Calculadora Curiosidades Fundamental Médio
Decompor números online

Denominamos fatoração a decomposição de um número natural em um produto de fatores primos.
A fatoração de qualquer número natural primo resultará no próprio número. A fatoração do número primo 73, por exemplo, não resultará em outro número senão ao próprio número 73.

A fatoração de qualquer número natural composto resultará em um produto de 2 ou mais fatores primos.

Observe que um mesmo fator primo pode ocorrer mais de uma vez. Quando isto acontece o representamos na forma de uma potência cujo expoente é o número de ocorrências do tal fator e a base é o próprio fator.

Vejamos o número 147, por exemplo. Ele pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:

3
7
7

Ou seja, 147 decomposto em fatores primos é igual a 3\cdot7 ^{2}
Para verificar seus cálculos, use a ferramenta abaixo

Matematicando na vida!

 

Médio Trigonometria
Entenda melhor trigonometria com esses GIFs

Segundo a Wikipedia:

Trigonometria (do grego trigōnon “triângulo” + metron “medida”) é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

Eu sei que nem todo mundo é fã de matemática e trigonometria. Mas vejam esses GIFs animados, com eles você vai poder ver esses cálculos complexos em ação. Cuidado para seu cérebro não entrar em parafuso!

Para começar, isso é o que você realmente deve pensar quando você ver o número π:

2awwsl2-imgur

Muitas pessoas estão confusas sobre o que são radianos. Bem, aqui está um GIF para explicar:

 

Em seguida, pense sobre a relação entre o seno, cosseno e círculo. Eis um exemplo da relação fundamental entre os três. Observe como o virabrequim se move em um círculo, e as barras – que correspondem ao seno e cosseno – se movem para cima e para baixo e para os lados em uma formação ondulada:

Aqui uma demonstração mais tradicional de seno e cosseno. Você faz o seu caminho ao redor do círculo (preto). Ao fazer isso, os valores de Y leva a sinusoidal (linha vermelha) e os valores de resultado X em co-seno (linha azul):

Agora, vamos começar a ligar esta relação entre as funções e os círculos para triângulos:

A relação triângulo é crucial para a definição da função tangente. A intersecção da hipotenusa do triângulo com a linha vertical ao longo do lado esquerdo do circulo define a função.

Aqui está outra maneira de olhar as coisas, sem o Triângulo:

E outros GIFs matemático que podem ajudá-lo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Matematicando na vida!

Calculadora Cálculos Curiosidades Fundamental Médio
Conversão de unidades


Conversão de unidades

1. Conversão de unidades de comprimento
Converte unidades de comprimento (metros, quilômetros, milhas etc).
2. Conversão de unidades de área
Converte unidades de área (metros quadrados, acres, hectares etc).
3. Conversão de unidades de massa (peso)
Converte unidades de massa e de peso (quilogramas, libras etc).
4. Conversão de unidades de temperatura
Converte unidades de temperatura (Celsius, Fahrenheit e Kelvin).
5. Conversão de medidas de velocidade
Converte medidas de velocidade.
6. Conversor de moedas
Converte valores em diferentes moedas.
7. Fusos horários


Converte o horário de uma cidade para outra.

Topo


 

 

 


Topo


 


Topo


 


Topo


 


Topo



Topo



Topo


Matematicando na vida!


Médio
Maior nota do Enem 2015 foi em matemática; confira as máximas e mínimas

Além dos resultados individuais, o Inep (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) divulgou nesta sexta-feira (8) as notas máximas e mínimas dos candidatos do Enem (Exame Nacional do Ensino Médio) 2015.

Nesta edição, o desempenho em matemática foi o destaque. A nota máxima chegou a 1.008,3, a maior já registrada na história do exame — na edição anterior, o máximo ficou em 973,6.

“A tendência de aumento no desempenho em matemática comprova a melhor qualificação dos participantes nesta área”, afirma, em nota, o Inep. O desempenho mínimo foi de 280,2.

