Elementos gerais sobre Trigonometria

Trigonometria: Elementos gerais sobre Trigonometria
O papel da trigonometria Ponto móvel sobre uma curva Arcos da circunferência Medida de um arco	O número pi Unidades de medida de arcos Arcos de uma volta Mudança de unidades

 

O papel da trigonometria

A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).

Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.

 

Ponto móvel sobre uma curva

Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.

Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.

 

Arcos da circunferência

Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.

Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.

 

Medida de um arco

A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.

Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).

A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.

 

O número pi

Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:

= 3,1415926535897932384626433832795…

Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.

 

Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.

 

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,

m(AB)=	comprimento do arco(AB) comprimento do raio	=	12 8

Portanto m(AB)=1,5 radianos

 

Arcos de uma volta

Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2r, então:

m(AB)=	comprimento do arco(AB) comprimento do raio	=	2r r	=	2

Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,

2 rad=360 graus

Podemos estabelecer os resultados seguintes

Desenho
Grau	90	180	270	360
Grado	100	200	300	400
Radiano	/2		3/2	2

0 graus = 0 grado = 0 radianos

 

Mudança de unidades

Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,

2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus

Assim, temos a igualdade R/2=G/360, ou ainda,

R	=	G 180

Exemplos

1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos
   

   R	=	60 180

   Assim R=/3 ou 60 graus=/3 rad

2. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:
   

   1	=	G 180

   Asim 1 rad=180/ graus.

Você pode obter mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página sobre Geometria Plana: Ângulos

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	Construída por Anderson L.G. Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré

Trigonometria do Triângulo Retângulo

Trigonometria: Trigonometria do Triângulo Retângulo
Trigonometria e aplicações Triângulo Retângulo Lados de um triângulo retângulo Nomenclatura dos catetos Propr. do triângulo retângulo	A hipotenusa (base) do triângulo Projeções de segmentos Projeções no triângulo retângulo Relações Métricas Funções trigonométricas básicas

 

Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Algumas aplicações da trigonometria são:

• Determinação da altura de um certo prédio.

  

• Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
• Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
• Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
• Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

 

Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Para ver mais detalhes sobre triângulos clique aqui.

 

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

 

Termo	Origem da palavra
Cateto	Cathetós: (perpendicular)
Hipotenusa	Hypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

 

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

 

Letra	Lado	Triângulo	Vértice = Ângulo	Medida
a	Hipotenusa		A = Ângulo reto	A=90°
b	Cateto		B = Ângulo agudo	B<90°
c	Cateto		C = Ângulo agudo	C<90°

 

Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.

 

Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

 

Ângulo	Lado oposto	Lado adjacente
C	c cateto oposto	b cateto adjacente
B	b cateto oposto	c cateto adjacente

 

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

 

Propriedades do triângulo retângulo

1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

   

 

A hipotenusa como base de um triângulo retângulo

Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

 

Projeções de segmentos

Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A’B’, sendo que no último caso A’=B’ é um ponto.

Projeções no triângulo retângulo

Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m+n.
4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.

 

Relações Métricas no triângulo retângulo

Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Triângulo	hipotenusa	cateto maior	cateto menor
ABC	a	b	c
ADC	b	n	h
ADB	c	h	m

Assim:

a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m

logo:

a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n

 

Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²

que resulta no Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

 

Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.

 

Função	Notação	Definição
seno	sen(x)	medida do cateto oposto a x medida da hipotenusa
cosseno	cos(x)	medida do cateto adjacente a x medida da hipotenusa
tangente	tan(x)	medida do cateto oposto a x medida do cateto adjacente a x

 

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.

 

sen(x)= CO H = CO 1 cos(x)= CA H = CA 1 tan(x)= CO CA = sen(x) cos(x)

 

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:

cos²(x) + sen²(x) = 1

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	Construída por Cristiano A.Santos, Leonidas Marchesini Jr. e Ulysses Sodré