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modelo de kirigami

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Corta e recorta em casa

Com as crianças trabalhamos a técnica mais simples de kirigami, na qual você dobra o papel e com alguns cortes faz um floco de neve ou uma “toalhinha de renda” bem fofa.

Nós fizemos de duas maneiras. Um deles, começamos por colorir uma folha de papel tipo sulfite quadrada.

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - henrique pintando

Usamos lápis de cor, canetinha e aquarela.

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - desenhos

Em seguida, pegamos outro pedaço quadrado de papel tipo sulfite. Em ambos, nós fizemos a seguinte dobradura.

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - larissa dobrando 2

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - larissa dobrando

Então veio a parte do recorte. Olha há na internet vários sites e vídeos que mostram cortes específicos para você criar um determinado padrão de renda na sua toalha de papel ou, melhor dizendo, no seu kirigami. Mas eu preferi brincar com as crianças e deixar que elas cortassem como preferissem a dobradura para vermos o resultado no final.

A única coisa é que eu pedi que eles desenhassem antes os riscos que iriam cortar, para termos uma etapa de planejamento na brincadeira.

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - cortando o papel

Meus filhos já são grandes o suficiente para manejarem com segurança uma tesoura sem ponta. Se não é este o caso dos seus filhos, esta é a hora em que você corta no lugar deles.

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - pedacinhos prontos

Então, chegou o momento de abrir o kirigami e ver a forma que ficou. Olha a cara de “ohhhhhhhlhaaaaa” da Potcho!

2017-03-27 17.46.13

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - larissa abrindo a dobradura pronta na mesa

Aqui cada um com o seu kirigami recortadinho.

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - criancas com seus desenhos

Depois, as meninas quiseram também enfeitar o kirigami feito no papel branco. E tudo bem, bóra todo mundo de volta para a pintura e colagem!

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - criancas pintando os kirigamis

Arte para crianças entre 4 e 7 anos kirigami - kirigami pronto

Que tal esta dica para fazer com as crianças nesta semana ainda? Um tempinho e vocês terão várias rendas e flocos de neve para brincar.

Fonte:https://www.tempojunto.com/2017/04/26/arte-para-criancas-entre-4-e-7-anos-kirigami/

Cálculos Curiosidades Fundamental Geometria Trigonometria
O Homem Vitruviano e o número Phi: a matemática da beleza

Leonardo da Vinci (1452-1519), um dos maiores gênios da humanidade, não foi só o pintor de Mona Lisa, a obra mais famosa já pintada, reproduzida e parodiada de todos os tempos. Ele também era matemático, engenheiro, cientista e inventor. E também botânico, poeta e músico.

Por volta de 1490, da Vinci produziu vários desenhos para um diário. Entre eles, está o célebre Homem Vitruviano, baseado numa passagem do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de De Architectura, um tratado de arquitetura em que, no terceiro livro, são descritas as proporções do corpo humano masculino:

“O Homem Vitruviano”, de Leonardo da Vinci. 1490, Lápis e tinta sobre papel, 34 X 24 cm

– um palmo é o comprimento de quatro dedos
– um pé é o comprimento de quatro palmos
– um côvado é o comprimento de seis palmos
– um passo são quatro côvados
– a altura de um homem é quatro côvados
– o comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura
– a distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem
– a distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem
– o comprimento máximo nos ombros é um quarto da altura de um homem
– a distância entre a o meio do peito e o topo da cabeça é um quarto da altura de um homem
– a distância entre o cotovelo e a ponta da mão é um quarto da altura de um homem
– a distância entre o cotovelo e a axila é um oitavo da altura de um homem
– o comprimento da mão é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o fundo do queixo e o nariz é um terço do comprimento do rosto
– a distância entre a linha de cabelo na testa e as sobrancelhas é um terço do comprimento do rosto
– o comprimento da orelha é um terço do da face
– o comprimento do pé é um sexto da altura

Após várias tentativas de Vitrúvio para encaixar as proporções do corpo humano dentro da figura de um quadrado e um círculo, foi apenas com Leonardo que o encaixe saiu corretamente perfeito, dentro dos padrões matemáticos esperados.