A prova de ciências da natureza registrou a nota máxima de 875,2 e a mínima de 334,3. Em ciências humanas, o desempenho máximo chegou a 850,6; o mínimo, a 314,3. A prova de linguagens e códigos teve como nota mais alta 825,8; a mais baixa, 302,6.

Entenda a nota do Enem

A metodologia utilizada para correção do Enem é a TRI (Teoria de Resposta ao Item), modelo estatístico que permite que diferentes edições da prova sejam comparáveis. Na TRI, leva-se em conta para o cálculo da nota não apenas o número de acertos do candidato, mas o nível de dificuldade de cada item. Na TRI, leva-se em conta a coerência das respostas do participante diante do conjunto das questões que formam a prova. Por isso, o número de acertos não tem correspondência direta com a pontuação final.

Não é possível comparar o número de acertos nas provas de diferentes áreas do conhecimento. Se um aluno acerta a mesma quantidade de itens nas provas de matemática e ciências humanas, por exemplo, não significa que a pontuação obtida será igual. Isso porque o nível de dificuldade de cada prova e dos diferentes itens que a compõe afeta esse cálculo final.

O Inep (Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) liberou nesta sexta-feira (8) as notas individuais dos participantes que fizeram o Enem 2015. A consulta deve ser feita no site do Inep, órgão ligado ao MEC (Ministério da Educação) e responsável pela aplicação do exame.

fonte: http://educacao.uol.com.br/

Matematicando na vida!

Educação matemática Fundamental Geometria Geometria Espacial Geometria Plana Médio Trigonometria
GeoGebra- Software de Matemática Dinâmica Gratuito

Criado por Markus Hohenwarter,matemático austríaco, o GeoGebra é um software livre para o aprendizado de matemática dinâmica que reúne diversos recursos de cálculo, geometria e álgebra.

o software GeoGebra tem todas as ferramentas comuns de um software de geometria dinâmica: os pontos, os segmentos, as retas e as seções cônicas. Porém possui também equações e coordenadas que podem ser inseridas diretamente. Desse modo, o GeoGebra tem uma enorme vantagem em sua apresentação é possível fazer duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação algébrica e sua representação geométrica.

GeoGebra

Os tutoriais a seguir são pequenas animações com textos explicativos.

 

Tutorial Descrição
1

Janelas iniciais do programa: a Janela de Visualização, a Janela de Álgebra, o Campo de Entrada e o Botão de Ajuda.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

. Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

2

Disposições.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

3

Barra de Ferramentas, construção de pontos e retas no plano.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

PPara assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

4

Como apagar objetos, usando botão de Desfazer, construção de pontos médios e segmentos.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

5

Como mover, ampliar e reduzir a Janela de Visualização. Pontos livres no plano e pontos fixos.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

6

Como gravar, abrir e iniciar novas construções geométricas.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

7

Como esconder, exibir e mover os rótulos. Configuração de rótulos no GeoGebra.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

8

Como esconder e exibir objetos no Geogebra. Aplicação: construção do triângulo equilátero.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

9

Como traçar retas perpendiculares entre si. Aplicação: construção de um quadrado.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF (

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

10

Como esconder diversos objetos ao mesmo tempo (seleção múltipla com a tecla CTRL).

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

11

Como traçar retas paralelas. Como construir polígonos preenchidos coloridos. Aplicação: construção de um paralelogramo.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

12

Como mudar a aparência dos objetos: sua cor, seu tamanho, sua espessura, sua transparência. Como renomear um objeto.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

13

Como modificar as propriedades dos objetos (sua cor, seu tamanho, sua espessura, sua transparência) com o botão direito do mouse.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

14

Usando a ferramenta Mediatriz.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

15

Usando a ferramenta Bissetriz.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

16

Como construir o incentro e o círculo inscrito de um triângulo qualquer.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

17

Como construir pontos semi-livres, como rastrear os pontos, como construir lugares geométricos.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

18

sobre rastros, usando atalho de teclado CTRL + F.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

19

Criando e usando novas ferramentas (macros), a ferramenta Polígono Regular.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

20

Como gravar, abrir, configurar e apagar ferramentas (macros). Como deixar uma ferramenta permanente.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

21

Usando macro para ilustrar /demonstrar o Teorema de Napoleão.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

22

Como exportar imagens para o Microsoft Word ou o BrOffice usando o formato PNG.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF (

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

23

Como usar d a Janela de Álgebra; como configurar o número de dígitos usados.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

24

Como criar ângulos e modificar suas aparências; como usar a ferramenta Copiar Estilo Visual.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

Informações no GeoGebraWiki: Ferramenta Ângulo e Ferramenta Copiar Estilo Visual.

