Cálculos Trigonometria
Como calcular seno, cosseno e tangente

Como calcular seno, cosseno e tangente

 

Saber como funciona a trigonometria e para que servem os cálculos de seno, cosseno e tangente é importante para as provas do vestibular e, principalmente, para as carreiras profissionais na área de exatas. Nos itens abaixo você aprenderá o significado de cada um desses conceitos e também irá entender porque a matemática os utiliza.

Razões trigonométricas

A trigonometria é um ramo da matemática que procura estudar as relações entre os ângulos e os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. O seno, o cosseno e a tangente são medidas que estão dentro do campo das razões trigonométricas. E para entendê-los, é preciso retomar alguns conceitos. Confira:

Triângulo retângulo

Triângulo Retângulo - Toda Matéria

É chamado dessa maneira porque um de seus ângulos é reto, ou seja, possui 90°. Veja:

Lembrando que a soma de todos ângulos internos do triângulo é igual a 180°. Sendo assim, em um triângulo retângulo, é possível considerar dois fatores:

1) Ambos os outros dois ângulos são menores que 90º.

2) Os ângulos também são complementares, já que a soma dos dois deve ser igual a 90º.

Os lados dos triângulos também possuem nomes:

Hipotenusa

Ficheiro:Triangulo-Rectangulo.svg – Wikipédia, a enciclopédia livre

No triângulo retângulo, corresponde ao lado do triângulo oposto ao ângulo de 90°. Na figura abaixo, a é a hipotenusa.

Catetos

Para determinar os catetos de um triângulo, você precisa de um ângulo como referência. O lado oposto ao ângulo reto será o cateto oposto já o adjacente é o que está ao lado. Veja a figura:

B^= cateto oposto: b

cateto adjacente: c

 

C^= cateto oposto: c

cateto adjacente: b

Lembre-se do famoso Teorema de Pitágoras:

“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.”

Razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente - Mundo Educação

Seno

O seno de um ângulo é igual à medida do seu cateto oposto (Co) dividido pela hipotenusa (h), conforme a fórmula:

Cosseno

 

O cosseno de um ângulo é igual à medida do cateto adjacente (Ca) dividido pela hipotenusa (h). Veja a fórmula:

Tangente

A tangente de um ângulo é obtida pela razão entre o cateto oposto (Co) dividido pelo cateto adjacente (Ca). Veja:

Tabela trigonométrica

A tabela trigonométrica traz as medidas de seno, cosseno e tangente dos chamados arcos notáveis.

Seno, Cosseno e Tangente de 30°, 45º e 60º – GeoGebraSaber esses valores de cor na hora da prova vai ser bastante útil para você. Muitos vestibulares ainda podem oferecer a tabela, junto ou não de valores aproximados para as raízes.

Quando usar seno, cosseno e tangente?

Esses valores são utilizados para descobrir a medida dos lados do triângulo a partir das medidas de seus ângulos. São cálculos requisitados com frequência no Enem e nos principais vestibulares.

Para te ajudar a visualizar o conteúdo na prática, fizemos a resolução de um exercício. Veja:

Enem 2010

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.

Enem 2010: Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo)

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e sob um ângulo de 30°.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

  1. a) 1,8 km
  2. b) 1,9 km
  3. c) 3,1 km
  4. d) 3,7 km
  5. e) 5,5 km

Resolução:

Para calcular a distância (d) usaremos a tangente do ângulo 60°, pois:

tg 60° = h/1,8

v3 = h/1,8

h = v3 . 1,8

Sabemos que a raiz de 3 é igual a aproximadamente 1,7, logo:

h ? 1,73 . 1,8

h ? 3,11

Resposta: Letra C

A trigonometria é um assunto muito amplo e também bastante complexo. Várias fórmulas trigonométricas podem ser utilizadas para resolver o mesmo exercício do vestibular. Por isso, é importante que você estude bastante e domine o conteúdo por completo.

Cálculos Curiosidades Fundamental Geometria Trigonometria
O Homem Vitruviano e o número Phi: a matemática da beleza

Leonardo da Vinci (1452-1519), um dos maiores gênios da humanidade, não foi só o pintor de Mona Lisa, a obra mais famosa já pintada, reproduzida e parodiada de todos os tempos. Ele também era matemático, engenheiro, cientista e inventor. E também botânico, poeta e músico.