O Homem Vitruviano é considerado frequentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, por extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do quadrado (quadratura do círculo) e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional Phi (aproximadamente 1,618).

Miolo do girassol

Colmeia de abelhas

Mas o que é o número Phi ou número áureo? Este número está envolvido com a natureza do crescimento e está associado ao significado da perfeição, que pode ser encontrado em vários exemplos de seres vivos: crescimento de plantas, população de abelhas, escamas de peixes, presas de elefantes, flor de girassol, entre outros. E também em espirais de galáxias. Na matemática, o número Phi é encontrado de várias formas: Figuras Geométricas, Retângulo Dourado, Série de Frações, Série de Raízes e a Série de Fibonacci. Neste post, vou me ater ao número áureo encontrado através da Série de Fibonacci.

O número áureo pode ser aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…, na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:

2/1 = 2 ….. 3/2 = 1,5 ….. 5/3 = 1,666…… 8/5 = 1,6 …… 13/8 = 1,625

 

Muitos estudos e muitas pesquisas já se fizeram e continuarão a ser feitos desvendando os mistérios do número Phi. Importante lembrar que, desde sempre, o homem está continuamente à procura da felicidade. E a beleza, sentida ou mostrada, faz parte desta felicidade. O número áureo, sendo a representação extrema da perfeição, é a ponte que liga a Arte à Matemática, em busca da beleza, em busca da felicidade.

Autor: Catherine Beltrão

Curiosidades Geometria Geometria Espacial Geometria Plana
Apostila de GeoGebra

Apostila de GeoGebra, para geometria dinâmica

Essa apostila mostra o passo a passo de diversas construções para aplica-las em sala de aula. Perfeitos para professores do ensino Fundamental, médio e superior.

Confira abaixo o link para baixar uma apostila Feita por:

EMERSON ROLKOUSKI; TASSIANE SAUERBIER; ELIANE P. DE LIMA – UFPR

Esta é uma tradução da apostila destinada à Disciplina CD039 – Geometria Dinâmica do Curso de Matemática com o uso do software Cabri Géomètre para o software GeoGebra.

Link :Apos_GeoDin_GeoGebra

Atividades realizadas na apostila.

Matematicando na vida!

Educação matemática Fundamental Geometria Geometria Espacial Geometria Plana Médio Trigonometria
GeoGebra- Software de Matemática Dinâmica Gratuito

Criado por Markus Hohenwarter,matemático austríaco, o GeoGebra é um software livre para o aprendizado de matemática dinâmica que reúne diversos recursos de cálculo, geometria e álgebra.

o software GeoGebra tem todas as ferramentas comuns de um software de geometria dinâmica: os pontos, os segmentos, as retas e as seções cônicas. Porém possui também equações e coordenadas que podem ser inseridas diretamente. Desse modo, o GeoGebra tem uma enorme vantagem em sua apresentação é possível fazer duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação algébrica e sua representação geométrica.

GeoGebra

Os tutoriais a seguir são pequenas animações com textos explicativos.

 

Tutorial Descrição
1

Janelas iniciais do programa: a Janela de Visualização, a Janela de Álgebra, o Campo de Entrada e o Botão de Ajuda.

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2

Disposições.

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3

Barra de Ferramentas, construção de pontos e retas no plano.

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4

Como apagar objetos, usando botão de Desfazer, construção de pontos médios e segmentos.

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5

Como mover, ampliar e reduzir a Janela de Visualização. Pontos livres no plano e pontos fixos.

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6

Como gravar, abrir e iniciar novas construções geométricas.

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7

Como esconder, exibir e mover os rótulos. Configuração de rótulos no GeoGebra.

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8

Como esconder e exibir objetos no Geogebra. Aplicação: construção do triângulo equilátero.

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9

Como traçar retas perpendiculares entre si. Aplicação: construção de um quadrado.

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10

Como esconder diversos objetos ao mesmo tempo (seleção múltipla com a tecla CTRL).

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11

Como traçar retas paralelas. Como construir polígonos preenchidos coloridos. Aplicação: construção de um paralelogramo.

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12

Como mudar a aparência dos objetos: sua cor, seu tamanho, sua espessura, sua transparência. Como renomear um objeto.

