Fórmula de Heron: Área de região triangular

Geometria Plana: Fórmula de Heron: Área de região triangular

 

Área de uma região triangular

Teorema: Se um triângulo possui os lados medindo a, b e c e o seu perímetro é indicado por 2p=a+b+c, então a área da região triangular será dada por

A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

onde R[x] é a notação para a raiz quadrada de x>0.

 

Demonstração: Seja o triângulo com a base a e os outros lados com b e c. Os lados b e c têm projeções ortogonais, indicadas por m e n sobre o lado a.

Tomando h como a medida da altura do triângulo, relativa ao lado a, segue que a área da região triangular será dada por A=a.h/2. Temos a formação de mais dois pequenos triângulos retângulos e com eles, podemos extrair as três relações:

b²=m²+h², c²=n²+h², a=m+n

 

Subtraindo membro a membro a 2a. relação da 1a. e usando a 3a., obtemos:

b²-c² = m²-n² = (m+n)(m-n) = a(m-n)

 

assim

m + n = a
m - n = (b²-c²)/a

Somando e subtraindo membro a membro, estas últimas expressões, segue que:

m = (a²+b²-c²)/2a
n = (a²+c²-b²)/2a

Como a+b+c=2p, aparecem as três expressões:

a+b-c = a+b+c-2c = 2p-2c = 2(p-c)
a+c-b = a+b+c-2b = 2p-2b = 2(p-b)
b+c-a = a+b+c-2a = 2p-2a = 2(p-a)

Temos então que

4a²h² = 4a²(b²-m²)
      = 4a²(b+m)(b-m)
      = 4a²[b+(a²+b²-c²)/2ab)][b-(a²+b²-c²)/2ab)]
      = (2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)
      = [(a+b)²-c²][c²-(a-b)²]
      = (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
      = 2p.2(p-a).2(p-b).2(p-c)
      = 16p(p-a)(p-b)(p-c)

Como A=a.h/2, então

A² = (1/4)a² h² = p(p-a)(p-b)(p-c)

 

Extraindo a raiz quadrada, obtemos:

A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

 

Exemplo: Para obter a área da região triangular cujos lados medem 35cm, 45cm e 50cm, basta tomar a=35, b=45, c=50, para obter 2p=35+45+50 e desse modo segue que p=65. Assim:

A = R[65(65-35)(65-45)(65-50)] = R[585000] = 764,85cm²

Geometria Analítica Plana

Geometria Plana: Geometria Analítica Plana
Eixos coordenados Distância entre pontos Ponto médio de um segmento Retas no plano cartesiano Equação reduzida da reta Retas paralelas e perpendiculares	Equação geral da reta Distância de ponto a reta Área de um triângulo Circunferências no plano Relações importantes no plano Seções cônicas

 

Eixos Coordenados

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.

Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas e tal sistema possui quatro regiões denominadas quadrantes.

Segundo quadrante Primeiro quadrante Terceiro quadrante Quarto quadrante	Quadrante sinal de x sinal de y Ponto não tem não tem (0,0) Primeiro + + (2,4) Segundo – + (-4,2) Terceiro – – (-3,-7) Quarto + – (7,-2)

 

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto é, a²=b²+c².

Dados P=(x₁,y₁) e Q=(x₂,y₂), obtemos a distância entre P e Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras.

O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro cateto, logo:

[d(P,Q)]² = [d(P,R)]² + [d(Q,R)]²

Como:

[d(P,R)]² = | x₁ – x₂| ² = (x₁ – x₂)²

e

[d(Q,R)] ² = | y₁ – y₂| ² = (y₁ – y₂)²

então

 

Exemplos: A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é

A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) é dada por:

 

Ponto médio de um segmento

Aplicação: Dados os pares ordenados P=(x₁,y₁) e Q=(x₂,y₂), pode-se obter o Ponto Médio M=(x_m,y_m) que está localizado entre P e Q.