Por volta de 1490, da Vinci produziu vários desenhos para um diário. Entre eles, está o célebre Homem Vitruviano, baseado numa passagem do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de De Architectura, um tratado de arquitetura em que, no terceiro livro, são descritas as proporções do corpo humano masculino:

“O Homem Vitruviano”, de Leonardo da Vinci. 1490, Lápis e tinta sobre papel, 34 X 24 cm

– um palmo é o comprimento de quatro dedos
– um pé é o comprimento de quatro palmos
– um côvado é o comprimento de seis palmos
– um passo são quatro côvados
– a altura de um homem é quatro côvados
– o comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura
– a distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem
– a distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem
– o comprimento máximo nos ombros é um quarto da altura de um homem
– a distância entre a o meio do peito e o topo da cabeça é um quarto da altura de um homem
– a distância entre o cotovelo e a ponta da mão é um quarto da altura de um homem
– a distância entre o cotovelo e a axila é um oitavo da altura de um homem
– o comprimento da mão é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o fundo do queixo e o nariz é um terço do comprimento do rosto
– a distância entre a linha de cabelo na testa e as sobrancelhas é um terço do comprimento do rosto
– o comprimento da orelha é um terço do da face
– o comprimento do pé é um sexto da altura

Após várias tentativas de Vitrúvio para encaixar as proporções do corpo humano dentro da figura de um quadrado e um círculo, foi apenas com Leonardo que o encaixe saiu corretamente perfeito, dentro dos padrões matemáticos esperados.

O Homem Vitruviano é considerado frequentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, por extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do quadrado (quadratura do círculo) e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional Phi (aproximadamente 1,618).

Miolo do girassol

Colmeia de abelhas

Mas o que é o número Phi ou número áureo? Este número está envolvido com a natureza do crescimento e está associado ao significado da perfeição, que pode ser encontrado em vários exemplos de seres vivos: crescimento de plantas, população de abelhas, escamas de peixes, presas de elefantes, flor de girassol, entre outros. E também em espirais de galáxias. Na matemática, o número Phi é encontrado de várias formas: Figuras Geométricas, Retângulo Dourado, Série de Frações, Série de Raízes e a Série de Fibonacci. Neste post, vou me ater ao número áureo encontrado através da Série de Fibonacci.

O número áureo pode ser aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…, na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:

2/1 = 2 ….. 3/2 = 1,5 ….. 5/3 = 1,666…… 8/5 = 1,6 …… 13/8 = 1,625

 

Muitos estudos e muitas pesquisas já se fizeram e continuarão a ser feitos desvendando os mistérios do número Phi. Importante lembrar que, desde sempre, o homem está continuamente à procura da felicidade. E a beleza, sentida ou mostrada, faz parte desta felicidade. O número áureo, sendo a representação extrema da perfeição, é a ponte que liga a Arte à Matemática, em busca da beleza, em busca da felicidade.

Autor: Catherine Beltrão

Médio Trigonometria
Entenda melhor trigonometria com esses GIFs

Segundo a Wikipedia:

Trigonometria (do grego trigōnon “triângulo” + metron “medida”) é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

Eu sei que nem todo mundo é fã de matemática e trigonometria. Mas vejam esses GIFs animados, com eles você vai poder ver esses cálculos complexos em ação. Cuidado para seu cérebro não entrar em parafuso!

Para começar, isso é o que você realmente deve pensar quando você ver o número π:

2awwsl2-imgur

Muitas pessoas estão confusas sobre o que são radianos. Bem, aqui está um GIF para explicar:

 

Em seguida, pense sobre a relação entre o seno, cosseno e círculo. Eis um exemplo da relação fundamental entre os três. Observe como o virabrequim se move em um círculo, e as barras – que correspondem ao seno e cosseno – se movem para cima e para baixo e para os lados em uma formação ondulada:

Aqui uma demonstração mais tradicional de seno e cosseno. Você faz o seu caminho ao redor do círculo (preto). Ao fazer isso, os valores de Y leva a sinusoidal (linha vermelha) e os valores de resultado X em co-seno (linha azul):

Agora, vamos começar a ligar esta relação entre as funções e os círculos para triângulos:

A relação triângulo é crucial para a definição da função tangente. A intersecção da hipotenusa do triângulo com a linha vertical ao longo do lado esquerdo do circulo define a função.

Aqui está outra maneira de olhar as coisas, sem o Triângulo:

E outros GIFs matemático que podem ajudá-lo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Matematicando na vida!

Educação matemática Fundamental Geometria Geometria Espacial Geometria Plana Médio Trigonometria
GeoGebra- Software de Matemática Dinâmica Gratuito

Criado por Markus Hohenwarter,matemático austríaco, o GeoGebra é um software livre para o aprendizado de matemática dinâmica que reúne diversos recursos de cálculo, geometria e álgebra.

o software GeoGebra tem todas as ferramentas comuns de um software de geometria dinâmica: os pontos, os segmentos, as retas e as seções cônicas. Porém possui também equações e coordenadas que podem ser inseridas diretamente. Desse modo, o GeoGebra tem uma enorme vantagem em sua apresentação é possível fazer duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação algébrica e sua representação geométrica.