25

A Barra de Estilo.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

26

Textos e Fórmulas do LaTeX.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

27

Definindo funções afins e funções quadráticas.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

28

Configurando escalas dos eixos coordenados.

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF

Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

29

Configurando a aparência dos eixos coordenados (rótulo e marca).

Clique aqui para ver o tutorial no formato SWF
Para assistir a esse vídeo no YouTube, clique aqui.

Fonte:Instituto GeoGebra no Rio de Janeiro

Matematicando na vida!

Fundamental Geometria Médio
Número PI(π)

A história do aparecimento do pi remonta ao tempo dos antigos egípcios, ou seja, há mais de 4000 anos. Ainda que nessa altura, não fosse designado pela letra grega que o tornou famoso. Alguns papiros antigos, mostram que os egípcios estimaram que o valor do pi seria .

Mas afinal, o que é o pi?

Explicado de forma simples, o pi é um número. Eu sei que dito assim, pode parecer demasiado simplista, mas é essa a realidade. O pi é apenas um número como outro qualquer. Representa-se pela letra grega  e serve para designar a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. Esse valor é sempre igual, independentemente do tamanho da circunferência! Isto é, se medirmos o comprimento de uma circunferência (seja qual for o seu tamanho) com um fio, e, de seguida dividirmos esse comprimento pelo diâmetro da circunferência, o resultado que vamos obter é o pi. Daqui resulta que o perímetro de qualquer circunferência, pode ser calculado através da seguinte fórmula:

demonstração do cálculo do pi

Quem descobriu o pi?

O pi tem uma longa história. Foram muitas as civilizações antigas que tentaram descobrir o valor do pi o mais aproximado possível. Como já foi referido, os egípcios chegaram ao valor aproximado de . Mais ou menos na mesma altura, os babilónios obtiverem o valor aproximado de . Por volta do séc. III a.C. o grande matemático grego Arquimedes começou por calcular o perímetro de dois hexágonos, um inscrito e outro circunscrito numa circunferência. Ao aumentar o número de lados do polígono, até chegar aos 96 lados, conseguiu uma aproximação para o valor do pi igual a . Usando a mesma técnica, Ptolomeu com um polígono de 720 lados conseguiu uma estimativa de . Mais tarde, por volta do séc. V, os chineses, utilizando um polígono com 3072 lados conseguiram a estimativa de . E assim foram sendo melhoradas as estimativas ao longo do anos. É contudo de salientar que todas estes cálculos eram feitos à mão. Por exemplo, no séc XVI, o holandês Ludolph van Ceulen conseguiu obter o valor do pi com 35 casas decimais. Nessa altura, este tipo de cálculos demoravam anos e anos de trabalho intensivo! Mais recentemente, com o aparecimento dos computadores, já foi possível calcular o valor do pi com milhões de casas decimais.

casas decimais do pi

Então e o símbolo, apareceu quando?

Muitos dos símbolos matemáticos usados nos dias de hoje, devem-se ao grande matemático suíço Leonhard Euler. Foi ele, que em 1737 deu a conhecer o símbolo  para representar o famoso número. Foi também nessa altura, que os matemáticos demonstraram que o pi é um número irracional, logo o número de casas decimais necessárias para obter o seu valor exato é infinito.

O número pi foi determinado pela razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro. Por se tratar de um valor constante, sempre igual, o pi passou a ser representado na matemática pelo símbolo π. Para exemplificar, iremos demonstrar em fórmula que a divisão entre o perímetro e o diâmetro de uma roda de carro e de uma moeda são exatamente o mesmo valor: π.

Fórmula

π é um número irracional que, normalmente, arredondamos o valor para três casas, com o valor π=3,14. No entanto, o mistério da matemática que envolve o π, é que não sabemos qual seria a última casa desse número, que pode ser representado com várias casas após a vírgula, mas sempre terminando em reticências:

π= 3,14159265358979323846…

Por isso, usamos sempre a letra grega π, evitando possíveis erros. O pode ser encontrado por meio da divisão do perímetro pelo diâmetro de uma circunferência, e o perímetro pela multiplicação do diâmetro por π, conforme demonstrado abaixo:

Fórmula

A história do número π

A relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro já era conhecida por diversos povos antigos (como os babilônios e os egípcios), que já sabiam que a razão era maior do que 3. Em placas encontradas dos povos babilônios, havia anotações de uma aproximação grosseira para o valor de π. Eles consideravam a razão como dada pelo número 3 ou por:

Fórmula

Para os egípcios, no entanto, o valor era outro, mais exato, ao qual chegaram por meio da comparação entre a área de um disco circular com o quadrado do seu diâmetro. Se o diâmetro for 2 e a área π, podemos ter o valor de π por meio da regra egípcia:

Fórmula

Os gregos foram os primeiros a mostrar por quais motivos a razão dos círculos de tamanhos distintos é a mesma. Trata-se de uma simples propriedade das figuras semelhantes. Arquimedes foi quem aproximou mais o número π do valor real, aproximando a circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, determinando uma limitação para π:

Fórmula

ou seja, 3,14085 < π < 3,142857.

Dessa forma, com o passar dos anos, os valores foram sendo melhorados e aproximados ao real. No entanto, foi a partir do século XX, com uso de computadores e dos algoritmos computacionais que se tornou mais precisa a definição do valor de π.

O cálculo da área de um círculo

O π aparece também na fórmula que determina a área de um círculo, que é constituída pelo fracionamento do círculo em uma infinidade de triângulos isósceles, sendo que dois dos lados do triângulo devem ter a medida do raio.

Área da circunferência

Com dois triângulos desses, formamos um paralelogramo com uma inclinação pequena, que tende ao retângulo.

Triângulos

Com a multiplicação da base pela altura, temos a área de um retângulo e, como cada retângulo é formado por dois triângulos, sendo que sua base é um pedaço do perímetro do círculo, a fragmentação tem que ser imaginada com um número par de triângulos, para que todos se unam em pares para formar retângulos. Une-se, em seguida, todos os retângulos em um retângulo maior cuja base é πR e a altura é R, como demonstrado na imagem abaixo.

Retângulo

O processo de encaixe dos triângulos dois a dois faz com que a base seja a metade do perímetro do círculo. Multiplicando a base pela altura, temos π x R x R, determinando a área desse retângulo, que pode ser representado por:

A = π R²

 

 

10 curiosidades sobre o número PI!

14 de março é comemorado o dia do número PI (π). Sabe por que?

Descubra conosco essa e mais outras curiosidades sobre esse número mágico!

1 – Comemoração do 3/14

14 de março ou 14/3 (“3/14” nos países que usam a notação mês/dia) foi escolhido para celebrar do dia do número PI por causa dos seus 3 primeiros dígitos (3,14). Ele é o resultado da divisão da circunferência de um círculo pelo seu diâmetro. A conta dá sempre a dízima, que começa com 3,1415927 e nunca chega ao fim.

2 – As primeiras 100 casas decimais

As primeiras 100 casas decimais do Pi são: 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

 

3 – Aniversariante ilustre

14 de março, dia do PI, também é o dia do nascimento do físico alemão Albert Einstein!

4 – Conhecido antigo

Na Grécia antiga o símbolo Pi era usado para representar o número 80.

5 – Cadê o Zero?

O zero não aparece nos primeiros 31 dígitos de Pi .

6 – Ludolph Van Ceulen

Na Holanda, o matemático Ludolph Van Ceulen (1539-1610) determinou as primeiras 20 casas decimais do número PI no livro Van den Circkel em 1596 e, anos mais tarde, expandiu seu conhecimento para 35 casas decimais. O curioso é que em sua lápide foi gravado o número com 35 casas decimais! Até hoje na Alemanha o número é chamado de Número de Ludolph.

7 – O PI em forma de música:

 

8 – Casas decimais infinitas usadas na computação

Usadas para testes em supercomputadores, já foram descobertas mais de 5 trilhões de casa decimais. Em 2009, por exemplo, pesquisadores da Universidade de Tsukuba, no Japão, calcularam um total de 2.576.980.377.524 casas decimais em 73 horas e 36 minutos, com a ajuda de um computador gigantesco, O T2K Tsukuba System. Ele é um cluster de 640 computadores com uma velocidade de processamento de 95 trilhões de flops.

9 – Curiosidades Rapidinhas

Considerando as primeiras 6.000.000.000 casas decimais do Pi temos que:

  • O algarismo 0 ocorre 599.963.005 vezes;
  • O algarismo 1 ocorre 600.033.260 vezes;
  • O algarismo 2 ocorre 599.999.169 vezes;
  • O algarismo 3 ocorre 600.000.243 vezes;
  • O algarismo 4 ocorre 599.957.439 vezes;
  • O algarismo 5 ocorre 600.017.176 vezes;
  • O algarismo 6 ocorre 600.016.588 vezes;
  • O algarismo 7 ocorre 600.009.044 vezes;
  • O algarismo 8 ocorre 599.987.038 vezes;
  • O algarismo 9 ocorre 600.017.038 vezes.

 

 

Matematicando na vida!

Médio
Logaritmos
Ensino Médio: Logaritmos
  • A hipérbole equilátera
  • Definição de Logaritmo
  • Propriedades gerais
  • Simplificações matemáticas
  • Base para um logaritmo
  • Logaritmo decimal
  • Definição estranha de logaritmo
  • Cálculo de logaritmos
  • Característica e mantissa
  • Tábua logaritmos on-line

 

A hipérbole equilátera

Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.

Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.

 

Definição de Logaritmo

O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:

Ln(u)=área(1,u)

Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:

Ln(1)=0

Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.

O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.

 

Propriedades gerais dos logaritmos

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

  1. Ln(1)=0
  2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)
  3. Ln(xk)=k.Ln(x)
  4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)

 

Algumas simplificações matemáticas

As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.

Exemplos:

  1. Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(34=Ln(5.34)=Ln(405)

  2. (1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²)½]-Ln(t)=Ln(2), se t>0

  3. Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)

Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3) ou 3.Ln(2)? Observamos que:

2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9)
3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)

e como a função Ln é crescente, então:

3 Ln(2) = Ln(8)<Ln(9) = 2 Ln(3)

 

Base para um logaritmo

Existe um importante número real e=2,71828… (atribuído a Euler) tal que

Ln(e) = 1

A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever:

Ln(u) = Loge(u)

que lemos como “logaritmo do número real u na base e”.

A partir do exposto acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas devem ser diferentes de 1.

Loga(b) = Ln(b) / Ln(a)

Exercício: Você saberia a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base 1?

 

Logaritmo decimal

No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos:

y = Log(x)

para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10

  1. Log(1)=0
  2. Log(0) não tem sentido
  3. Log(10)=Log(101)=1
  4. Log(1/10)=Log(10-1)=-1
  5. Log(100)=Log(10²)=2
  6. Log(1/100)=Log(10-2)=-2
  7. Log(1000)=Log(10³)=3
  8. Log(1/1000)=Log(10-3)=-3
  9. Log(10n)=n
  10. Log(10-n)=-n

A partir da propriedade

Log 10n=n

temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação:

Log(10x) = x

 

Definição estranha de logaritmo

A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o Logaritmo de um número real positivo x na base b é igual ao número e se, e somente se, x pode ser escrito como a potência b elevada ao expoente e, isto é:

Logb(x) = e se, e somente se, x = be

Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de Logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica:

  • Define-se o logarítmo em função da exponencial;

  • Define-se a exponencial em função do logaritmo.

 

Cálculos de logaritmos de alguns números

Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y=Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim

0<Log(2)<1

É interessante obter dois números que sejam potências de 2 e que estejam muito próximos de potências de 10.

Por exemplo:

1000<1024=210
8192=213<10000,

logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos:

3<10 Log(2)<13 Log(2)<4

então

0,300=3/10<Log(2)<4/13=0,308

e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, que é uma boa estimativa para Log(2), isto é:

Log(2)=0,304

O ideal é encontrar outras potências de 10 que estejam próximas de potências de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:

Intervalo Valores Média
1<2 <10 0<Log(2)<1 0,500
1<2²<10 0<Log(2)<1/2 0,250
10<24<10² 1/4<Log(2)<2/4 0,375
10<25<10² 1/5<Log(2)<2/5 0,300
10<26<10² 1/6<Log(2)<2/6 0,250
10²<28<10³ 2/8<Log(2)<3/8 0,313
10³<210<104 3/10<Log(2)<4/10 0,350
10³<211<104 3/11<Log(2)<4/11 0,318
10³<212<104 3/12<Log(2)<4/12 0,292
10³<213<104 3/13<Log(2)<4/13 0,269
104<214<105 4/14<Log(2)<5/14 0,321
104<215<105 4/15<Log(2)<5/15 0,300
104<216<105 4/16<Log(2)<5/16 0,282
105<217<106 5/17<Log(2)<6/17 0,393
105<218<106 5/18<Log(2)<6/18 0,306
105<219<106 5/19<Log(2)<6/19 0,289
106<220<107 6/20<Log(2)<7/20 0,325

 

Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função Ln através de uma série de potências de x para calcular logaritmos de números reais positivos com -1<x<1.

Ln(1+x) = x – (1/2) x² + (1/3) x³ – (1/4) x4 + (1/5) x5 + …

Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de Ln(y) para qualquer y real desde que se saiba o valor de x para o qual y=(1+x)/(1-x).

Ln(y) = 2 [ x + (1/3) x³ + (1/5) x5 + (1/7) x7 + … ]

Por exemplo, para obter Ln(3), tomamos y=3 e deveremos ter x=1/2 para satisfazer à relação y=(1+x)/(1-x).

Voltando ao estudo básico, Log(2)=0,3010299956639812… e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de 2, como por exemplo:

  1. Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206
  2. Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309
  3. Log(16)=Log(24)=4Log(2)=1,20412
  4. Log(32)=Log(25)=5Log(2)=1,50515
  5. Log(2n)=n.Log(2)
  6. Log(1/2)=Log(2-1)=(-1)Log(2)=-0,30103
  7. Log(1/4)=Log(2-2)=(-2)Log(2)=-0,60206
  8. Log(1/8)=Log(2-3)=(-3)Log(2)=-0,90309
  9. Log(1/16)=Log(2-4)=(-4)Log(2)=-1,20412
  10. Log(1/32)=Log(2-5)=(-5)Log(2)=-1,50515
  11. Log(2-n)=(-n).Log(2)

Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.

Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.

Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477, para calcular alguns logaritmos.

  1. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-0,301=0,699

  2. Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,477=0,778

  3. Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903
  4. Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954

Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e Log(8), isto é:

Log(7)=0,840

 

Característica e mantissa de um logaritmo na base 10

Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.

Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal negativo para o logaritmo apenas para o número que está antes da vírgula.

Número Logaritmo Característica Mantissa
0,002 ¯3,30103 -3 0,30103
0,02 ¯2,30103 -2 0,30103
0,2 ¯1,30103 -1 0,30103
2 0,30103 0 0,30103
20 1,30103 1 0,30103
200 2,30103 2 0,30103
2000 3,30103 3 0,30103

Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. Isto poderá ser observado na Tábua moderna de logaritmos que aparece no final desta Página.

¯3,30103 significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, -2,69897.

Médio
Logaritmos: Exercícios
Ensino Médio: Logaritmos: Exercícios

 

Usaremos as notações: R[z] para a raiz quadrada de z>0 e x/y=x÷y.

  1. Cálculo do logaritmo (base 10) com o browser: Para obter o logaritmo de um número N na base 10, com o browser, basta escrever:
    javascript:Math.log(N)/Math.log(10)
    

    na caixa branca de seu browser que indica o endereço (location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para retornar.