O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.

x_m = (x₁ + x₂)/2, y_m = (y₁ + y₂)/2

 

Observação: O centro de gravidade de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂) e C=(x₃,y₃), é:

G=((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3 )

 

Retas no plano cartesiano

Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P₁=(x₁,y₁) e P₂=(x₂,y₂) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.

 

Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P₁=(x₁,y₁) e P₂=(x₂,y₂), com x₁x₂, o coeficiente angular k da reta que passa por estes pontos é o número real

 

Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.

Se o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, o sinal do coeficiente angular é negativo.

 

Declividade de uma reta: A declividade indica o grau de inclinação de uma reta. O fato do coeficiente angular ser maior que outro indica que a reta associada a este coeficiente cresce mais rapidamente que a outra reta. Se um coeficiente angular é negativo e o módulo deste é maior que o módulo de outro coeficiente, temos que a reta associada ao mesmo decresce mais rapidamente que a outra.

Se o coeficiente angular é nulo, a reta é horizontal.

 

Coeficiente linear de uma reta: é a ordenada (altura) w do ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.

 

Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX.

Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y=b, ordenada do ponto onde está reta corta o eixo OY.

 

Equação reduzida da reta

Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por:

y = k x + w

 

Exemplos

1. Se k=5 e w=-4, então a reta é dada por y=5x-4.

2. Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y=x.

3. Se k=0 e w=5, temos a reta y=5.

 

Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado: Uma reta que passa por um ponto P=(x_o,y_o) e tem coeficiente angular k, é dada por:

y – y_o = k (x – x_o)

 

Exemplos

1. Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular k=8, então a equação da reta é y=8(x-1)+5.

2. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente angular k= -1, então a sua equação é dada por: y=-x.

 

Reta que passa por dois pontos: Se dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂) não estão alinhados verticalmente, podemos obter a equação da reta que passa por estes pontos com:

 

Retas paralelas e perpendiculares

Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.

 

Exemplos

1. x=3 e x=7 são retas paralelas.

2. As retas y=34 e y=0 são paralelas.

3. As retas y=2x+5 e y=2x-7 são paralelas.

Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k’ e k” tal que k’k”=-1.

 

Exemplos

1. As retas y=x+3 e y=-x+12 são perpendiculares, pois k’=1, k”=-1 e k’k”=-1.

2. As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois k’=5, k”=-1/5 e k’k”=-1.

 

Equação geral da reta

Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua equação geral:

a x + b y + c = 0

 

Exemplos

1. Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta -x+y-1=0.

2. Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y=0.

3. Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x+5=0.

 

Distância de um ponto a uma reta no plano

Seja um ponto P=(x_o,y_o) e uma reta r no plano definida por ax+by+c=0.

A distância d=d(P,r) do ponto P à reta r pode ser obtida pela fórmula abaixo:

 

Exemplo: A distância de (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:

 

Área de um triângulo no plano cartesiano

Dado um ponto (x₁,y₁) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x₂,y₂) e (x₃,y₃), pode-se calcular a área do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre (x₂,y₂) e (x₃,y₃) e a altura do triângulo que é a distância de (x₁,y₁) à reta que contém os outros dois pontos.

Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de memorizar.

A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expressão:

 

Exemplo: A área do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois:

 

Colinearidade de 3 pontos no plano: Três pontos no plano, (x₁,y₁), (x₂,y₂) e (x₃,y₃) são colineares se pertencem à mesma reta.

Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo.

 

Exemplo: Os pontos (2,0), (1,1) e (0,2) são colineares pois:

 

Circunferências no plano

Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) de um plano e tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) deste plano que estão localizados à mesma distância r do centro (a,b).

A equação desta circunferência é dada por:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Disco circular é a região que contém a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência.