GeoGebra

Os tutoriais a seguir são pequenas animações com textos explicativos.

 

Tutorial Descrição
1

Janelas iniciais do programa: a Janela de Visualização, a Janela de Álgebra, o Campo de Entrada e o Botão de Ajuda.

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2

Disposições.

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3

Barra de Ferramentas, construção de pontos e retas no plano.

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4

Como apagar objetos, usando botão de Desfazer, construção de pontos médios e segmentos.

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5

Como mover, ampliar e reduzir a Janela de Visualização. Pontos livres no plano e pontos fixos.

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6

Como gravar, abrir e iniciar novas construções geométricas.

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7

Como esconder, exibir e mover os rótulos. Configuração de rótulos no GeoGebra.

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8

Como esconder e exibir objetos no Geogebra. Aplicação: construção do triângulo equilátero.

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9

Como traçar retas perpendiculares entre si. Aplicação: construção de um quadrado.

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10

Como esconder diversos objetos ao mesmo tempo (seleção múltipla com a tecla CTRL).

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11

Como traçar retas paralelas. Como construir polígonos preenchidos coloridos. Aplicação: construção de um paralelogramo.

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12

Como mudar a aparência dos objetos: sua cor, seu tamanho, sua espessura, sua transparência. Como renomear um objeto.

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13

Como modificar as propriedades dos objetos (sua cor, seu tamanho, sua espessura, sua transparência) com o botão direito do mouse.

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14

Usando a ferramenta Mediatriz.

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15

Usando a ferramenta Bissetriz.

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16

Como construir o incentro e o círculo inscrito de um triângulo qualquer.

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17

Como construir pontos semi-livres, como rastrear os pontos, como construir lugares geométricos.

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18

sobre rastros, usando atalho de teclado CTRL + F.

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19

Criando e usando novas ferramentas (macros), a ferramenta Polígono Regular.

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20

Como gravar, abrir, configurar e apagar ferramentas (macros). Como deixar uma ferramenta permanente.

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21

Usando macro para ilustrar /demonstrar o Teorema de Napoleão.

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22

Como exportar imagens para o Microsoft Word ou o BrOffice usando o formato PNG.

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23

Como usar d a Janela de Álgebra; como configurar o número de dígitos usados.

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24

Como criar ângulos e modificar suas aparências; como usar a ferramenta Copiar Estilo Visual.

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Informações no GeoGebraWiki: Ferramenta Ângulo e Ferramenta Copiar Estilo Visual.

25

A Barra de Estilo.

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26

Textos e Fórmulas do LaTeX.

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27

Definindo funções afins e funções quadráticas.

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28

Configurando escalas dos eixos coordenados.

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29

Configurando a aparência dos eixos coordenados (rótulo e marca).

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Fonte:Instituto GeoGebra no Rio de Janeiro

Matematicando na vida!

Trigonometria
Trigonometria Hiperbólica
Trigonometria: Trigonometria Hiperbólica
  • Funções exponenciais reais
  • Cosseno e Seno hiperbólico
  • Tgh,Coth,Sech e Cossech
  • Relação fundamental
  • Porque trigonometria hiperbólica?
  • Trigon. circular × hiperbólica
  • Funções inversas
  • Integrais difíceis e Aplicações

 

Funções exponenciais reais

A função exponencial é uma das mais importantes da Matemática. Esta função é definida por f:RR através de

f(t) = exp(t) = et

No plano R², podemos obter a reflexão do gráfico desta função em relação ao eixo OY, que nos dá outra função exponencial g:RR definida por

g(t) = exp(-t) = e-t

Os gráficos destas funções podem ser vistos abaixo.

Observamos que tais funções são positivas. f(t)=et (cor vermelha) é crescente e g(t)=e-t (cor azul) é decrescente.

Com estas funções, definimos outras funções da Matemática bastante utilizadas nas ciências em geral, inclusive na própria Matemática.

 

Cosseno hiperbólico e Seno hiperbólico

As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, são definidas, respectivamente, por:

A função cosh é positiva, enquanto que senh é positiva para parâmetros positivos reais, negativos para parâmetros negativos reais e se anula em t=0.

Com estas duas funções cosh (cor vermelha) e senh (cor azul), também podemos definir outras funções da Matemática.

 

Aplicação: Ao observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso do mesmo faz com que ele fique meio arredondado, dando a impressão que o gráfico formado pela curva representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a catenária (do Latim catena=cadeia) pois foi através de uma corrente metálica formada por elos (cadeias) que se observou primeiramente tal curva.