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13

Como modificar as propriedades dos objetos (sua cor, seu tamanho, sua espessura, sua transparência) com o botão direito do mouse.

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14

Usando a ferramenta Mediatriz.

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15

Usando a ferramenta Bissetriz.

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16

Como construir o incentro e o círculo inscrito de um triângulo qualquer.

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17

Como construir pontos semi-livres, como rastrear os pontos, como construir lugares geométricos.

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18

sobre rastros, usando atalho de teclado CTRL + F.

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19

Criando e usando novas ferramentas (macros), a ferramenta Polígono Regular.

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20

Como gravar, abrir, configurar e apagar ferramentas (macros). Como deixar uma ferramenta permanente.

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21

Usando macro para ilustrar /demonstrar o Teorema de Napoleão.

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22

Como exportar imagens para o Microsoft Word ou o BrOffice usando o formato PNG.

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23

Como usar d a Janela de Álgebra; como configurar o número de dígitos usados.

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24

Como criar ângulos e modificar suas aparências; como usar a ferramenta Copiar Estilo Visual.

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Informações no GeoGebraWiki: Ferramenta Ângulo e Ferramenta Copiar Estilo Visual.

25

A Barra de Estilo.

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26

Textos e Fórmulas do LaTeX.

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27

Definindo funções afins e funções quadráticas.

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28

Configurando escalas dos eixos coordenados.

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29

Configurando a aparência dos eixos coordenados (rótulo e marca).

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Fonte:Instituto GeoGebra no Rio de Janeiro

Matematicando na vida!

Fundamental Geometria Médio
Número PI(π)

A história do aparecimento do pi remonta ao tempo dos antigos egípcios, ou seja, há mais de 4000 anos. Ainda que nessa altura, não fosse designado pela letra grega que o tornou famoso. Alguns papiros antigos, mostram que os egípcios estimaram que o valor do pi seria .

Mas afinal, o que é o pi?

Explicado de forma simples, o pi é um número. Eu sei que dito assim, pode parecer demasiado simplista, mas é essa a realidade. O pi é apenas um número como outro qualquer. Representa-se pela letra grega  e serve para designar a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. Esse valor é sempre igual, independentemente do tamanho da circunferência! Isto é, se medirmos o comprimento de uma circunferência (seja qual for o seu tamanho) com um fio, e, de seguida dividirmos esse comprimento pelo diâmetro da circunferência, o resultado que vamos obter é o pi. Daqui resulta que o perímetro de qualquer circunferência, pode ser calculado através da seguinte fórmula:

demonstração do cálculo do pi

Quem descobriu o pi?

O pi tem uma longa história. Foram muitas as civilizações antigas que tentaram descobrir o valor do pi o mais aproximado possível. Como já foi referido, os egípcios chegaram ao valor aproximado de . Mais ou menos na mesma altura, os babilónios obtiverem o valor aproximado de . Por volta do séc. III a.C. o grande matemático grego Arquimedes começou por calcular o perímetro de dois hexágonos, um inscrito e outro circunscrito numa circunferência. Ao aumentar o número de lados do polígono, até chegar aos 96 lados, conseguiu uma aproximação para o valor do pi igual a . Usando a mesma técnica, Ptolomeu com um polígono de 720 lados conseguiu uma estimativa de . Mais tarde, por volta do séc. V, os chineses, utilizando um polígono com 3072 lados conseguiram a estimativa de . E assim foram sendo melhoradas as estimativas ao longo do anos. É contudo de salientar que todas estes cálculos eram feitos à mão. Por exemplo, no séc XVI, o holandês Ludolph van Ceulen conseguiu obter o valor do pi com 35 casas decimais. Nessa altura, este tipo de cálculos demoravam anos e anos de trabalho intensivo! Mais recentemente, com o aparecimento dos computadores, já foi possível calcular o valor do pi com milhões de casas decimais.

casas decimais do pi

Então e o símbolo, apareceu quando?

Muitos dos símbolos matemáticos usados nos dias de hoje, devem-se ao grande matemático suíço Leonhard Euler. Foi ele, que em 1737 deu a conhecer o símbolo  para representar o famoso número. Foi também nessa altura, que os matemáticos demonstraram que o pi é um número irracional, logo o número de casas decimais necessárias para obter o seu valor exato é infinito.

O número pi foi determinado pela razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro. Por se tratar de um valor constante, sempre igual, o pi passou a ser representado na matemática pelo símbolo π. Para exemplificar, iremos demonstrar em fórmula que a divisão entre o perímetro e o diâmetro de uma roda de carro e de uma moeda são exatamente o mesmo valor: π.

Fórmula

π é um número irracional que, normalmente, arredondamos o valor para três casas, com o valor π=3,14. No entanto, o mistério da matemática que envolve o π, é que não sabemos qual seria a última casa desse número, que pode ser representado com várias casas após a vírgula, mas sempre terminando em reticências:

π= 3,14159265358979323846…

Por isso, usamos sempre a letra grega π, evitando possíveis erros. O pode ser encontrado por meio da divisão do perímetro pelo diâmetro de uma circunferência, e o perímetro pela multiplicação do diâmetro por π, conforme demonstrado abaixo:

Fórmula

A história do número π

A relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro já era conhecida por diversos povos antigos (como os babilônios e os egípcios), que já sabiam que a razão era maior do que 3. Em placas encontradas dos povos babilônios, havia anotações de uma aproximação grosseira para o valor de π. Eles consideravam a razão como dada pelo número 3 ou por:

Fórmula

Para os egípcios, no entanto, o valor era outro, mais exato, ao qual chegaram por meio da comparação entre a área de um disco circular com o quadrado do seu diâmetro. Se o diâmetro for 2 e a área π, podemos ter o valor de π por meio da regra egípcia:

Fórmula

Os gregos foram os primeiros a mostrar por quais motivos a razão dos círculos de tamanhos distintos é a mesma. Trata-se de uma simples propriedade das figuras semelhantes. Arquimedes foi quem aproximou mais o número π do valor real, aproximando a circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, determinando uma limitação para π:

Fórmula

ou seja, 3,14085 < π < 3,142857.

Dessa forma, com o passar dos anos, os valores foram sendo melhorados e aproximados ao real. No entanto, foi a partir do século XX, com uso de computadores e dos algoritmos computacionais que se tornou mais precisa a definição do valor de π.

O cálculo da área de um círculo

O π aparece também na fórmula que determina a área de um círculo, que é constituída pelo fracionamento do círculo em uma infinidade de triângulos isósceles, sendo que dois dos lados do triângulo devem ter a medida do raio.

Área da circunferência

Com dois triângulos desses, formamos um paralelogramo com uma inclinação pequena, que tende ao retângulo.

Triângulos

Com a multiplicação da base pela altura, temos a área de um retângulo e, como cada retângulo é formado por dois triângulos, sendo que sua base é um pedaço do perímetro do círculo, a fragmentação tem que ser imaginada com um número par de triângulos, para que todos se unam em pares para formar retângulos. Une-se, em seguida, todos os retângulos em um retângulo maior cuja base é πR e a altura é R, como demonstrado na imagem abaixo.

Retângulo

O processo de encaixe dos triângulos dois a dois faz com que a base seja a metade do perímetro do círculo. Multiplicando a base pela altura, temos π x R x R, determinando a área desse retângulo, que pode ser representado por:

A = π R²

 

 

10 curiosidades sobre o número PI!

14 de março é comemorado o dia do número PI (π). Sabe por que?

Descubra conosco essa e mais outras curiosidades sobre esse número mágico!

1 – Comemoração do 3/14

14 de março ou 14/3 (“3/14” nos países que usam a notação mês/dia) foi escolhido para celebrar do dia do número PI por causa dos seus 3 primeiros dígitos (3,14). Ele é o resultado da divisão da circunferência de um círculo pelo seu diâmetro. A conta dá sempre a dízima, que começa com 3,1415927 e nunca chega ao fim.

2 – As primeiras 100 casas decimais

As primeiras 100 casas decimais do Pi são: 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

 

3 – Aniversariante ilustre

14 de março, dia do PI, também é o dia do nascimento do físico alemão Albert Einstein!

4 – Conhecido antigo

Na Grécia antiga o símbolo Pi era usado para representar o número 80.

5 – Cadê o Zero?

O zero não aparece nos primeiros 31 dígitos de Pi .

6 – Ludolph Van Ceulen

Na Holanda, o matemático Ludolph Van Ceulen (1539-1610) determinou as primeiras 20 casas decimais do número PI no livro Van den Circkel em 1596 e, anos mais tarde, expandiu seu conhecimento para 35 casas decimais. O curioso é que em sua lápide foi gravado o número com 35 casas decimais! Até hoje na Alemanha o número é chamado de Número de Ludolph.

7 – O PI em forma de música:

 

8 – Casas decimais infinitas usadas na computação

Usadas para testes em supercomputadores, já foram descobertas mais de 5 trilhões de casa decimais. Em 2009, por exemplo, pesquisadores da Universidade de Tsukuba, no Japão, calcularam um total de 2.576.980.377.524 casas decimais em 73 horas e 36 minutos, com a ajuda de um computador gigantesco, O T2K Tsukuba System. Ele é um cluster de 640 computadores com uma velocidade de processamento de 95 trilhões de flops.

9 – Curiosidades Rapidinhas

Considerando as primeiras 6.000.000.000 casas decimais do Pi temos que:

  • O algarismo 0 ocorre 599.963.005 vezes;
  • O algarismo 1 ocorre 600.033.260 vezes;
  • O algarismo 2 ocorre 599.999.169 vezes;
  • O algarismo 3 ocorre 600.000.243 vezes;
  • O algarismo 4 ocorre 599.957.439 vezes;
  • O algarismo 5 ocorre 600.017.176 vezes;
  • O algarismo 6 ocorre 600.016.588 vezes;
  • O algarismo 7 ocorre 600.009.044 vezes;
  • O algarismo 8 ocorre 599.987.038 vezes;
  • O algarismo 9 ocorre 600.017.038 vezes.

 

 

Matematicando na vida!

Geometria Geometria Espacial
Vetores no espaço tridimensional
Geometria Espacial: Vetores no espaço tridimensional
  • Vetores no espaço R3
  • Soma de vetores e propriedades
  • Aplicações geométricas
  • Diferença de vetores
  • Produto por escalar e propriedades
  • Módulo de vetor e vetores unitários
  • Produto escalar
  • Propriedades do Produto escalar
  • Ângulo entre vetores (Prod.Escalar)
  • Vetores ortogonais
  • Produto Vetorial e propriedades
  • Ângulo entre vetores (Prod.Vetorial)
  • Aplicações do Produto Vetorial
  • Produto Misto e aplicações

 

Vetores no espaço R³

Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³.

Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um segmento de reta desta família (representante).

O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R³, razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c).

Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R³, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:

v = (7,12,15) – (1,2,3) = (6,10,12)

Existe uma definição mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

 

Soma de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)

 

Propriedades da soma de vetores

  1. Fecho: Para quaisquer u e v de R³, a soma u+v está em R³.
  2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R³: v+w=w+v.
  3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R³: u+(v+w)=(u+v)+w.
  4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0,0) em R³ tal que para todo vetor u de R³, se tem: Ø+u=u.
  5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R³, existe um vetor -v em R³ tal que: v+(-v)=Ø.

 

Aplicações geométricas

Ponto Médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1) e v2=(x2,y2,z2), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y,z) onde

x = (x1+x2)/2; y = (y1+y2)/2; z = (z1+z2)/2

Centro de Gravidade de um triângulo: Consideremos os vértices de um triângulo, dados pelas extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1), v2=(x2,y2,z2) e v3=(x3,y3,z3). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y,z) onde

x =(x1+x2+x3)/3; y =(y1+y2+y3)/3; z =(z1+z2+z3)/3

 

Diferença de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a diferença entre v e w, por:

v – w = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)

 

Exercício: Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construir os vetores v, w, -v, -w, v+w e v-w.

 

Produto de vetor por escalar

Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, como:

k.v = (ka,kb,kc)

 

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam os escalares a, b e c e os vetores v e w teremos:

(E1) 1 v = v
(E2) (a b)v = a (b v) = b (a v)
(E3) a v = b v com v não nulo, então a=b.
(E4) k (v + w) = k v + k w
(E5) (a + b)v = a v + b v

 

Módulo de um vetor e vetores unitários

O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por:

Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1.

 

Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³.

i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)

Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:

v = (a,b,c) = a i + b j + c k

Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

u = v / |v|

Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:

w = k v

As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por:

vx=(0,b,c); vy=(a,0,c); vz=(a,b,0)

 

Exercício: Quais são os vetores que representam as projeções ortogonais do vetor v = (3,4,12)? Quais são os módulos de todos estes vetores? Esboce um gráfico com estes vetores.

 

Produto escalar

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:

v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3

 

Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:

v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48

O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:

v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0

 

Exercício: Faça um gráfico, com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.

 

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k:

(PE1) v.w = w.v
(PE2) v.v = |v| |v| = |v|²
(PE3) u.(v + w) = u.v + u.w
(PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w)
(PE5) |k v| = |k| |v|
(PE6) |u.v| < |u|.|v| (desigualdade de Schwarz)
(PE7) |u+v| < |u|+|v| (desigualdade triangular)

 

Ângulo entre dois vetores (Produto Escalar)

O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v.w = |v| |w| cos(t)

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (pi radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno deste argumento t.

cos(t) = (v.w) / (|v|.|w|)

 

Exercício: Realizar uma análise acerca do produto escalar de dois vetores, quando o ângulo t é nulo, quando é reto e quando é raso.

 

Exercício: Determinar o ângulo entre os vetores v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de construir um gráfico com esses objetos matemáticos.

 

Vetores ortogonais

Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo, isto é, v.w=0.

 

Exercício: Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos são os vetores ortogonais a v no espaço R³? Construa geometricamente esta situação.

 

Produto vetorial

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.

u × v =

Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do “determinante”. Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.

u × v = = (-3,6,-3)

Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.

Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.

 

Propriedades do Produto Vetorial

(PV1) v × w = - w × v
(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w
(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)
(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0
(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j
(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são paralelos

 

Ângulo entre dois vetores (produto vetorial)

O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v × w = |v| |w| sen(t) U

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.

Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obtemos:

|v × w| = |v| |w| sen(t)

e isto significa que, com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:

sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|)

sendo que t é um número real pertencente ao intervalo [0,pi].

 

Aplicações do Produto Vetorial

Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.

A(paralelogramo) = | v × w |

Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:

A(triângulo) = ½ | v × w |

 

Produto misto

Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante

[u,v,w] = u·(v×w) =

 

Aplicações do Produto Misto

Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.

Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.

V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|


Construída por Ulysses Sodré.

Matematicando na vida!

Geometria Geometria Espacial
Prismas
Geometria Espacial: Prismas
  • Prisma
  • Seções do prisma
  • Prisma regular
  • Planificação do prisma
  • Volume de um prisma
  • Área lateral do prisma reto
  • Tronco de prisma

 

Prisma

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo
Bases são regiões poligonais congruentes


A altura é a distância entre as bases


Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas


Faces laterais são paralelogramos

 

Objeto Prisma reto Prisma oblíquo
Arestas laterais têm a mesma medida têm a mesma medida
Arestas laterais são perpendiculares
ao plano da base
são oblíquas
ao plano da base
Faces laterais são retangulares não são retangulares

 

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal
Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono

 

Seções de um prisma

Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

 

Prisma regular

É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

 

Planificação do prisma

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma “superfície” que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

 

Volume de um prisma

O volume de um prisma é dado por:

V(prisma) = A(base).h

 

Área lateral do prisma reto com base poligonal regular

A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral como:

A(lateral) = n A(Face Lateral)

 

Uma forma alternativa para obter a área lateral de um prisma reto tendo como base um polígono regular de n lados é tomar P como o perímetro desse polígono e h como a altura do prisma.

A(lateral) = P.h

 

Tronco de prisma

Quando seccionamos um prisma por um plano não paralelo aos planos das bases, a região espacial localizada dentro do prisma, acima da base inferior e abaixo do plano seccionante é denominado tronco de prisma. Para calcular o volume do tronco de prisma, multiplicamos a média aritmética das arestas laterais do tronco de prisma pela área da base.


Construída por Daniela Harmuch e Ulysses Sodré

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