 

Exemplo: A equação da circunferência com centro em (2,3) e raio igual a 8 é:

(x – 2)² + (y – 3)² = 8²

A equação da circunferência com centro na origem (0,0) e raio r, recebe o nome de forma canônica da circunferência e é dada por:

x² + y² = r²

 

Equação geral da circunferência: Dada a equação (x-a)²+(y-b)²=r², podemos desenvolver a mesma para obter a forma geral da circunferência:

x² + y² + A x + B y + C = 0

 

Exemplo: A equação geral da circunferência com centro em (2,3) e raio r=8 é:

x² + y² – 4x – 6y – 51 = 0

 

Equação da circunferência com centro em um ponto e passando em outro: Dado o centro O=(a,b) da circunferência e um outro ponto Q=(x_o,y_o) que pertence à circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da circunferência para se obter a sua equação.

 

Exemplo: A circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) tem raio tal que:

r² = (8-3)² + (16-5)² = 25+121 = 146

logo, a sua equação é dada por:

(x-3)² + (y-5)² = 146

 

Equação da circunferência que passa por 3 pontos: Quando conhecemos três pontos da circunferência, podemos utilizar a equação geral da circunferência para obter os coeficientes A, B e C através de um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas.

 

Exemplo: Seja uma circunferência que passa pelos pontos (2,1), (1,4) e (-3,2). Dessa forma, utilizando a equação geral da circunferência:

x² + y² + A x + B y + C = 0

substituiremos estes pares ordenados para obter o sistema:

(-2)² + (1)² + A(-2) + B(1) + C = 0
( 1)² + (4)² + A( 1) + B(4) + C = 0
(-3)² + (2)² + A(-3) + B(2) + C = 0

que pode ser simplificado na forma:

-2 A + 1 B + 1 C = -5
1 A + 4 B + 1 C = 5
-3 A + 2 B + 1 C = 13

e através da Regra de Cramer, podemos obter:

A = , B = , C =

assim a equação geral desta circunferência é:

x² + y² + ( )x + ( )y + ( ) = 0

 

Relações importantes no plano cartesiano

Uma relação em um plano é qualquer subconjunto deste plano, mas as mais importantes relações, do ponto de vista prático, são as que podem ser representadas por linhas, como: retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles.

Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem regiões planas com as próprias regiões. Iremos colorir algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contém, que são as relações matemáticas.

Circunferência e Elipse

Parábola e Hipérbole

 

Seções cônicas

Todas as curvas apresentadas anteriormente podem ser obtidas através de seções (cortes planos) de um cone circular reto com duas folhas como aquele apresentado abaixo. Tais curvas aparecem como a interseção do cone com um plano apropriado.

Se o plano for :

1. horizontal e passar pelo vértice do cone, teremos apenas um ponto.
2. vertical e passar pelo vértice do cone, teremos duas retas concorrentes.
3. horizontal e passar fora do vértice, teremos uma circunferência.
4. tangente ao cone, teremos uma reta.
5. vertical e passar fora do vértice, teremos uma hipérbole.
6. paralelo à linha geratriz do cone, teremos uma parábola.
7. inclinado, teremos uma elipse.

 

Equações de algumas seções cônicas

Nome              Equação
--------------    -------------
Ponto             x²+y²=0
Reta              y=kx+w
Parábola          y=ax²+bx+c
Circunferência    x²+y²=r²
Elipse            x²/a²+y²/b²=1
Hipérbole         x²/a²-y²/b²=1
Duas retas        x²/a²-y²/b²=0

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	Construída por Ulysses Sodré.

Áreas de regiões circulares

Geometria Plana: Áreas de regiões circulares
O círculo como limite de regiões Perímetro do círculo Relações associadas ao perímetro Área do Círculo	Arcos Setor circular Segmento circular Curiosidades sobre o número Pi

 

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares

Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.

Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que també aumenta:

1. O apótema, aproximando-se do raio do cículo como um limite.
2. O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite.
3. A área, aproximando-se da área do círculo como um limite.

Neste trabalho não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.

A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.

O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.

 

Perímetro do círculo e da circunferência

Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente.

 

Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

 

Relações associadas ao perímetro

1. Com base nestas duas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência:

   A razão entre o perímetro e o diâmetro
   de uma circunferência é uma constante

2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.
   

   A1 A2 = D1 D2 = r1 r2

3. Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada Pi, denotada pela letra grega que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é:

   = 3,1415926536….

 

Área do círculo

Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo são:

Área = r² = ¼ D²

Proporção com áreas: Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.

A1 A2 = (D1)² (D2)² = (r1)² (r2)²

 

Arcos

O comprimento de um arco genérico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco AB contendo vários pontos A=P_o, P₁, P₂, P₃, …, P_n-1, P_n=B, formando n pequenos arcos e também n pequenos segmentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP₁, P₁P₂, …, P_n-1B.

A idéia aqui é tomar um número n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.

O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente.

Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus=2radianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincidirá com o comprimento do arco da mesma e é dado por:

Perímetro da circunferência = 2r

Comprimento do arco: Seja um arco AB em uma circunferência de raio r e m a medida do ângulo correspondente, sendo m tomado em graus ou em radianos. O comprimento do arco pode ser obtido (em radianos) por:

Comprimento do arco AB = r m/180 = r m

Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… 2 Pi r
m   graus ……… Comprimento de AB

logo

comprimento do arco AB = m r / 180

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… 2 Pi r
m    rad ……… comprimento de AB

assim

Comprimento do arco AB = r m radianos

 

Setor circular

Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.

Usando a figura acima, podemos extrair algumas informações:

1. OACB é um setor circular
2. OADB é um setor circular
3. r é o raio de cada um dos setores
4. ACB é o arco do setor OACB
5. ADB é o arco do setor OADB.
6. Tomando m como a medida do arco ACB (em graus ou radianos), a área do setor circular OACB será dada por:

Área do setor circular OACB = r² m/360 = ½ m r²

Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… Área do círculo
m   graus ……… Área do setor OACB

logo

Área(setor OACB) = Pi r² m / 360

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… Área do círculo
m    rad ……… Área setor OACB

assim

Área(setor OACB) = ½ m r² radianos

 

Segmento circular

Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura abaixo, existem dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.

A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB.

Área(segmento) = Área(setor OACB) – Área(triângulo AOB)

A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.

 

Curiosidades sobre o número Pi

1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem:

   "Fez também o mar de fundição; era redondo
   e media dez côvados duma borda à outra, cinco
   côvados de altura e trinta de circunferência."
   

   sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.

2. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.
3. O símbolo usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII.
4. O valor de correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.
5. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento Pi através de régua e compasso.
6. O número exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.
7. Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de com mais de cem mil dígitos decimais.

Detalhes sobre o cálculo de Pi: De modo análogo ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.

Perímetro polígono inscrito 2r < < Perímetro polígono circunscrito 2r

 

Tais relações estão na tabela com dados sobre o polígono regular dado:

Número de lados do polígono	Perímetro do polígono inscrito dividido por 2r	Perímetro do polígono circunscrito dividido por 2r
6	3,00000	3,46411
12	3,10582	3,21540
24	3,13262	3,15967
48	3,13935	3,14609
96	3,14103	3,14272
192	3,14145	3,14188
256	3,14151	3,14175
512	3,14157	3,14163
1024	3,14159	3,14160

Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.

 

Outra forma (lenta) para obter o número Pi, é:

A forma mais rápida que conhecemos para obter Pi, é:

obtida em The miraculous Bailey-Borwein-Plouffe Pi Algorithm.