 

Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante hiperbólicos

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, são respectivamente definidas por:

tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sech(t) = 1/cosh(t)
csch(t) = 1/senh(t)

quando os denominadores são diferentes de zero.

 

Relação fundamental da trigonometria hiperbólica

Ao tomar a diferença dos quadrados das funções cosh e senh, obtemos:

cosh²(t)-senh²(t)=[½(et+et)]²-[½(et+et)]²

efetuando as operações temos que

cosh²(t) – senh²(t) = 1

 

que é uma relação notável na Trigonometria hiperbólica.

 

Porque trigonometria hiperbólica?

A construção da trigonometria circular, é realizada sobre uma circunferência de raio unitário, dada por x²+y²=1. Tomando x=cos(t) e y=sen(t), observamos a relação fundamental da trigonometria circular:

cos²(t) + sen²(t) = 1

onde t é o ângulo (tomado em radianos).

Na construção da trigonometria hiperbólica, usamos uma curva denominada hipérbole, representada por x²-y²=1. Tomando x=cosh(t) e y=senh(t), observamos a relação fundamental da trigonometria hiperbólica:

cosh²(t) – senh²(t) = 1

onde t é um parâmetro real que pode ser interpretado geometricamente.

 

Trigonometria circular versus Trigonometria hiperbólica

Praticamente todas as propriedades da trigonometria circular podem ser transladadas para a trigonometria hiperbólica, com o cuidado de observar muitas vezes a troca do sinal de “+” pelo sinal de “-“.

Trigonometria circular Trigonometria hiperbólica
x² + y² = 1 x² – y² = 1
cos²(t) + sen²(t) = 1 cosh²(t) – senh²(t) = 1
tg(t) = sen(t)/cos(t) tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
cot(t) = cos(t)/sen(t) coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sec(t) = 1/cos(t) sech(t) = 1/cosh(t)
csc(t) = 1/sen(t) csch(t) = 1/senh(t)
sen(2t)=2sen(t)cos(t) senh(2t)=2senh(t)cosh(t)
cos(2t)=cos²(t)-sen²(t) cosh(2t)=cosh²(t)+senh²(t)
tg(2t)=2tg(t)/(1-tg²(t)) tgh(2t)=2tgh(t)/(1+tgh²(t))

 

Para as derivadas, temos a tabela:

Trigonometria circular Trigonometria hiperbólica
Função Derivada Função Derivada
sen(t) cos(t) senh(t) cosh(t)
cos(t) -sen(t) cosh(t) senh(t)
tg(t) sec²(t) tgh(t) sech²(t)

 

Funções inversas da trigonometria hiperbólica

É possível definir a função inversa de cosh, que será identificada por arccosh, assim como de todas as outras funções trigonométricas hiperbólicas. O procedimento é semelhante em todos os seis casos.

Se cosh(u)=t, obteremos o valor de u em função de t, denotando-o por qualquer uma das duas formas abaixo:

u = arccosh(t) = cosh-1(t)

Pela definição dada na parte inicial desta página, segue que:

t = cosh(u) = ½(eu + e-u)

logo

2t = eu + 1/eu

Tomando eu=x, obteremos 2t=x+1/x, ou seja, x²-2tx+1=0. Resolvendo esta equação do segundo grau em x e usando a notação R[z] para a raiz quadrada de z>0, obteremos:

eu = x = t + R[t²-1]

Aplicando o logaritmo natural a ambos os membros dessa igualdade, obtemos:

u = log(t+R[t²-1])

Assim, a função inversa de cosh é a função definida por:

arccosh(t) = cosh-1(t) = log(t + R[t²-1])

 

Integrais difíceis e Aplicações

Com a trigonometria circular

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho facilitado! A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria circular,

cos²(t) + sen²(t) = 1
cos²(t)-sen²(t)=cos(2t)

teremos


resolvendo o sistema:

C + S =
C – S = 0

obteremos,

C = S = /2

 

Aplicação: Já sabemos do Ensino Fundamental que a área do círculo envolvido pela circunferência x²+y²=r² é dado por A=r². Podemos obter tal resultado através de uma integral com uma substituição trigonométrica.

Explicitaremos y em função de x e consideraremos esta função no primeiro quadrante para obter para 0<x<r:

y(x) = R[r²-x²]

em que a notação R[z] representa a raiz quadrada de z>0.

A integral dessa função no intervalo [0,r] nos fornece a área A que corresponde à área da quarta parte do círculo.

Usando a mudança de variáveis x=rsen(t), dx=rcos(t)dt, obteremos:

 

Com a trigonometria hiperbólica

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho muito facilitado!

