Como calcular seno, cosseno e tangente

Trigonometria Hiperbólica

Trigonometria: Trigonometria Hiperbólica
Funções exponenciais reais Cosseno e Seno hiperbólico Tgh,Coth,Sech e Cossech Relação fundamental	Porque trigonometria hiperbólica? Trigon. circular × hiperbólica Funções inversas Integrais difíceis e Aplicações

 

Funções exponenciais reais

A função exponencial é uma das mais importantes da Matemática. Esta função é definida por f:RR através de

f(t) = exp(t) = e^t

No plano R², podemos obter a reflexão do gráfico desta função em relação ao eixo OY, que nos dá outra função exponencial g:RR definida por

g(t) = exp(-t) = e^-t

Os gráficos destas funções podem ser vistos abaixo.

Observamos que tais funções são positivas. f(t)=e^t (cor vermelha) é crescente e g(t)=e^-t (cor azul) é decrescente.

Com estas funções, definimos outras funções da Matemática bastante utilizadas nas ciências em geral, inclusive na própria Matemática.

 

Cosseno hiperbólico e Seno hiperbólico

As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, são definidas, respectivamente, por:

A função cosh é positiva, enquanto que senh é positiva para parâmetros positivos reais, negativos para parâmetros negativos reais e se anula em t=0.

Com estas duas funções cosh (cor vermelha) e senh (cor azul), também podemos definir outras funções da Matemática.

 

Aplicação: Ao observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso do mesmo faz com que ele fique meio arredondado, dando a impressão que o gráfico formado pela curva representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a catenária (do Latim catena=cadeia) pois foi através de uma corrente metálica formada por elos (cadeias) que se observou primeiramente tal curva.

 

Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante hiperbólicos

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, são respectivamente definidas por:

tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sech(t) = 1/cosh(t)
csch(t) = 1/senh(t)

quando os denominadores são diferentes de zero.

 

Relação fundamental da trigonometria hiperbólica

Ao tomar a diferença dos quadrados das funções cosh e senh, obtemos:

cosh²(t)-senh²(t)=[½(e^t+e^t)]²-[½(e^t+e^t)]²

efetuando as operações temos que

cosh²(t) – senh²(t) = 1

 

que é uma relação notável na Trigonometria hiperbólica.

 

Porque trigonometria hiperbólica?

A construção da trigonometria circular, é realizada sobre uma circunferência de raio unitário, dada por x²+y²=1. Tomando x=cos(t) e y=sen(t), observamos a relação fundamental da trigonometria circular:

cos²(t) + sen²(t) = 1

onde t é o ângulo (tomado em radianos).

Na construção da trigonometria hiperbólica, usamos uma curva denominada hipérbole, representada por x²-y²=1. Tomando x=cosh(t) e y=senh(t), observamos a relação fundamental da trigonometria hiperbólica:

cosh²(t) – senh²(t) = 1

onde t é um parâmetro real que pode ser interpretado geometricamente.

 

Trigonometria circular versus Trigonometria hiperbólica

Praticamente todas as propriedades da trigonometria circular podem ser transladadas para a trigonometria hiperbólica, com o cuidado de observar muitas vezes a troca do sinal de “+” pelo sinal de “-“.

Trigonometria circular	Trigonometria hiperbólica
x² + y² = 1	x² – y² = 1
cos²(t) + sen²(t) = 1	cosh²(t) – senh²(t) = 1
tg(t) = sen(t)/cos(t)	tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
cot(t) = cos(t)/sen(t)	coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sec(t) = 1/cos(t)	sech(t) = 1/cosh(t)
csc(t) = 1/sen(t)	csch(t) = 1/senh(t)
sen(2t)=2sen(t)cos(t)	senh(2t)=2senh(t)cosh(t)
cos(2t)=cos²(t)-sen²(t)	cosh(2t)=cosh²(t)+senh²(t)
tg(2t)=2tg(t)/(1-tg²(t))	tgh(2t)=2tgh(t)/(1+tgh²(t))

 

Para as derivadas, temos a tabela:

Trigonometria circular		Trigonometria hiperbólica
Função	Derivada	Função	Derivada
sen(t)	cos(t)	senh(t)	cosh(t)
cos(t)	-sen(t)	cosh(t)	senh(t)
tg(t)	sec²(t)	tgh(t)	sech²(t)

 

Funções inversas da trigonometria hiperbólica

É possível definir a função inversa de cosh, que será identificada por arccosh, assim como de todas as outras funções trigonométricas hiperbólicas. O procedimento é semelhante em todos os seis casos.

Se cosh(u)=t, obteremos o valor de u em função de t, denotando-o por qualquer uma das duas formas abaixo:

u = arccosh(t) = cosh^-1(t)

Pela definição dada na parte inicial desta página, segue que:

t = cosh(u) = ½(e^u + e^-u)

logo

2t = e^u + 1/e^u

Tomando e^u=x, obteremos 2t=x+1/x, ou seja, x²-2tx+1=0. Resolvendo esta equação do segundo grau em x e usando a notação R[z] para a raiz quadrada de z>0, obteremos:

e^u = x = t + R[t²-1]

Aplicando o logaritmo natural a ambos os membros dessa igualdade, obtemos:

u = log(t+R[t²-1])

Assim, a função inversa de cosh é a função definida por:

arccosh(t) = cosh^-1(t) = log(t + R[t²-1])

 

Integrais difíceis e Aplicações

Com a trigonometria circular

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho facilitado! A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria circular,

cos²(t) + sen²(t) = 1
cos²(t)-sen²(t)=cos(2t)

teremos

resolvendo o sistema:

C + S =
C – S = 0

obteremos,

C = S = /2

 

Aplicação: Já sabemos do Ensino Fundamental que a área do círculo envolvido pela circunferência x²+y²=r² é dado por A=r². Podemos obter tal resultado através de uma integral com uma substituição trigonométrica.

Explicitaremos y em função de x e consideraremos esta função no primeiro quadrante para obter para 0<x<r:

y(x) = R[r²-x²]

em que a notação R[z] representa a raiz quadrada de z>0.

A integral dessa função no intervalo [0,r] nos fornece a área A que corresponde à área da quarta parte do círculo.

Usando a mudança de variáveis x=rsen(t), dx=rcos(t)dt, obteremos:

 

Com a trigonometria hiperbólica

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho muito facilitado!

A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria hiperbólica,

cosh²(t) – senh²(t) = 1
cosh²(t)+senh²(t)=cosh(2t)

nos dá:

U – V = x
U + V = ½ senh(2x) = senh(x).cosh(x)

logo

U = ½(x+senh(x).cosh(x))
V = ½(-x+senh(x).cosh(x))

 

Aplicação: Obteremos a área da região do 1o. quadrante localizada sob a hipérbole x²-y²=1, acima do eixo OX e à esquerda da reta x=t.

Usaremos a integral com uma substituição trigonométrica hiperbólica. Inicialmente, explicitando o valor de y em função de x e consideraremos esta função no 1o. quadrante para obter, com 1<x<t:

y(t) = R[x²-1]

A integral dessa função no intervalo [1,t] nos fornece:

Com a mudança de variáveis x=cosh(v), dx=senh(v)dv teremos a integral indefinida:

I = integral(R[cosh²(v)-1] senh(v)dv)
  = integral(senh²(v))dv
  = ½[-v + senh(v).cosh(v)]

Voltando às variáveis originais, poderemos escrever:

I = ½ (-arccosh(x) + x R[x²-1])

Desse modo, a área desejada será dada por:

Área = ½(-arccosh(t) + t R[t²-1])

ou então,

Área = ½(-log(t + R[t²-1]) + t R[t²-1])

---

	Construída por Ulysses Sodré

Funções trigonométricas inversas

Trigonometria: Funções trigonométricas inversas
Funções trigonométricas inversas Função arco-seno Função arco-cosseno	Função arco-tangente Função arco-cotangente

 

Funções trigonométricas inversas

Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas.

 

Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2, x=4, x=-2, etc, isto é x=2k, onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.

Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem.

 

Função arco-seno

Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [-/2,/2] e imagem no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f^-1:[-1,1][-/2,/2] é denotada por

f^-1(x) = arcsen(x)

Gráfico da função arco-seno:

 

Função arco-cosseno

Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0,] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo cosseno é definida por g^-1:[-1,1][0,] e denotada por

g^-1(x) = arccos(x)

Gráfico da função arco-cosseno:

 

Função arco-tangente

Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (-/2,/2) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por f^-1:R(-/2,/2) e denotada por

f^-1(x) = arctan(x)

Gráfico da função arco-tangente:

 

Função arco-cotangente

Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0,) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente é definida por f^-1:R(0,) e denotada por

f^-1(x) = arccot(x)

Gráfico da função arco-cotangente:

---

	Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré

Funções trigonométricas circulares

Trigonometria: Funções trigonométricas circulares
Funções circulares Funções reais Funções crescentes e decrescentes Funções pares e ímpares Função seno e propriedades	Função cosseno e propriedades Função tangente e propriedades Função cotangente e propriedades Função secante e propriedades Função cossecante e propriedades

 

Funções circulares

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

 

Funções reais

Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.

Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).

O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.

Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.

 

Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale

f(x+T) = f(x)

Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.

Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.

 

Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:

-L < f(x) < L

Esta última expressão pode ser escrita como |f(x)|<L.

 

Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois

-1 < x/(1+x²) < 1

 

Funções crescentes e decrescentes

Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f(x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y).

Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e^-x é decrescente.

 

Funções pares e ímpares

1. Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:

   f(-x) = f(x)

   Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.

   Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.

2. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:

   f(-x) = -f(x)

   Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.

   Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.

 

Função seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	0	½	1	½	0	-½	-1	-½	0

Gráfico: Na figura, o segmento Oy’ que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

 

Propriedades da função seno

1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:

   sen(x) = sen(x+2) = sen(x+4) =…= sen(x+2k)

   Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos

   sen(x+2k) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )

   para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0

   sen(x+2k) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)

   A função seno é periódica de período fundamental T=2.

   Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função seno	positiva	positiva	negativa	negativa

5. Monotonicidade:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função seno	crescente	decrescente	decrescente	crescente

6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

   -1 < sen(x) < 1

7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

   sen(-x) = -sen(x)

 

Função cosseno

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	1	½	0	½	-1	-½	0	½	1

Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.

 

Propriedades da função cosseno

1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:

   cos(x)=cos(x+2)=cos(x+4)=…=cos(x+2k)

   Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos

   cos(x+2k)=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )

   Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k)=0, então

   cos(x+2k)=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)

   A função cosseno é periódica de período fundamental T=2.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cosseno	positiva	negativa	negativa	positiva

5. Monotonicidade:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cosseno	decrescente	decrescente	crescente	crescente

6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

   -1 < cos(x) < 1

7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:

   cos(-x) = cos(x)

 

Função tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).

f(x) = tan(x) =	sen(x) cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	0	1	não existe	-1	0	1	não existe	-1	0

 

Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).

Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de –/2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.

 

Propriedades

1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos

   Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k}

2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é

   Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k, onde k pertence a Z

   tan(x)=tan(x+)=tan(x+2)=…=tan(x+k)

   Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos

   tan(x+k) =	tan(x)+tan(k) 1-tan(x).tan(k)	=	tan(x)+0 1-tan(x).0	= tan(x)

   A função tangente é periódica de período fundamental T=.

   Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função tangente	positiva	negativa	positiva	negativa

5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k/2, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:

   tan(x)=-tan(-x)

 

Função cotangente

Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:

f(x)=cot(x)=	cos(x) sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	não existe	1	0	-1	não existe	1	0	-1	não existe

 

Gráfico: O segmento Os’ mede cot(x).

Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou –), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito radamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.

 

Propriedades

1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k, onde k em Z, temos

   Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)}

2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é

   Para todo x em R, sendo x diferente de +k, onde k em Z

   cot(x)=cot(x+)=cot(x+2)=…=cot(x+k)

   A função cotangente é periódica de período fundamental 2.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função tangente	positiva	negativa	positiva	negativa

5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

   cot(x)=-cot(-x)

 

Função secante

Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1)/2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).

f(x)=sec(x)=	1 cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	1		não existe	–	-1	–	não existe		1

 

Gráfico: O segmento OV mede sec(x).

Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.

 

Propriedades

1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos

   Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1)/2}

2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) ³ 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:

   Im(sec)={y emR: y < -1 ou y ³ 1}

3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 2

   Para todo x em R, sendo x diferente de +k, onde k em Z

   sec(x)=sec(x+2)=sec(x+4)=…=sec(x+2k),

   por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função secante	positiva	negativa	negativa	positiva

5. Monotonicidade:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função secante	crescente	crescente	decrescente	decrescente

6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:

   sec(x)=sec(-x)

 

Função cossecante

Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)

f(x)=csc(x)=	1 sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	não existe		1		não existe	–	-1	–	não existe

 

Gráfico: O segmento OU mede csc(x).

 

Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2, sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.

 

Propriedades

1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k, onde k em Z, temos

   Dom(csc)={x em R: x diferente de k}

2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:

   Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}

3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2

   Para todo x em R, sendo x diferente de k, onde k em Z

   csc(x)=csc(x+)=csc(x+2)=…=csc(x+k)

   por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cossecante	positiva	positiva	negativa	negativa

5. Monotonicidade:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cossecante	decrescente	crescente	crescente	decrescente

6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:

   csc(x)=-csc(-x)

---

	Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré

Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade

Trigonometria: Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade
Arcos: duplo,triplo e metade Fórmulas de arco duplo	Fórmulas de arco triplo Fórmulas de arco metade

 

Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade

Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas relações trigonométriuca para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.

 

Fórmulas de arco duplo

Como

sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b)

 

dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos:

tan(a+b)=	sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

 

Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:

tan(a+b)=	tan(a)+tan(b) 1-tan(a)tan(b)

Tomando b=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo:

sen(2a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)=2sen(a)cos(a)
cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)=cos²(a)-sin²(a)

 

de onde segue que

tan(2a)=	tan(a)+tan(a) 1-tan(a)tan(a)	=	2tan(a) 1-tan²(a)

 

Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
        = cos²(a) - (1-cos²(a)
        = 2 cos²(a) - 1

Substituindo cos²(a)=1-sin²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
        = 1 - sin²(a) - sin²(a))
        = 1 - 2sin²(a)

 

Fórmulas de arco triplo

Se b=2a em sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b), então

sen(3a)= sen(a+2a)
       = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a)
       = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a)
       = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a))
       = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)]
       = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a))
       = 3 sen(a) - 4 sin³(a)

Se b=2a em cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b), então

cos(3a)= cos(a+2a)
       = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a)
       = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)]
       = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a)
       = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))]
       = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)]
       = cos(a)[4cos²(a)-3]
       = 4 cos³(a) - 3 cos(a)

As fórmulas do arco triplo são

sen(3a) = 3sen(a)-4sin³(a)
cos(3a) = 4cos³(3a)-3cos(a)

 

Fórmulas de arco metade

Partindo das fórmulas do arco duplo

cos(2a) = 2cos²(a) – 1
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)

e substituindo 2a=c, obtemos:

cos(c) = 2cos²(c/2) – 1
cos(c) = 1 – 2sin²(c/2)

Assim

sen²(c/2)=	1-cos(c) 2

 

cos²(c/2)=	1+cos(c) 2

Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por:

tan²(c/2)=	1-cos(c) 1+cos(c)

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.

---

	Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré

Cotangente, Secante e Cossecante

Trigonometria: Cotangente, Secante e Cossecante
Cotangente Ângulos no segundo quadrante Ângulos no terceiro quadrante Ângulos no quarto quadrante	Secante e cossecante Propried.: secante e cossecante Relações trigonométricas Alguns ângulos notáveis

 

Cotangente

Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B=(0,1). Esta reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto S=(s’,1). A abscissa s’ deste ponto, é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações

cot(AM) = cot(a) = cot(a+2k) = µ(BS) = s’

Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo:

BS OB	=	ON MN

Como a circunferência é unitária |OB|=1

cot(a)=	cos(a) sen(a)

que é equivalente a

cot(a)=	1 tan(a)

A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva.

Quando a=0, a cotangente não existe, pois as retas s e OM são paralelas.

 

Ângulos no segundo quadrante

Se o ponto M está no segundo quadrante, de modo que o ângulo pertence ao intervalo /2<a<, então a cotangente de a é negativa. Quando a=/2, tem-se que cot(/2)=0.

 

Ângulos no terceiro quadrante

Se o ponto M está no terceiro quadrante, o ângulo está no intervalo <a<3/2 e nesse caso, a cotangente é positiva. Quando a=, a cotangente não existe, as retas que passam por OM e BS são paralelas.

 

Ângulos no quarto quadrante

Se o ponto M está no quarto quadrante, o ângulo a pertence ao intervalo 3/2<a<2, assim a cotangente de a é negativa. Se a=3/2, cot(3/2)=0.

 

Secante e cossecante

Seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M=(x’,y’). Esta reta é perpendicular à reta que contém o segmento OM. A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:

sec(AM) = sec(a) = sec(a+2k) = µ(OV) = v

A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações

csc(AM) = csc(a) = csc(a+2k) = µ(OU) = u

Os triângulos OMV e Ox’M são semelhantes, deste modo,

OV OM	=	OM Ox’

que pode ser escrito como

sec(a)=	1 cos(a)

se cos(a) é diferente de zero.

Os triângulos OMU e Ox’M são semelhantes, logo:

OU OM	=	OM x’M

que pode ser escrito como

csc(a)=	1 sen(a)

desde que sen(a) seja diferente de zero.

 

Algumas propriedades da secante e da cossecante

Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, podemos constatar as seguintes propriedades.

1. Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da circunferência é sempre maior ou igual à medida do raio unitário. Daí segue que:

   sec(a)<-1 ou sec(a)>1
   csc(a)<-1 ou csc(a)>1

2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.
3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.
4. Não existe a secante de ângulos da forma a=/2+k, onde k é um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é zero.
5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a=k, onde k é um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero.

 

Relações trigonométricas com secante e cossecante

Valem as seguintes relações trigonométricas

sec²(a) = 1 + tan²(a)
csc²(a) = 1 + cot²(a)

Estas fórmulas são justificadas como segue

1+tan²(a)=1+	sen²(a) cos²(a)	=	1 cos²(a)	=sec²(a)

 

1+cot²(a)=1+	cos²(a) sen²(a)	=	1 sen²(a)	=csc²(a)

 

Alguns ângulos notáveis

arco	xº	sen(x)	cos(x)	tan(x)	cot(x)	sec(x)	csc(x)
0	0º	0	1	0	não existe	1	não existe
/6	30º	½	½			2	2
/4	45º	½	½	1	1
/3	60º	½	½			2	2
/2	90º	1	0	não existe	0	não existe	1
2/3	120º	½	-½	–	–	-2	2
3/4	135º	½	-½	-1	-1	–
5/6	150º	½	-½	–	–	-2	2
	180º	0	-1	0	não existe	-1	não existe
7/6	210º	-½	-½			-2	-2
5/4	225º	-½	-½	1	1	–	–
4/3	240º	-½	-½			-2	-2
3/2	270º	-1	0	não existe	0	não existe	-1
5/3	300º	-½	½	–	–	2	-2
7/4	315º	-½	½	-1	-1		–
11/6	330º	-½	½	–	–	2	-2
2	360º	0	1	0	não existe	1	não existe

---

	Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré

O círculo trigonométrico

Trigonometria: O círculo trigonométrico
Círculo trigonométrico Arcos com mais de uma volta Arcos côngruos e ângulos	Arcos simétricos: eixo OX Arcos simétricos: eixo OY Arcos simétricos: origem

 

Círculo Trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico

.

Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.

Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:

2o. quadrante abscissa: negativa ordenada: positiva 90º<ângulo<180º		1o. quadrante abscissa: positiva ordenada: positiva 0º<ângulo<90º
3o. quadrante abscissa: negativa ordenada: negativa 180º<ângulo<270º		4o. quadrante abscissa: positiva ordenada: negativa 270º<ângulo<360º

Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.

 

Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação.

Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M.

Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.

Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas

m, m+2, m+4, m+6, …

Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas

m-2, m-4, m-6, …

e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.

Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:

µ(AM) = m + 2k

onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={…,-2,-3,-1,0,1,2,3,…}.

 

Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.

Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2/3, então os arcos desta família {AM}, medem:

Determinações positivas (sentido anti-horário)
k=0	µ(AM)=2/3
k=1	µ(AM)=2/3+2=8/3
k=2	µ(AM)=2/3+4=14/3
k=3	µ(AM)=2/3+6=20/3
…	…
k=n	µ(AM)=2/3+2n=(2+6n)/3

 

Determinações negativas (sentido horário)
k=-1	µ(AM)=2/3-2=-4/3
k=-2	µ(AM)=2/3-4=-6/3
k=-3	µ(AM)=2/3-6=-16/3
k=-4	µ(AM)=2/3-8=-22/3
…	…
k=-n	µ(AM)=2/3-2n=(2-6n)/3

 

Arcos côngruos e Ângulos

Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2.

Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.

 

Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM.

Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2 correspondente ao arco AM.

Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam para ângulos.

 

Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX

Sejam os arcos AM e AM’ na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M’ simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM’ é dada por: µ(AM’)=2-m.

Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2k+m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM’} têm medidas iguais a 2k-m, onde k é um número inteiro.

 

Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY

Sejam os arcos AM e AM’ na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M’ simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM’ será dada pela expressão µ(AM’)=-m.

Os arcos da família {AM’}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M’, medem 2k+-m=(2k+1)-m onde k é um número inteiro.

 

Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem

Sejam os arcos AM e AM’ na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M’ simétricos em relação a origem (0,0).

Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM’ é dada por: µ(AM’)=+m. Arcos genéricos com origem em A e extremidade em M’ medem:

µ(AM’) = 2k + + m = (2k+1) + m

---

	Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré