Poliedros

Poliedro

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares

Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Tetraedro	Hexaedro (cubo)	Octaedro

Características dos poliedros convexos

Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.

Característica do poliedro convexo	Medida da característica
Relação de Euler	V + F = A + 2
Número m de ângulos diedrais	m = 2 A
Ângulo diedral
Raio do círculo inscrito
Raio do círculo circunscrito
Área da superfície externa
Volume do sólido poliédrico

Relações de Euler em poliedros regulares

As relações de Euler são duas importantes relações entre o número F de faces, o número V de vértices, o número A de arestas e o número m de ângulos entre as arestas.

F + V = A + 2, m = 2 A

Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos.

Raios de círculos e ângulo diedral

Áreas e Volumes

Pirâmides

Utilizaremos R[z] para denotar a raiz quadrada de z>0.

O conceito de pirâmide

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirâmide

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
7. Apótema: É a altura de cada face lateral.
8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Classificação das pirâmides pelo número de lados da base

triangular	quadrangular	pentagonal	hexagonal
base:triângulo	base:quadrado	base:pentágono	base:hexágono

Pirâmide Regular reta

Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.

	R	raio do circulo circunscrito
	r	raio do círculo inscrito
	l	aresta da base
	ap	apótema de uma face lateral
	h	altura da pirâmide
	al	aresta lateral
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes

Área Lateral de uma pirâmide

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.

Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:

A(lateral) = n A(face)

Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.

Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:

A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12 A(lateral) = 4.12 = 48 cm²

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.
Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.
Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:

(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]

A área da face e a área lateral, são dadas por:

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]
A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma Pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

A(total) = A(lateral) + A(base)

Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?

Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:

A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162
A(lateral) = 4.162 = 648
A(base) = 18² = 324

Concluímos que:

A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.

A(base) = 2.2 = 4 m²
A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³

Logo, a área total da barraca é

A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

Volume de uma Pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.
3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

	V(seção)	Volume da seção até o vértice (volume da pirâmide menor)
	V(piram)	Volume da pirâmide (maior)
	A(seção)	Área da seção transversal (base da pirâmide menor)
	A(base)	Área da base da pirâmide (maior)
	h	Distância do vértice à seção (altura da pirâmide menor)
	H	Altura da pirâmide (maior)

Assim:

Então:

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como

V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³
V(pirMenor)/108 = 6³/9³
V(pirMenor) = 32

então

V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³

Esferas

O conceito de esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:

S^o = {x em R: x²=1} = {+1,-1}

Por exemplo, a esfera

S¹ = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }

é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.

Aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.

A superfície esférica

A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro.

Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é:

S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }

Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R⁴ é dada por:

S³ = { (w,x,y,z) em R⁴: w² + x² + y² + z² = 1 }

Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?

Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.

É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:

x² + y² + z² = R²

e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é:

x² + y² + z² < R²

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (x_o,y_o,z_o), a equação da esfera é dada por:

(x-x_o)² + (y-y_o)² + (z-z_o)² = R²

e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que:

(x-x_o)² + (y-y_o)² + (z-z_o)² < R²

Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).

Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte (“boca para baixo”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul (“boca para cima”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.

Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será:

x=0, y² + z² = R²

sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.

Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei “calota esférica” com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície.

A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.

De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma “calota esférica” superior e uma “calota esférica” inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.

Consideremos uma “calota esférica” com altura h₁ e raio da base r₁ e retiremos desta calota uma outra “calota esférica” com altura h₂ e raio da base r₂, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, “calota esférica” para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e e A(total) será a área total.

Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos

Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da “calota esférica” em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério Sul

Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A equação desta esfera será dada por:

x² + y² + (z-R)² = R²

A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência

x² + y² = R² – (h-R)²

Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter:

Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar:

r² = R² – (h-R)² = h(2R-h)

A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em coordenadas polares através de:

0<m<R, 0<t<2Pi

A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por:

ou seja

Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:

Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais:

ou seja:

Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:

Após alguns cálculos obtemos:

V_C(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] – (2/3)Pi[(R-h)³ – R³]

e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por:

V_C(h) = Pi h²(3R-h)/3

Volume de uma calota no hemisfério Norte

Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R]

Lançaremos mão de uma propriedades de simetria da esfera que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada.

Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:

V_C(d) = Pi d²(3R-d)/3

e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever o volume da calota vazia em função de h:

V_C(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3

Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:

V(h) = 4Pi R³/3 – Pi (2R-h)²(R+h)/3

que pode ser simplificada para:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Cones

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
2. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser “vista” na figura abaixo:

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(lateral) = pi.r.g

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por:

A(base) = pi r²

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r², assim:

h = r

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) pi r³

Como a área lateral pode ser obtida por:

A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²

então a área total será dada por:

A(total) = 3 pi r²

Exercícios resolvidos

Notação: Usaremos a notação R[3] para representar a raiz quadrada de 3.

1. A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

   Como sen(60^o)=h/20, então

   (1/2) R[3] = h/20
   h = 10 R[3] cm
   

   Como V = (1/3)×(A(base).h, então:

   V = (1/3) pi.r²h
   V = (1/3) pi.10².10 R[3]
   V = (1/3) 1000.R[3].pi cm³
   

   Se r=10cm; g=20cm e A(lateral)=pi.r.g, escreveremos:

   A(lataral) = pi.r.g = pi.10.20 = 200.pi cm²
   A(total) = A(lateral) + A(base)
            = pi.r.g + pi.r² = pi.r.(r+g)
            = pi.10.(10+20) = 300 pi cm²
   

2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume? Como sen(60º)=r/2, segue que:

   R[3]/2 = r/2
   r = R[3] cm
   

   Substituindo os valores de g e de r, na relação g²=h²+r², obtemos

   h = 1cm
   V = (1/3).A(base).h = (1/3) pi.r²h
     = (1/3).pi.3 = pi cm³
   

3. Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c, e a sua área mede 2m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 pi m³. Obteremos a medida do cateto c. Como a área do triângulo mede 2m², segue que: (1/2)bc=2, o que garante que bc=4. Como a área da base é dada por A(base)=pi.r²=pi.c², temos que

   V = 16 pi = (1/3) pi c² b
   c = 12 m
   

4. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

   Se

   h(prisma) = 12
   A(base do prisma) = A(base do cone) = A
   V(prisma) = 2×V(cone)
   

   assim:

   A×h(prisma) = 2(A h)/3
   A 12 = (2/3)A h
   h = 18 cm
   

5. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

   V = V(cilindro) - V(cone)
     = A(base).h - (1/3) A(base).h
     = pi.r².h - (1/3).pi.r².h
     = (2/3) pi.r².h cm³
   

Cilindros

Introdução aos cilindros

O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d’água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

Existem outras formas cilíndricas diferentes das comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da função seno.

Aplicações práticas: Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?

A Construção de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, “cilindro” e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do “chão” é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do “chão”, o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um “cilindro”

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do “cilindro”.
3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do “cilindro”.
4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Extensão do conceito de cilindro

As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.

Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.

Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).

Classificação dos cilindros circulares

1. Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
2. Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.
3. Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Volume de um “cilindro”

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = A(base) h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593…, então:

V = pi r² h

Exercício: Calcular o volume de um cilindro oblíquo com base elíptica (semi-eixos a e b) e altura h. Sugestão: Veja nesta mesma Página um material sobre a área da região elíptica.

Área lateral e área total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) A(total) = 2 pi r h + 2 pi r² A(total) = 2 pi r(h+r)

Exemplo: Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

A(lateral) = 4 pi r² A(base) = pi r² A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r² Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³

Exercício: Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

A(base) = pi.r² = pi.2² = 4 pi cm²
A(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm²
A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cm²
Volume = A(base).h = pi.r²h = pi.4.3 = 12 pi cm³

A noção de Espaço

O que é espaço?

O que é o espaço? Reconhecemos e usamos o espaço, mas se alguém perguntar o que é o espaço, muitos irão ter dificuldades em explicar. Na verdade, é mais fácil explicar o que se pode fazer com este ente primitivo que não tem definição para nós.

Uma primeira tentativa para explicar isto, é dizer que é tudo o que nos envolve e é o local onde podemos nos mover para a frente, para o lado e para cima.

Pelo conceito expresso, observamos que vivemos em um ambiente tridimensional. Basta então conhecer as três direções para identificar a posição relativa que ocupamos.

Quando afirmamos que vamos andar para a frente, para o lado e para cima, devemos quantificar e identificar o quanto iremos nos deslocar nestas direções, logo necessitamos conhecer uma origem para o sistema e identificar este ponto como (0,0,0) pois esperamos que ele esteja localizado a uma distância num ponto de referência para todos os outros pontos.

O Sistema Cartesiano tridimensional

Um procedimento matemático simples é tomar um ponto genérico como:

P=(x,y,z)

onde x indicará a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos para frente, y indicará a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos para o lado e z indicará a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos para cima.

Para facilitar as coisas do ponto de vista matemático, iremos denominar tais direções por: Eixo OX, Eixo OY e Eixo OZ.

O sistema tridimensional é o conjunto de todos os ternos ordenados (x,y,z), sendo que ordem não pode ser mudada sob pena de nos deslocarmos para outro lugar. A palavra cartesiano se deve a René Descartes, conhecido como cartesius. x recebe o nome de abscissa, y o nome de afastamento e z o nome de cota.

Exemplo: Se um indivíduo está no centro da cidade em uma posição O=(0,0,0) e quer andar para a frente 3 quadras, depois andar para o lado 5 quadras e depois subir até o 10o. andar de um prédio a posição final do mesmo após o percurso será o ponto P=(3,5,10) e podemos observar que as unidades não são necessariamente as mesmas. Se este mesmo indivíduo se deslocasse para a posição final P=(3,10,5), certamente chegaria a um lugar diferente.

Outros sistemas de localização

Existem outras formas de localização no espaço tridimensional como é o caso do sistema de coordenadas cilíndricas, sistema de coordenadas esféricas, dentre outros. Particularmente importantes são os sistemas de corrdenadas no plano. O sistema cartesiano plano é um caso particular do sistema cartesiano espacial tridimensional, mas existe um outro sistema muito importante que é o sistema de coordenadas polares.

O Sistema de Coordenadas Polares (R²)

Vamos considerar agora um mundo plano onde os pontos são indicados por P=(x,y). No sistema bidimensional a medida x recebe o nome de abscissa e a medida y recebe o nome de ordenada.

Existe um sistema que considera uma linha básica horizontal de referência, por exemplo, o Eixo OX indicado positivamente e outra forma de indicar um ponto P=(x,y). Consideremos que a distância da origem O=(0,0) ao ponto P=(x,y) seja indicada por r e que o ângulo formado entre o segmento OP e o Eixo OX indicado positivamente seja indicado por t. Neste caso o ângulo deverá ser um parâmetro tal que 0<t<2Pi. Assim, um ponto será indicado por

P=(r,t)

onde

r = (x²+y²)^½, e t = arctan(y/x)

Exemplo: Para um indivíduo pontual se deslocar da origem O=(0,0) ao ponto P=(3,4), ele deverá se deslocar 5 unidades na direção da reta que forma um ângulo de t=36.87 graus com o Eixo OX. Assim, o ponto será descrito como P=(3,4) ou em Coordenadas Polares como:

P=(5, 36.87)

A tangente de 36.87 graus = 0.75 = 3/4.

O Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Este sistema considera duas linhas básicas que passam pela origem O=(0,0,0), uma linha de referência no plano do chão como o Eixo OX indicado positivamente, uma outra linha de referência como o Eixo OZ e o ângulo indicado por t e formado pela projeção no plano do chão do segmento OP e o Eixo OX indicado positivamente. O ângulo deverá ser um parâmetro tal que 0<t<2Pi. Assim, um ponto P=(x,y,z) será indicado por

P=(r,t,z)

Observamos que este sistema é uma mera ampliação das coordenadas polares, mantendo a mesma coordenada z, conhecida na literatura como a cota z.

A idéia básica para indicar um ponto neste sistema é construir um cilindro circular reto com o centro na origem 0=(0,0,0) e que passe exatamente pelo ponto P=(x,y,z). A projeção deste ponto no plano do chão que é indicada pelo plano z=0 é o ponto P_o=(x,y,0) e determinamos as coordenadas polares do par ordenado (x,y) considerado como um ponto de um plano e não do espaço.

Exemplo: Para um indivíduo se deslocar da origem O=(0,0,0) ao ponto P=(3,4,10), ele deverá se deslocar 5 unidades na direção da reta que forma um ângulo de t=36.87 graus com o Eixo OX e subir 10 unidades, logo o ponto será descrito como P=(3,4,10) ou em coordenadas cilíndricas como:

P=(5, 36.87, 10)

O Sistema de Coordenadas Esféricas

Este sistema considera o plano do chão (z=0) que passa pela origem O=(0,0,0) contendo o Eixo OX orientado positivamente e o Eixo OZ orientado positivamente, que é uma linha reta perpendicular ao plano do chão.

Neste sistema, o ponto P=(x,y,z) é indicado por três medidas: r a distância entre O=(0,0,0) e o ponto P=(x,y,z), u o ângulo formado entre projeção no plano do chão do segmento OP e o Eixo OX indicado positivamente e v o ângulo formado entre o segmento OP e o Eixo OZ indicado positivamente.

Enquanto o ângulo u pode ser tal que 0<u<2Pi pois a projeção de OP sobre o plano do chão pode dar uma volta completa, o ângulo v pertence ao intervalo 0<v<Pi, pois este ângulo chega a ser no máximo um ângulo raso.

Assim, um ponto P=(x,y,z) será indicado por

P=(r,u,v)

onde

r = (x²+y²+z²)^½ , u = arctan(y/x) e v = arccos(z/r)

Um Sistema Geográfico

Há um Sistema Geográfico de identificação de posição na face da Terra que leva em consideração outros objetos como: meridianos e paralelos, para indicar a longitude e a latitude do ponto na superfície do globo terrestre. Como uma circunferência de círculo tem um arco com 360 graus, os cientistas dividiram 360 graus por 24 (horas) para obter 15 graus por hora.

Consideraram a planificação do globo terrestre traçaram linhas imaginárias geodésicas (verticais) sobre a superfície terrestre, as quais passam pelos polos Norte e Sul e estas são denominadas meridianos e a referência básica foi a cidade de Greenwich (Inglaterra) que tem o meridiano 0.

Fizeram o mesmo com linhas horizontais na planificação e denominaram tais linhas de paralelos. Hoje podemos observar a localização de uma cidade em qualquer lugar do mundo situada no meridiano M e paralelo P. E´ lógico que cada local está localizado com a cota z acima do nível do mar, razão pela qual este sistema pode ser indicado como:

P=(M,P,z)

Exemplo: O Terminal Rodoviário da cidade XYZ está localizada na posição (a,b,c). Resolva este problema para a sua cidade.

O Sistema cartesiano R⁴

Você já pensou que ao invés de estar num sistema tridimensional como dissemos antes, talvez você esteja num sistema tetradimensional? Na verdade, vivemos num sistema R⁴, pois são necessárias 4 coordenadas para indicar a posição relativa de um objeto.

Um objeto colocado às 12:00 h no ponto (3,4,12) não é o mesmo objeto colocado às 13:00 h no mesmo ponto (3,4,12).

Para entender melhor, exija um sacrifício de uma pessoa e a coloque parada (se possível, estática) às 12:00 h em um local de sua casa, que tomaremos como o ponto (3,4,12). Você espera que esta pessoa seja a mesma pessoa às 13:00 h? É óbvio que aconteceram modificações no comportamento da mesma, mesmo que você não tenha observado.

Você acha que uma árvore plantada em um local por mais de 20 anos é a mesma a cada instante? O corpo humano também é composto de átomos que se movem a uma velocidade que não pode ser visualizada, assim, um corpo está em constante movimento e dependendo dos estímulos recebidos das mais diversas fontes, terá alteração, logo não será o mesmo de antes, nem mesmo 1 segundo depois!

Até o momento já observamos como é possível estender o conceito de espaço a algo além daquilo que possamos desenhar ou conceber geometricamente.

Uma idéia sobre o Rⁿ

Quando o governo calcula a inflação de um determinado período, ele afirma que a inflação inf é uma função que depende de várias variáveis como X(xuxu), A(abacate), Co(Condomínio), Ca(Carro), E(Escola), I(Indecisão do governo), D(Dívida Interna), E(etc) e outros “objetos”. Uma pessoa normal colocaria o Xuxu ou limão como um dos itens para a análise e cálculo da inflação?

Isto significa a um matemático sério, que

inf = f(X,A,Co,Ca,E,I,D,E)

e é logico que esta função é bem construída e é consistente, no entanto você não consegue desenhar o gráfico da mesma nesse ambiente tridimensional que você vive. Isto indica que você está trabalhando em um sistema com as 8 coordenadas (X,A,Co,Ca,E,I,D,E), logo o gráfico desta função deve estar em R⁹. Para obter seriamente a inflação você precisa medir o comportamento de n (ou centenas de) variáveis e não somente de poucas.

Isto não quer dizer que a inflação é uma função construída para enganar o povo. Na verdade, o que deveria ser feito para obter a inflação é a consideração das principais variáveis que causam esta alteração no Sistema Financeiro Nacional, mas uma coisa é óbvia: O governo não leva em consideração os fatores que realmente distorcem o processo inflacionário pois não considera nesses cálculos os fatores que geram tal inflação mas somente alguns elementos da cesta básica que nada tem a ver com a realidade nacional.

Com este exemplo, eu espero ter dado uma idéia sobre o significado do espaço Rⁿ, que é uma mera extensão dos espaços bidimensional e tridimensional, nossos velhos conhecidos.

A nossa capacidade ainda é muito pequena para entender um espaço multidimensional Rⁿ.

Observemos a passagem bíblica citada no início deste trabalho, que nos diz que existem outros ambientes (espaços) que o senso de um homem comum é incapaz de conceber.

Ha uma necessidade do ser humano alterar o seu comportamento para ver algo além das coisas comuns desse mundo. Há muitas pessoas que olham para uma parede de uma casa e não conseguem ver nada além dela. Você já se imaginou num quarto de uma casa, pensando exatamente que estivesse no quarto vizinho com todas as coisas boas ou ruins que o mesmo possui? Será que você é daqueles que percorre o trajeto de sua casa até o seu serviço sempre usando o mesmo caminho? Você já pensou que na outra rua existem (coisas ruins e) coisas belas que você nunca percebeu porque nunca passou por lá?

Exercícios de criatividade

Exercício de criatividade sobre o R⁵: Pense em uma pessoa no espaço R³ e simule a possibilidade dessa pessoa ter duas outras características como idade e beleza. Observamos aqui que este indivíduo já é um ente pentadimensional e talvez não tivesse percebido isto, pois além de ser tridimensional, ele tem pelo menos 2 outras características.

Exercício para você: Simule as carcaterísticas principais do ser humano e considere tais objetos como coordenadas de um sistema cartesiano.

Exercício para o governo: Tome a conta do Condomínio do local onde você mora, faça uma medida mês a mês dos custos de cada ítem e monte uma função com várias variáveis para determinar o custo mensal condomínio. Analise a variação entre dois meses consecutivos e observe que a inflação de seu condomínio não tem absolutamente nada a ver com a inflação do governo.

Elementos de Geometria Espacial

Introdução

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Planos e retas

Um plano é um subconjunto do espaço R³ de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R³ podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano.

Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

Retas reversas: Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.

Posições de pontos, retas e planos

Um plano no espaço R³ pode ser determinado por qualquer uma das situações:

1. Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta).
2. Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que não contém o ponto.
3. Um ponto e um segmento de reta que não contém o ponto.
4. Duas retas paralelas que não se sobrepõe.
5. Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe.
6. Duas retas concorrentes.
7. Dois segmentos de reta concorrentes.

Posições de retas e planos

Há duas relações importantes, relacionando uma reta e um plano no espaço R³.

Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralela a um plano no espaço R³, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Reta perpendicular a um plano: Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R³, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Distância de um ponto a um plano

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Posições entre planos

1. Planos concorrentes no espaço R³ são planos cuja interseção é uma reta.
2. Planos paralelos no espaço R³ são planos que não tem interseção.
3. Diedro: Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.

   

4. Ângulo diedral: É ângulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.
5. Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).