A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria hiperbólica,

cosh²(t) – senh²(t) = 1
cosh²(t)+senh²(t)=cosh(2t)

nos dá:

U – V = x
U + V = ½ senh(2x) = senh(x).cosh(x)

logo

U = ½(x+senh(x).cosh(x))
V = ½(-x+senh(x).cosh(x))

 

Aplicação: Obteremos a área da região do 1o. quadrante localizada sob a hipérbole x²-y²=1, acima do eixo OX e à esquerda da reta x=t.

Usaremos a integral com uma substituição trigonométrica hiperbólica. Inicialmente, explicitando o valor de y em função de x e consideraremos esta função no 1o. quadrante para obter, com 1<x<t:

y(t) = R[x²-1]

A integral dessa função no intervalo [1,t] nos fornece:

Com a mudança de variáveis x=cosh(v), dx=senh(v)dv teremos a integral indefinida:

I = integral(R[cosh²(v)-1] senh(v)dv)
  = integral(senh²(v))dv
  = ½[-v + senh(v).cosh(v)]

Voltando às variáveis originais, poderemos escrever:

I = ½ (-arccosh(x) + x R[x²-1])

Desse modo, a área desejada será dada por:

Área = ½(-arccosh(t) + t R[t²-1])

ou então,

Área = ½(-log(t + R[t²-1]) + t R[t²-1])


Construída por Ulysses Sodré
Trigonometria
Funções trigonométricas inversas
Trigonometria: Funções trigonométricas inversas
  • Funções trigonométricas inversas
  • Função arco-seno
  • Função arco-cosseno
  • Função arco-tangente
  • Função arco-cotangente

 

Funções trigonométricas inversas

Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas.

 

Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2pi, x=4pi, x=-2pi, etc, isto é x=2kpi, onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.

Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem.

 

Função arco-seno

Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [-pi/2,pi/2] e imagem no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f-1:[-1,1][-pi/2,pi/2] é denotada por

f-1(x) = arcsen(x)

Gráfico da função arco-seno:

 

Função arco-cosseno

Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0,pi] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1][0,pi] e denotada por

g-1(x) = arccos(x)

Gráfico da função arco-cosseno:

 

Função arco-tangente

Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (-pi/2,pi/2) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por f-1:R(-pi/2,pi/2) e denotada por

f-1(x) = arctan(x)

Gráfico da função arco-tangente:

 

Função arco-cotangente

Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0,pi) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente é definida por f-1:R(0,pi) e denotada por

f-1(x) = arccot(x)

Gráfico da função arco-cotangente:


Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto,
Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré
Trigonometria
Funções trigonométricas circulares
Trigonometria: Funções trigonométricas circulares
  • Funções circulares
  • Funções reais
  • Funções crescentes e decrescentes
  • Funções pares e ímpares
  • Função seno e propriedades
  • Função cosseno e propriedades
  • Função tangente e propriedades
  • Função cotangente e propriedades
  • Função secante e propriedades
  • Função cossecante e propriedades

 

Funções circulares

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

 

Funções reais

Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.

Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).

O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.

Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.

 

Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale

f(x+T) = f(x)

Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.

Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.

 

Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:

-L < f(x) < L

Esta última expressão pode ser escrita como |f(x)|<L.

 

Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois

-1 < x/(1+x²) < 1

 

Funções crescentes e decrescentes

Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f(x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y).

Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.

 

Funções pares e ímpares

  1. Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:

    f(-x) = f(x)

    Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.

    Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.

  2. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:

    f(-x) = -f(x)

    Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.

    Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.

 

Função seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x 0 pi/4 pi/2 3 pi/4 pi 5pi/4 3pi/2 7pi/4 2pi
y 0 ½ 1 ½ 0 -1 0

Gráfico: Na figura, o segmento Oy’ que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

 

Propriedades da função seno

  1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
  2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}
  3. Periodicidade: A função é periódica de período 2pi. Para todo x em R e para todo k em Z:

    sen(x) = sen(x+2pi) = sen(x+4pi) =…= sen(x+2kpi)

    Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos

    sen(x+2kpi) = sen(x)cos(2k pi) + cos(x)sen(2k pi)

    para k em Z, cos(2k pi)=1 e sen(2k pi)=0

    sen(x+2kpi) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)

    A função seno é periódica de período fundamental T=2pi.

    Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2pi.

  4. Sinal:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função seno positiva positiva negativa negativa
  5. Monotonicidade:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função seno crescente decrescente decrescente crescente
  6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

    -1 < sen(x) < 1

  7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

    sen(-x) = -sen(x)

 

Função cosseno

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x 0 pi/4 pi/2 3 pi/4 pi 5pi/4 3pi/2 7pi/4 2pi
y 1 ½ 0 ½ -1 0 ½ 1

Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.

 

Propriedades da função cosseno

  1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
  2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
  3. Periodicidade: A função é periódica de período 2pi. Para todo x em R e para todo k em Z:

    cos(x)=cos(x+2pi)=cos(x+4pi)=…=cos(x+2kpi)

    Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos

    cos(x+2kpi)=cos(x) cos(2k pi)-sen(x) sen(2k pi)

    Para todo k em Z: cos(2k pi)=1 e sen(2kpi)=0, então

    cos(x+2kpi)=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)

    A função cosseno é periódica de período fundamental T=2pi.

  4. Sinal:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função cosseno positiva negativa negativa positiva
  5. Monotonicidade:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente
  6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

    -1 < cos(x) < 1

  7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:

    cos(-x) = cos(x)

 

Função tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)pi/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).

f(x) = tan(x) = sen(x)


cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x 0 pi/4 pi/2 3 pi/4 pi 5pi/4 3pi/2 7pi/4 2pi
y 0 1 não existe -1 0 1 não existe -1 0

 

Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).

Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de pi/2 (ou de –pi/2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.

 

Propriedades

  1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma pi/2+kpi, onde k em Z, temos

    Dom(tan)={x em R: x diferente de pi/2+kpi}

  2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
  3. Periodicidade A função é periódica e seu período é pi

    Para todo x em R, sendo x diferente de pi/2+kpi, onde k pertence a Z

    tan(x)=tan(x+pi)=tan(x+2pi)=…=tan(x+kpi)

    Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos

    tan(x+kpi) = tan(x)+tan(kpi)


    1-tan(x).tan(kpi)

    = tan(x)+0


    1-tan(x).0

    = tan(x)

    A função tangente é periódica de período fundamental T=pi.

    Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

  4. Sinal:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função tangente positiva negativa positiva negativa
  5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=kpi/2, k inteiro, onde a função não está definida.
  6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)pi/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
  7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:

    tan(x)=-tan(-x)

 

Função cotangente

Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1)pi onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:

f(x)=cot(x)= cos(x)


sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x 0 pi/4 pi/2 3 pi/4 pi 5pi/4 3pi/2 7pi/4 2pi
y não existe 1 0 -1 não existe 1 0 -1 não existe

 

Gráfico: O segmento Os’ mede cot(x).

Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de pi (ou –pi), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.

 

Propriedades

  1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma pi+kpi, onde k em Z, temos

    Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)pi}

  2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
  3. Periodicidade A função é periódica e seu período é pi

    Para todo x em R, sendo x diferente de pi+kpi, onde k em Z

    cot(x)=cot(x+pi)=cot(x+2pi)=…=cot(x+kpi)

    A função cotangente é periódica de período fundamental 2pi.

  4. Sinal:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função tangente positiva negativa positiva negativa
  5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=kpi, k inteiro, onde a função não está definida.
  6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kpi/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
  7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

    cot(x)=-cot(-x)

 

Função secante

Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1)pi/2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).

f(x)=sec(x)= 1


cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x 0 pi/4 pi/2 3 pi/4 pi 5pi/4 3pi/2 7pi/4 2pi
y 1 não existe -1 não existe 1

 

Gráfico: O segmento OV mede sec(x).

Quando x assume valores próximos de pi/2 ou de 3pi/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.

 

Propriedades

  1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma pi/2+kpi, onde k em Z, temos

    Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1)pi/2}

  2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) ³ 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:

    Im(sec)={y emR: y < -1 ou y ³ 1}

  3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 2pi

    Para todo x em R, sendo x diferente de pi+kpi, onde k em Z

    sec(x)=sec(x+2pi)=sec(x+4pi)=…=sec(x+2kpi),

    por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2pi, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

  4. Sinal:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função secante positiva negativa negativa positiva
  5. Monotonicidade:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função secante crescente crescente decrescente decrescente
  6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)pi/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
  7. Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:

    sec(x)=sec(-x)

 

Função cossecante

Como a cossecante não existe para arcos da forma kpi onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)

f(x)=csc(x)= 1


sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2pi].

x 0 pi/4 pi/2 3 pi/4 pi 5pi/4 3pi/2 7pi/4 2pi
y não existe 1 não existe -1 não existe

 

Gráfico: O segmento OU mede csc(x).

 

Quando x assume valores próximos de 0, pi ou de 2pi, sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.

 

Propriedades

  1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma kpi, onde k em Z, temos

    Dom(csc)={x em R: x diferente de kpi}

  2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:

    Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}

  3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2pi

    Para todo x em R, sendo x diferente de kpi, onde k em Z

    csc(x)=csc(x+pi)=csc(x+2pi)=…=csc(x+kpi)

    por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2pi, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

  4. Sinal:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função cossecante positiva positiva negativa negativa
  5. Monotonicidade:
    Intervalo [0,pi/2] [pi/2,pi] [pi,3pi/2] [3pi/2,2pi]
    Função cossecante decrescente crescente crescente decrescente
  6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kpi, a função cresce (ou decresce) sem controle.
  7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:

    csc(x)=-csc(-x)


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Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré
Trigonometria
Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade
Trigonometria: Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade
  • Arcos: duplo,triplo e metade
  • Fórmulas de arco duplo
  • Fórmulas de arco triplo
  • Fórmulas de arco metade

 

Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade

Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas relações trigonométriuca para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.

 

Fórmulas de arco duplo

Como

sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b)

 

dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos:

tan(a+b)= sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)


cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

 

Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:

tan(a+b)= tan(a)+tan(b)


1-tan(a)tan(b)

Tomando b=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo:

sen(2a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)=2sen(a)cos(a)
cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)=cos²(a)-sin²(a)

 

de onde segue que

tan(2a)= tan(a)+tan(a)


1-tan(a)tan(a)

= 2tan(a)


1-tan²(a)

 

Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
        = cos²(a) - (1-cos²(a)
        = 2 cos²(a) - 1

Substituindo cos²(a)=1-sin²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
        = 1 - sin²(a) - sin²(a))
        = 1 - 2sin²(a)

 

Fórmulas de arco triplo

Se b=2a em sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b), então

sen(3a)= sen(a+2a)
       = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a)
       = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a)
       = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a))
       = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)]
       = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a))
       = 3 sen(a) - 4 sin³(a)

Se b=2a em cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b), então

cos(3a)= cos(a+2a)
       = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a)
       = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)]
       = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a)
       = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))]
       = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)]
       = cos(a)[4cos²(a)-3]
       = 4 cos³(a) - 3 cos(a)

As fórmulas do arco triplo são

sen(3a) = 3sen(a)-4sin³(a)
cos(3a) = 4cos³(3a)-3cos(a)

 

Fórmulas de arco metade

Partindo das fórmulas do arco duplo

cos(2a) = 2cos²(a) – 1
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)

e substituindo 2a=c, obtemos:

cos(c) = 2cos²(c/2) – 1
cos(c) = 1 – 2sin²(c/2)

Assim

sen²(c/2)= 1-cos(c)


2

 

cos²(c/2)= 1+cos(c)


2

Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por:

tan²(c/2)= 1-cos(c)


1+cos(c)

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.


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Trigonometria
Cotangente, Secante e Cossecante
Trigonometria: Cotangente, Secante e Cossecante
  • Cotangente
  • Ângulos no segundo quadrante
  • Ângulos no terceiro quadrante
  • Ângulos no quarto quadrante
  • Secante e cossecante
  • Propried.: secante e cossecante
  • Relações trigonométricas
  • Alguns ângulos notáveis

 

Cotangente

Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B=(0,1). Esta reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto S=(s’,1). A abscissa s’ deste ponto, é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações

cot(AM) = cot(a) = cot(a+2kpi) = µ(BS) = s’

Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo:

BS


OB

= ON


MN

Como a circunferência é unitária |OB|=1

cot(a)= cos(a)


sen(a)

que é equivalente a

cot(a)= 1


tan(a)

A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva.

Quando a=0, a cotangente não existe, pois as retas s e OM são paralelas.

 

Ângulos no segundo quadrante

Se o ponto M está no segundo quadrante, de modo que o ângulo pertence ao intervalo pi/2<a<pi, então a cotangente de a é negativa. Quando a=pi/2, tem-se que cot(pi/2)=0.

 

Ângulos no terceiro quadrante

Se o ponto M está no terceiro quadrante, o ângulo está no intervalo pi<a<3pi/2 e nesse caso, a cotangente é positiva. Quando a=pi, a cotangente não existe, as retas que passam por OM e BS são paralelas.

 

Ângulos no quarto quadrante

Se o ponto M está no quarto quadrante, o ângulo a pertence ao intervalo 3pi/2<a<2pi, assim a cotangente de a é negativa. Se a=3pi/2, cot(3pi/2)=0.

 

Secante e cossecante

Seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M=(x’,y’). Esta reta é perpendicular à reta que contém o segmento OM. A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:

sec(AM) = sec(a) = sec(a+2kpi) = µ(OV) = v

A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações

csc(AM) = csc(a) = csc(a+2kpi) = µ(OU) = u

Os triângulos OMV e Ox’M são semelhantes, deste modo,

OV


OM

= OM


Ox’

que pode ser escrito como

sec(a)= 1


cos(a)

se cos(a) é diferente de zero.