    Com base nesta informação, obter:

    1. log10(0,01234)
    2. log10(0,1234)
    3. log10(1,234)
    4. log10(12,34)
    5. log10(123,4)
    6. log10(1234)
  2. Cálculo do logaritmo natural com o browser: Para obter o logaritmo natural de um número N, basta usar escrever:
    javascript:Math.log(N)

    na caixa branca de seu browser que indica o endereço (location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para retornar.

    Com base nesta informação, obter:

    1. Ln(0,01234)
    2. Ln(0,1234)
    3. Ln(1,234)
    4. Ln(12,34)
    5. Ln(123,4)
    6. Ln(1234)
  3. Determinar o valor de x para o qual:
    1. logx(128) = 7
    2. log2(8) = x
    3. log4(x) = 3
    4. log1/2(2) = x
    5. log2(1/2) = x
    6. log3/4(4/3) = x
  4. Calcular o logaritmo de:
    1. 27 na base R[3]
    2. R[3] na base 27
    3. 25 na base R[5]
    4. R[5] na base 25
  5. Qual é o valor de x se o logaritmo do número 16/25 na base x é 2?
  6. Seja x um número real positivo. Qual é o valor da base b para que o logaritmo de x na base b:
    1. seja igual a 0.
    2. seja igual a 1.
    3. seja igual a -1.
  7. Usando as propriedades dos logaritmos:

    logb(A.B)=logb(A)+logb(B)
    logb(A/B)=logb(A)-logb(B)
    logb(An)=n.logb(A)

    desenvolver o logaritmo de W em uma base b, para cada expressão:

    1. W=7x²y-3 R[z]
    2. W=7x2/3y3/4
    3. W=7x²/y³
    4. W=(abcd)/(efgh)
  8. Usando o fato que:

    logb(M)=loga(M)/loga(b)

    determinar log2(1024), log2(32) e log128(1024).

  9. Se log10(2)=0,30103 e log10(3)=0,47712, determinar:
    1. log10(18)
    2. log10(16)
    3. log10(50)
    4. log10(250)
  10. e=2,71828… é conhecido como número de Euler. O logaritmo natural (ou neperiano) é o logaritmo na base e, denotado por Ln(N)=loge(N). Se Ln(2)=0,69315 e Ln(10)=2,30259, obter:
    1. log10(2)
    2. Ln(5)
    3. Ln(4)
    4. Ln(20)
  11. Qual é a característica de cada logaritmo indicado:
    1. log10(0,001)
    2. log10(0,01)
    3. log10(0,1)
    4. log10(1)
    5. log10(10)
    6. log10(100)
    7. log10(1000)
  12. Obter as características dos logaritmos:
    1. log2(65/1024)
    2. log2(650/1024)
    3. log2(6500/1024)
    4. log2(65000/1024)
  13. Obter as mantissas dos logaritmos:
    1. log10(0,002)
    2. log10(0,02)
    3. log10(0,2)
    4. log10(2)
    5. log10(20)
    6. log10(200)
    7. log10(2000)
  14. Se a mantissa de log101234 é igual a 0,091315, obter:
    1. log10(1234)
    2. log10(123,4)
    3. log10(12,34)
    4. log10(1,234)
    5. log10(0,1234)
    6. log10(0,01234)
    7. log10(0,001234)
  15. Com o browser, podemos obter o valor de x para o qual log10(x)=1,234. Basta elevar o número 10 à potência 1,234, o que pode ser obtido pelo método seguinte. Escrever:
    javascript:Math.pow(10,1.234)

    na caixa branca de seu browser que indica o endereço (location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para retornar.

    Com base nesta informação, obter:

    1. log10(0,1234)
    2. log3(1,234)
    3. log2(12,34)
    4. log9(123,4)
    5. log25(1234)
    6. log50(12340)
    7. log100(1234)
  16. Usando logaritmos, determinar x tal que
    1. 3x = 5
    2. (12,34)x = 56,78
    3. (12,34)(x+1) = 56,78
    4. (12,34)(3x-1) = 56,78
    5. (12,34)(x+1) = 56,78
    6. (12/34)x = 56/78
    7. 3(x+1)/x = 7x
    8. 3(x+1)/x 5x = 10x
  17. Resolver as equações logarítmicas:
    1. 2 log(x)-2=log(x-3)
    2. log(R[5x+1])+log(R[7x+4])-log(20)=0

    3. log2(x-1)=log4(x+1)

  18. Resolver os sistemas de equações logarítmicas:

    1. x+y=13
      log(x)+log(y)=log(36)
    2. x+y=5
      log(x)+log(y)=2
    3. x+y=29
      log(x)+log(y)=2
    4. xy=yx
      x²=y³
    5. 2x+y=64
      log(x)+log(y)=log(8)

Construída por Ulysses Sodré.
Médio
Funções Exponenciais
Ensino Médio: Funções Exponenciais
  • A função exponencial
  • A Constante e de Euler
  • Conexão entre exp e o número e
  • Significado geométrico de e
  • Propriedades básicas
  • Simplificações matemáticas
  • Outras funções exponenciais
  • Leis dos expoentes
  • Relação de Euler
  • Algumas Aplicações
  • Resfriamento dos corpos
  • Curvas de aprendizagem
  • Crescimento populacional
  • Desintegração radioativa

 

A função exponencial

A função exponencial natural é a função exp:RR+, definida como a inversa da função logarítmo natural, isto é:

Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x.

Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

 

Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:

1. exp(x)>0   se x é real)
2. 0<exp(x)<1 se x<0
3. exp(x)=1   se x=0
4. exp(x)>1   se x>0

No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:

f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)

Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.

Exemplos:

  1. Ln[exp(5)]=5
  2. exp[ln(5)]=5
  3. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2
  4. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2
  5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³
  6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk
  7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7

 

A Constante e de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e)=1

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e=2,718281828459045235360287471352662497757

 

Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

ex = exp(x)

 

Significado geométrico de e

Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

 

Propriedades básicas da função exponencial

Se x e y são números reais e k é um número racional, então:

  1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).
  2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.
  3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.
  4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)
  5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
  6. exp(x.k)=[exp(x)]k

 

Simplificações matemáticas

Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:

  1. exp[Ln(3)]=3.
  2. Ln[exp(20x)]=20x.
  3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32.
  4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².

 

Outras funções exponenciais

Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.

Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:

ar=exp[Ln(ar)]

Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:

ar = exp[r.Ln(a)]

Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:

ax=exp[x.Ln(a)]

 

Leis dos expoentes

Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:

  1. axay=ax+y
  2. ax/ay=ax-y
  3. (ax) y=ax.y
  4. (a b)x=axbx
  5. (a/b)x=ax/bx
  6. a-x=1/ax

 

Relação de Euler

Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:

eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)

 

Algumas Aplicações

Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas funções.

Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?

Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.

A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:

f(t) = C eA t

então obtemos que:

A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)21

A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:

f(t) = 124,09468 e-0,0645385t

e quando f(t) = 37 temos que:

t = 18,7504… = 18 horas + 45 minutos

que pode ser observado através do gráfico.

Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funções exponenciais e logarítmicas.

Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.

A curva básica para este tipo de estudo é da forma:

f(x) = c – a e-k.x

onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.

A função:

f(x) = c – a e-k.x

cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.

Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho “An Essay on the Principle of Population” formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

N(t)=No ert

onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.

O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,…

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 er12

logo

e12r=600/200=3

assim

ln(e12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Finalmente:

N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias

Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:

N(t) = No e-k.t

esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente.

Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.

Se N=No/2 para t=T, temos

No/2 = No e-k.T

assim

T=Ln(2)/k

Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:

Substância Meia-vida T
Xenônio 133 5 dias
Bário 140 13 dias
Chumbo 210 22 anos
Estrôncio 90 25 anos
Carbono 14 5.568 anos
Plutônio 23.103 anos
Urânio 238 4.500.000.000 anos

Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:

k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano


Valid XHTML 1.0! Construída por Sonia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré.