Kg e duas melancias com “pesos” iguais. No prato direito há um “peso” de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

• Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;
• Um sinal de igualdade, denotado por =.
• Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
• Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

   Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:

   c + a = 22
   c + (c - 4) = 22
   2c - 4 = 22
   2c - 4 + 4 = 22 + 4
   2c = 26
   c = 13
   

   Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

   Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:

   a + b = 100.000
   3b + b = 100.000
   4b = 100.000
   b = 25.000
   

   Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

3. Uma casa com 260m² de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m²?

   Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.

   3x + 140 = 260
   3x = 260 -140
   3x = 120
   x = 40
   

   Resposta: Cada quarto tem 40m².

Exercícios: Resolver as equações

1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variável

Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:

S = {1, 2, 3, 4, 5}

Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade

2x + 2 < 14

obteremos o conjunto solução:

S = {2, 4}

Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades “disfarçadas” em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:

12 < 2x + 2 < 20

poderemos seguir o seguinte processo:

O conjunto solução é:

S = {6, 7, 8, 9}

Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades

12 < 2x + 2 < 20

obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

S = Ø = { }

Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:

a x + b y < c

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 0

observamos que o conjunto solução contém os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), …

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;

(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Sistemas linear de equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações:

2 x + 3 y = 38
3 x – 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.

x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10,6) }

Método de substituição para resolver este sistema

Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 38
3 x – 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:

Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:

Substituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:

x = 19 – (3×6/2) = 19 – 18/2 = 19-9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema:

x + y = 2
x – y = 0

Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Relação entre sistemas lineares e retas no plano

No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Reta 1: ax + by = c
Reta 2: dx + ey = f

Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:

Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;

Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;

Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Exemplos das três situações

Problemas com sistemas de equações:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

   Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

   C + A = 22
   C - A = 4
   

   Resposta: C = 13 e A = 9

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

   Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

   A + B = 100000
   A = 3B
   

   Resposta: A = 75000, B= 25000.

3. Uma casa com 260m² de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m²?

   Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

   3D + O = 260
   O = 140
   

   Resposta: D = 40

Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveis

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < c
d x + e y > f

onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 6
5x + 2y < 20

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);

(2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeira desigualdade;

(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);

(4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul);

(5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessário que seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade;

(6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)

(7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.

Números Racionais

Relacionando números racionais com frações

Um número racional é o que pode ser escrito na forma

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando há interesse, indicamos Q₊ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.

Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp…

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: … após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado.

Exemplos: Dízimas periódicas

1. 0,3333333… = 0,3
2. 1,6666666… = 1,6
3. 12,121212… = 12,12
4. 0,9999999… = 0,9
5. 7,1333333… = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

1. 0,333333… = 0,(3) = 0,3
2. 3,636363… = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

1. 0,83333333… = 0,83
2. 0,72535353… = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

1. 0,3333…= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +…
2. 0,8333…= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …
3. 4,7855…= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + …

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

1. Seja S a dízima periódica 0,3333333…, isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

   S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +…

   Multiplicando esta soma “infinita” por 10¹=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

   10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +…

   Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

   Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

   10 S – S = 3

   donde segue que

   9 S = 3

   Simplificando, obtemos:

   S =	1 3	= 0,33333… = 0,3

   Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

   0,99999… = 0,9 = 1

2. Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131…, isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

   T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +…

   Multiplicando esta soma “infinita” por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

   100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +…

   Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:

   100 T = 31 + T

   de onde segue que

   99 T = 31

   e simplificando, temos que

   T =	31 99	= 0,31313131… = 0,31

3. Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888…, isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

   R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +…

   Manipule a soma “infinita” como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

   R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +…

   Multiplique agora a soma “infinita” por 10¹=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

   10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +…

   Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

   Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

   10(R-7,1) – (R-7,1) = 0,8

   Assim:

   10R – 71 – R + 7,1 = 0,8

   Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

   90 R = 647

   Obtemos então:

   T =	647 90	= 7,1888… = 7,18

4. Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004…, isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

   U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +…

   Manipule a soma “infinita” como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

   U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +…

   Multiplique agora a soma “infinita” por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

   1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +…

   Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

   Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

   1000(U-7) – (U-7) = 4

   Assim:

   1000U – 7000 – U + 7 = 4

   Obtemos então

   999 U = 6997

   que pode ser escrita na forma:

   T =	6997 999	= 7,004004… = 7,004

Números irracionais

Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000…

Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:

e = 2,718281828459045…,
Pi = 3,141592653589793238462643…

que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc…

Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.

Representação, ordem e simetria dos racionais

Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.

Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 é -3/4.
(b) O oposto de  5  é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.

Módulo de um número racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.

A soma (adição) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

Propriedades da adição de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q + 0 = q

Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (-q) = 0

Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:

p – q = p + (-q)

Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

A Multiplicação (produto) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da multiplicação de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a × b = b × a

Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q^-1=b/a em Q, tal que

q × q^-1 = 1

Esta última propriedade pode ser escrita como:

Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q^-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?

A divisão de números racionais esclarece a questão:

Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.

Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Potenciação de números racionais

A potência qⁿ do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qⁿ = q × q × q × q × … × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125
(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8
(c) (-5)²  =(-5)×(-5) = 25
(d) (+5)²  =(+5)×(+5) = 25

Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.

Raízes de números racionais

A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).

Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. Assim:

r = Rⁿ[q] equivale a q = rⁿ

Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rⁿ[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.

Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.

Exemplos:

(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.
(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.
(c) R[144] = 12 pois 12²=144.
(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.

Exemplos:

(a) R³[8]  =  2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27] =  3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:

(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.

(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.

Média aritmética e média ponderada

Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x₁, x₂, x₃, …, x_n. A média aritmética entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:

o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.

Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x₁, x₂, x₃, …, x_n, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p₁, p₂, p₃, …, p_n. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$  50,00
10 ganham R$  60,00
20 ganham R$  25,00
15 ganham R$  90,00
 7 ganham R$ 120,00

Médias geométrica e harmônica

Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x₁, x₂, x₃, …, x_n. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:

G = Rⁿ[x₁ x₂ x₃ … x_n]

Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R⁴[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x₁, x₂, x₃, …, x_n. A média harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:

Aplicações práticas: Para as pessoas interessados em muitas aplicações do conceito de harmônia, média harmônica e harmônico global, visite o nosso link Harmonia.

Frações e Números Decimais

O papel das frações e números Decimais

Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.

Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.

Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a notação X/Y, por ser mais simples.

Elementos históricos sobre os números Decimais

Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.

Os egípcios usavam apenas frações que possuiam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,… Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.

Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.

Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.

Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.

A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.

Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.

Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.

Frações e Números Decimais

Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.

Exemplos de frações decimais, são:

1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/10³

Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.

A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:

onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:

A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.

Leitura de números decimais

Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:

Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:

Exemplos:

Transformando frações decimais em números decimais

Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida “um décimo”. Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: “dois inteiros e trinta e um centésimos”. Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:

(a) 130/100  = 1,30
(b) 987/1000 = 0,987
(c) 5/1000   = 0,005

Transformando números decimais em frações decimais

Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:

(a) 0,5   = 5/10
(b) 0,05  = 5/100
(c) 2,41  = 241/100
(d) 7,345 = 7345/1000

Propriedades dos números decimais

Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por exemplo:

(a) 0,5          = 0,50 = 0,500 = 0,5000
(b) 1,0002       = 1,00020 = 1,000200
(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000

Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:

(a) 7,4 x 10   = 74
(b) 7,4 x 100  = 740
(c) 7,4 x 1000 = 7400

Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, … casas decimais. Por exemplo:

(a) 247,5 ÷ 10   = 24,75
(b) 247,5 ÷ 100  =  2,475
(c) 247,5 ÷ 1000 =  0,2475

Operações com números decimais

Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:

(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:

(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723

(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:

1. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número,
2. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número,
3. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc),
4. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e
5. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.

Dois exemplos:

  2,400     2,400
+ 1,723   - 1,723
-------   -------

(c) Realizar a adição ou a subtração.

Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:

Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:

Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?

Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que “cortamos” a vírgula.

Um outro exemplo:

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.

Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?

Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, …, para obter 350 décimos, 3500 centésimos, … até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.

Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.

Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.

Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.

(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.

(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.

(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.

(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.

(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.

A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.

Comparação de números decimais

A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual).

Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:

(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
(b) 3,7 < 5,4,  pois 3 é menor do que 5.

Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são:

(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.
(c) 4,3 = 4,3    pois 4=4 e 3=3.

Porcentagem

Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:

• A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
• Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
• O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)

A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem.

Exemplos:

(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que

(2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120

Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.

(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?

o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110 páginas.

Frações

Elementos Históricos sobre frações

Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número – o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

Introdução ao conceito de fração

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.

Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

• Você concorda com esta divisão? Por quê?
• Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?
• O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.

Elementos gerais para a construção de frações

Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.

O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … }

Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.

Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q₊, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.

Q₊ = { 0,…, 1/4,…, 1/2,…, 1,…,2,… }

Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.

Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.

Definição de fração

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.

onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.

Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:

Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.

Leitura de frações

(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10

A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:

(b) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10

Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.

Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez.

(c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10

Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:

Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.

Tipos de frações

A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador.

A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.

Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração mas não é, pois representa um número inteiro. Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são aparentes, pois representam o número inteiro zero.

Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.

Propriedades fundamentais

(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

A fração como uma classe de equivalência

A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:

C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, … }

Número Misto

Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto.

Transformação de uma fração imprópria em um número misto

Transformação de um número misto em uma fração imprópria

Simplificação de Frações

Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.

O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração.

A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.

Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.

Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.

Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum. Como MDC(54,72)=18, então 54:18=3 e 72:18=4, logo:

Comparação de duas frações

(1) Por redução ao mesmo denominador

Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:

(2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes

Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.

Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.

Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3, obteremos:

Temos então os mesmos denominadores, logo:

e podemos garantir que

(3) As frações possuem um mesmo numerador

Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.

Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade

pode ser dada geometricamente por:

Observe que a área amarelada é maior na primeira figura.

Divisão de frações

Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.

Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores

R[n] = raiz quadrada de z (z>0) e R³[z] = raiz cúbica de z.

1. Um conjunto possui 18 elementos. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos?

   Resposta: As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo:

   1 grupo com 18 elementos
   2 grupos com 9 elementos em cada grupo
   3 grupos com 6 elementos em cada grupo
   6 grupos com 3 elementos em cada grupo
   9 grupos com 2 elementos em cada grupo
   18 grupos com 1 elemento em cada grupo

   O conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}.

2. De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?

   Resposta: O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,…}. Se n é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,…}.

3. Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?

   Resposta: O conjunto de múltiplos de 0 possui apenas um elemento e é denotado por M(0)={0}, pois M(0)={0x0,0x1,0x2,0x3,0x4,0x5,…}.

4. Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?

   Resposta: No total, Maria ganhou 6 presentes.

5. Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60.

   Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32:
   1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.

6. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?

   Resposta: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante, etc…

7. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?

   Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.

8. Quando possível, complete o espaço entre parênteses com números naturais.

   5×(  ) = 20
   (  )×3 = 18
   4×(  ) = 10
   (  )÷2 =  8
   3÷(  ) =  4
   (  )÷3 =  4
   

   Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 produza 10 e não existe número natural que divide o número 3 e tem por resultado o número 4.

9. O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta.

   Resposta: Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

10. Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:

    1 ovo  = R$  6,00
    2 ovos = R$ 11,00
    3 ovos = R$ 15,00
    4 ovos = R$ 18,00
    

    Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.

    Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos?
    Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos?
    Sem promoção, quanto ele pagaria
       a mais pela compra dos 177 ovos?
    

    Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3.
    Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00.
    Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: 177=4×44+1
    Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.

11. Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos:

    (a) 49
    (b) 37
    (c) 12
    (d) 11
    

    Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores são o número 1 e eles mesmos. 49 não é primo porque é múltiplo de 7. 12 não é primo porque é múltiplo de 2, 3, 4 e 6.

12. Qual é o menor número primo com dois algarismos?

    Resposta: O número 11.

13. Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes?

    Resposta: O número 13.

14. Qual é o menor número primo com três algarismos diferentes?

    Resposta: O número 103.

15. Qual é o valor do número natural b, tal que 64=b×b×b?

    Resposta: R³[64]=4, pois 64=b×b×b, ou seja, 64=b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b=4.

16. Tente obter justificativas para garantir que valem as igualdades com potências e radicais.

    R[9]=3   2³=8   R³[8]=2  R[16]=4  5²=25

17. Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20?

    Resposta: 11, 13, 17 e 19.

18. Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3.

    Resposta: 18, 12, … A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos estão na justificativa abaixo. Para obtermos números que possuem apenas os números 2 e 3 como fatores, não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é “criá-lo” multiplicando 2 e 3 quantas vezes desejarmos. Por exemplo: 2×2×3=12, 3×3×2=18, 2×2×3×3×3=108.

19. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?
    

    Resposta: 9 quadradinhos.

20. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3².

    Resposta: 3²=9.

21. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?
    Resposta: 27 cubinhos.
22. Qual o valor de 3³ (3 elevado ao cubo)?

    Resposta: 3³=27.

Critérios de Divisibilidade

Sobre a divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Alguns critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

Repete-se o processo com este último número.

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Divisibilidade por 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?

Repete-se o processo com este último número.

Repete-se o processo com este último número.

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.