Os triângulos OMU e Ox’M são semelhantes, logo:

OU


OM

= OM


x’M

que pode ser escrito como

csc(a)= 1


sen(a)

desde que sen(a) seja diferente de zero.

 

Algumas propriedades da secante e da cossecante

Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, podemos constatar as seguintes propriedades.

  1. Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da circunferência é sempre maior ou igual à medida do raio unitário. Daí segue que:

    sec(a)<-1 ou sec(a)>1
    csc(a)<-1 ou csc(a)>1

  2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.
  3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.
  4. Não existe a secante de ângulos da forma a=pi/2+kpi, onde k é um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é zero.
  5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a=kpi, onde k é um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero.

 

Relações trigonométricas com secante e cossecante

Valem as seguintes relações trigonométricas

sec²(a) = 1 + tan²(a)
csc²(a) = 1 + cot²(a)

Estas fórmulas são justificadas como segue

1+tan²(a)=1+ sen²(a)


cos²(a)

= 1


cos²(a)

=sec²(a)

 

1+cot²(a)=1+ cos²(a)


sen²(a)

= 1


sen²(a)

=csc²(a)

 

Alguns ângulos notáveis

arco sen(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x)
0 0 1 0 não existe 1 não existe
pi/6 30º ½ ½ 2 2
pi/4 45º ½ ½ 1 1
pi/3 60º ½ ½ 2 2
pi/2 90º 1 0 não existe 0 não existe 1
2pi/3 120º ½ -2 2
3pi/4 135º ½ -1 -1
5pi/6 150º ½ -2 2
pi 180º 0 -1 0 não existe -1 não existe
7pi/6 210º -2 -2
5pi/4 225º 1 1
4pi/3 240º -2 -2
3pi/2 270º -1 0 não existe 0 não existe -1
5pi/3 300º ½ 2 -2
7pi/4 315º ½ -1 -1
11pi/6 330º ½ 2 -2
2pi 360º 0 1 0 não existe 1 não existe

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Trigonometria
O círculo trigonométrico
Trigonometria: O círculo trigonométrico
  • Círculo trigonométrico
  • Arcos com mais de uma volta
  • Arcos côngruos e ângulos
  • Arcos simétricos: eixo OX
  • Arcos simétricos: eixo OY
  • Arcos simétricos: origem

 

Círculo Trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico

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Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.

Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:

2o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: positiva
90º<ângulo<180º
1o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: positiva
0º<ângulo<90º
3o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: negativa
180º<ângulo<270º
4o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: negativa
270º<ângulo<360º

Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.

 

Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação.

Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M.

Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.

Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas

m, m+2pi, m+4pi, m+6pi, …

Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas

m-2pi, m-4pi, m-6pi, …

e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.

Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:

µ(AM) = m + 2kpi

onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={…,-2,-3,-1,0,1,2,3,…}.

 

Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.

Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2pi/3, então os arcos desta família {AM}, medem:

Determinações positivas (sentido anti-horário)
k=0 µ(AM)=2pi/3
k=1 µ(AM)=2pi/3+2pi=8pi/3
k=2 µ(AM)=2pi/3+4pi=14pi/3
k=3 µ(AM)=2pi/3+6pi=20pi/3
k=n µ(AM)=2pi/3+2npi=(2+6n)pi/3

 

Determinações negativas (sentido horário)
k=-1 µ(AM)=2pi/3-2pi=-4pi/3
k=-2 µ(AM)=2pi/3-4pi=-6pi/3
k=-3 µ(AM)=2pi/3-6pi=-16pi/3
k=-4 µ(AM)=2pi/3-8pi=-22pi/3
k=-n µ(AM)=2pi/3-2npi=(2-6n)pi/3

 

Arcos côngruos e Ângulos

Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2pi.

Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.

 

Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM.

Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2pi correspondente ao arco AM.

Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam para ângulos.

 

Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX

Sejam os arcos AM e AM’ na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M’ simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM’ é dada por: µ(AM’)=2pi-m.

Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2kpi+m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM’} têm medidas iguais a 2kpi-m, onde k é um número inteiro.

 

Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY

Sejam os arcos AM e AM’ na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M’ simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM’ será dada pela expressão µ(AM’)=pi-m.

Os arcos da família {AM’}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M’, medem 2kpi+pi-m=(2k+1)pi-m onde k é um número inteiro.

 

Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem

Sejam os arcos AM e AM’ na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M’ simétricos em relação a origem (0,0).

Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM’ é dada por: µ(AM’)=pi+m. Arcos genéricos com origem em A e extremidade em M’ medem:

µ(AM’) = 2k pi + pi + m = (2k+1)pi + m


Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto,
Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré