| Geometria Espacial: Vetores no espaço tridimensional |
- Vetores no espaço R3
- Soma de vetores e propriedades
- Aplicações geométricas
- Diferença de vetores
- Produto por escalar e propriedades
- Módulo de vetor e vetores unitários
- Produto escalar
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- Propriedades do Produto escalar
- Ângulo entre vetores (Prod.Escalar)
- Vetores ortogonais
- Produto Vetorial e propriedades
- Ângulo entre vetores (Prod.Vetorial)
- Aplicações do Produto Vetorial
- Produto Misto e aplicações
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Vetores no espaço R³
Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³.
Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um segmento de reta desta família (representante).
O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R³, razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c).
Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R³, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:
v = (7,12,15) – (1,2,3) = (6,10,12)
Existe uma definição mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.
Soma de vetores
Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma de v e w, por:
v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)
Propriedades da soma de vetores
- Fecho: Para quaisquer u e v de R³, a soma u+v está em R³.
- Comutativa: Para todos os vetores u e v de R³: v+w=w+v.
- Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R³: u+(v+w)=(u+v)+w.
- Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0,0) em R³ tal que para todo vetor u de R³, se tem: Ø+u=u.
- Elemento oposto: Para cada vetor v de R³, existe um vetor -v em R³ tal que: v+(-v)=Ø.
Aplicações geométricas
Ponto Médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1) e v2=(x2,y2,z2), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y,z) onde
x = (x1+x2)/2; y = (y1+y2)/2; z = (z1+z2)/2
Centro de Gravidade de um triângulo: Consideremos os vértices de um triângulo, dados pelas extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1), v2=(x2,y2,z2) e v3=(x3,y3,z3). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y,z) onde
x =(x1+x2+x3)/3; y =(y1+y2+y3)/3; z =(z1+z2+z3)/3
Diferença de vetores
Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a diferença entre v e w, por:
v – w = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)
Exercício: Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construir os vetores v, w, -v, -w, v+w e v-w.
Produto de vetor por escalar
Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, como:
k.v = (ka,kb,kc)
Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam os escalares a, b e c e os vetores v e w teremos:
(E1) 1 v = v
(E2) (a b)v = a (b v) = b (a v)
(E3) a v = b v com v não nulo, então a=b.
(E4) k (v + w) = k v + k w
(E5) (a + b)v = a v + b v
Módulo de um vetor e vetores unitários
O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por:
Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1.
Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³.
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)
Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:
v = (a,b,c) = a i + b j + c k
Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
u = v / |v|
Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:
w = k v
As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por:
vx=(0,b,c); vy=(a,0,c); vz=(a,b,0)
Exercício: Quais são os vetores que representam as projeções ortogonais do vetor v = (3,4,12)? Quais são os módulos de todos estes vetores? Esboce um gráfico com estes vetores.
Produto escalar
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:
v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3
Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:
v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48
O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:
v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0
Exercício: Faça um gráfico, com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.
Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k:
(PE1) v.w = w.v
(PE2) v.v = |v| |v| = |v|²
(PE3) u.(v + w) = u.v + u.w
(PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w)
(PE5) |k v| = |k| |v|
(PE6) |u.v| < |u|.|v| (desigualdade de Schwarz)
(PE7) |u+v| < |u|+|v| (desigualdade triangular)
Ângulo entre dois vetores (Produto Escalar)
O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:
| v.w = |v| |w| cos(t) |
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onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (pi radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno deste argumento t.
cos(t) = (v.w) / (|v|.|w|)
Exercício: Realizar uma análise acerca do produto escalar de dois vetores, quando o ângulo t é nulo, quando é reto e quando é raso.
Exercício: Determinar o ângulo entre os vetores v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de construir um gráfico com esses objetos matemáticos.
Vetores ortogonais
Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo, isto é, v.w=0.
Exercício: Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos são os vetores ortogonais a v no espaço R³? Construa geometricamente esta situação.
Produto vetorial
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.
u × v = 
Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do “determinante”. Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.
u × v = 
= (-3,6,-3)
Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.
Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.
Propriedades do Produto Vetorial
(PV1) v × w = - w × v
(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w
(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)
(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0
(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j
(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são paralelos
Ângulo entre dois vetores (produto vetorial)
O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:
v × w = |v| |w| sen(t) U
onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.
Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obtemos:
|v × w| = |v| |w| sen(t)
e isto significa que, com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:
sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|)
sendo que t é um número real pertencente ao intervalo [0,pi].
Aplicações do Produto Vetorial
Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.
A(paralelogramo) = | v × w |
Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:
A(triângulo) = ½ | v × w |
Produto misto
Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante
[u,v,w] = u·(v×w) = 
Aplicações do Produto Misto
Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.
Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.
V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|
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Construída por Ulysses Sodré. |
Matematicando na vida!
Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.
Quando seccionamos um prisma por um plano não paralelo aos planos das bases, a região espacial localizada dentro do prisma, acima da base inferior e abaixo do plano seccionante é denominado tronco de prisma. Para calcular o volume do tronco de prisma, multiplicamos a média aritmética das arestas laterais do tronco de prisma pela área da base.