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	Construída por Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré

Áreas de regiões poligonais

Geometria Plana: Áreas de regiões poligonais
Triângulo e região triangular O conceito de região poligonal Unidade de área Área do retângulo Área do quadrado Área do paralelogramo Área do triângulo	Comparando áreas de triângulos Área do losango Área do trapézio Polígonos regulares Elementos de um polígono Áreas de polígonos regulares Comparando áreas de polígonos

 

Triângulo e região triangular

No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.

Triângulo ABC	Região triangular ABC

 

Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não sobrepostas.

 

O conceito de região poligonal

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter “buracos”.

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras

Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.

 

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:

1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.
2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.
3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.

Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:

1. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região.
2. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar de expressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU.

Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.

Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.

Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+…+área(XEF)

 

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

 

Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.

O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.

A = b × h

 

Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.

A = x²

Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades.

A = b×h
A = (8u)x(5u) = 40u²

No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc…

 

Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.

1. Transformando as medidas em metros

   Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:

   A = b×h
   A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²
   

2. Transformando as medidas em centímetros

   Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:

   A = b×h
   A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²
   

 

Área do Paralelogramo

Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.

No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.

A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h. Demonstração da fórmula

 

Área do Triângulo

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2. Demonstração da fórmula

 

Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.

Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:

A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²

 

Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.

 

Comparação de áreas entre triângulos semelhantes

Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.

 

Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABC Área de RST = a² r² = b² s² = c² t²

 

Área do losango

O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d₁×d₂)/2. Demonstração da fórmula

 

Área do trapézio

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.

 

Polígonos regulares

Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular.

 

Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.

Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono.

 

Elementos de um polígono regular

1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.
2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.
3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.
4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono.
   

   Apótema: OM, Raios: OA,OF Ângulo central: AOF	Apótema: OX, Raios: OR,OT Ângulo central: ROT

5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus.

 

Áreas de polígonos regulares

Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes.

Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:

A = a × Perímetro / 2

Demonstração da fórmula

 

Comparando áreas entre polígonos semelhantes

Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.

Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n lados.

 

Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.

Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.

 

Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABCDE… Área de A’B’C’D’E’… = s² (s’)² = t² (t’)²

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	Construída por Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré

Círculo, Circunferência e Arcos

Geometria Plana: Círculo, Circunferência e Arcos
Importância da circunferência Circunferência e Círculo Pontos interiores e exteriores Raio, corda e diâmetro Posições de reta e circunferência Propried. de secantes e tangentes Circunferências e tangentes	Polígonos circunscritos Arco de circunf. e ângulo central Propriedades de arcos e cordas Políg.inscritos na circunferência Ângulos inscritos Ângulo semi-inscrito e arco capaz Cordas e segmentos

 

A importância da circunferência

A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

 

Circunferência e Círculo

Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.

Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

 

Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.

 

Raio, corda e diâmetro

Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.

Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.

Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.

 

Posições relativas de uma reta e uma circunferência

Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.

Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.

 

Observações:

1. Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.

   

2. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, “A tangente PQ” pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a “secante AC” pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.

 

Propriedades das secantes e tangentes

1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.
2. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.
3. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.
4. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

 

Posições relativas de duas circunferências

Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.

Tangente comum interna	Tangente comum externa

 

Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.

Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.

Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.

Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.

Circunf. tangentes externas	Circunf. tangentes internas

 

As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.

Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.

Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.

 

Polígonos circunscritos

Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.

Quadrilátero circunscrito	Triângulo circunscrito

 

Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.

 

Arco de circunferência e ângulo central

Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP=OQ=OR=… e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.

 

Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.

 

Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

 

Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.

 

Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.

 

Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.

 

Observações: Em uma circunferência dada, temos que:

1. A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).
2. A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.
3. Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.
4. Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).
5. Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).

   Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.

 

Propriedades de arcos e cordas

Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

 

Observações

1. Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.
2. Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.
3. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (Situação 1).
4. Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (Situação 2).
5. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (Situação 3).

Situação 1	Situação 2	Situação 3

 

Polígonos inscritos na circunferência

Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono.

 

Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é 360 graus.

 + Î = 180 graus Ê + Ô = 180 graus  + Ê + Î + Ô = 360 graus

 

Ângulos inscritos

Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.

Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é:

m = n/2 = (1/2) m(AB)

 

Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.

 

Ângulo semi-inscrito e arco capaz

Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.

Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco AXB.

 

Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz.

 

Construção do arco capaz com régua e compasso:

1. Traçar um segmento de reta AB;
2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando com o segmento AB um ângulo congruente a k (mesma medida que o ângulo k);
3. Traçar uma reta p perpendicular à reta t passando pelo ponto A;
4. Determinar o ponto médio M do segmento AB;
5. Traçar a reta mediatriz m ao segmento AB;
6. Obter o ponto O que é a interseção entre a reta p e a mediatriz m.
7. Com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçar o arco de circunferência localizado acima do segmento AB.
8. O arco que aparece em vermelho no gráfico ao lado é o arco capaz.

Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando pelos pontos A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. Na figura abaixo à esquerda, os ângulos que passam por A e B e têm vértices em V₁, V₂, V₃, …, são todos congruentes (a mesma medida).

Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o dobro da medida de n, isto é:

m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)

 

Outras propriedades com cordas e segmentos

Agora apresentaremos alguns resultados que fazem a conexão entre segmentos e cordas, que não são evidentes à primeira vista. Se a reta AB é tangente à circunferência no ponto B então o segmento AB é o segmento tangente de A até a circunferência. Se a reta RT é uma reta secante que intercepta a circunferência em S e T e R é um ponto exterior a circunferência, então RT é um segmento secante e RS é a parte externa do segmento secante.

Na sequência, usaremos a notação (PZ) para representar a medida do segmento PZ, em função das dificuldades que a linguagem HTML proporciona para a apresentação de materiais de Matemática.

 

Cordas interceptando dentro da circunferência: Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P dentro da circunferência, então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda.

 

(AP).(PB) = (CP).(PD)

 

Potência de ponto (1): A partir de um ponto fixo P dentro de uma circunferência, tem-se que (PA).(PB) é constante qualquer que seja a corda AB passando por este ponto P. Este produto (PA).(PB) é denominado a potência do ponto P em relação a esta circunferência.

Secantes interceptando fora da circunferência: Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunferência que se interceptam em um ponto P localizado fora da circunferência.
Se uma das retas passa pelos pontos A e B e a outra reta passa pelos pontos C e D da circunferência, então o produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB é igual ao produto da medida do segmento secante PC pela medida da sua parte exterior PD.

(PA).(PB)=(PC).(PD)

 

Potência de ponto (2): Se P é um ponto fixo fora da circunferência, o produto (PA).(PB) é constante qualquer que seja a reta secante à circunferência passando por P. Este produto (PA).(PB) é também denominado a potência do ponto P em relação à circunferência.

Secante e tangente interceptando fora da circunferência: Se uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P fora da circunferência, a reta secante passando pelos pontos A e B e a reta tangente passando pelo ponto T de tangência à circunferência, então o quadrado da medida do segmento tangente PT é igual ao produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB.

(PT)² = (PA).(PB)

 

Exemplo: Consideremos a figura ao lado com as cordas AB e CD tendo interseção no ponto P, com (AP) = 5cm, (PB) = 8cm, (CD) = 14cm. Iremos obter a medida do segmento PD. Tomaremos (PD)=x, para podermos escrever que (CP) = 14-x e somente utilizaremos a unidade de medida no final. Desse modo, (PD).(PC)=(PA).(PB) e podemos escrever que x(14-x)=5×8, de onde segue que x²-14x+40=0. Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos: x=4 ou x=10, o que significa que se uma das partes do segmento medir 4cm, a outra medirá 10cm. Pela figura anexada, observamos que o segmento PD é maior que o segmento PC e concluímos que (PD)=10cm e (PC)=4cm.

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	Construída por Jader Otávio Dalto,Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré