Cotangente, Secante e Cossecante
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Cotangente
Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B=(0,1). Esta reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto S=(s’,1). A abscissa s’ deste ponto, é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações
cot(AM) = cot(a) = cot(a+2k) = µ(BS) = s’
Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo:
BS
OB |
= | ON
MN |
---|
Como a circunferência é unitária |OB|=1
cot(a)= | cos(a)
sen(a) |
---|
que é equivalente a
cot(a)= | 1
tan(a) |
---|
A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva.
Quando a=0, a cotangente não existe, pois as retas s e OM são paralelas.
Ângulos no segundo quadrante
Se o ponto M está no segundo quadrante, de modo que o ângulo pertence ao intervalo /2<a<, então a cotangente de a é negativa. Quando a=/2, tem-se que cot(/2)=0.
Ângulos no terceiro quadrante
Se o ponto M está no terceiro quadrante, o ângulo está no intervalo <a<3/2 e nesse caso, a cotangente é positiva. Quando a=, a cotangente não existe, as retas que passam por OM e BS são paralelas.
Ângulos no quarto quadrante
Se o ponto M está no quarto quadrante, o ângulo a pertence ao intervalo 3/2<a<2, assim a cotangente de a é negativa. Se a=3/2, cot(3/2)=0.
Secante e cossecante
Seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M=(x’,y’). Esta reta é perpendicular à reta que contém o segmento OM. A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
sec(AM) = sec(a) = sec(a+2k) = µ(OV) = v
A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações
csc(AM) = csc(a) = csc(a+2k) = µ(OU) = u
Os triângulos OMV e Ox’M são semelhantes, deste modo,
OV
OM |
= | OM
Ox’ |
---|
que pode ser escrito como
sec(a)= | 1
cos(a) |
---|
se cos(a) é diferente de zero.
Os triângulos OMU e Ox’M são semelhantes, logo:
OU
OM |
= | OM
x’M |
---|
que pode ser escrito como
csc(a)= | 1
sen(a) |
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desde que sen(a) seja diferente de zero.
Algumas propriedades da secante e da cossecante
Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, podemos constatar as seguintes propriedades.
- Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da circunferência é sempre maior ou igual à medida do raio unitário. Daí segue que:
sec(a)<-1 ou sec(a)>1
csc(a)<-1 ou csc(a)>1 - O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.
- O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.
- Não existe a secante de ângulos da forma a=/2+k, onde k é um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é zero.
- Não existe a cossecante de ângulos da forma a=k, onde k é um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero.
Relações trigonométricas com secante e cossecante
Valem as seguintes relações trigonométricas
sec²(a) = 1 + tan²(a)
csc²(a) = 1 + cot²(a)
Estas fórmulas são justificadas como segue
1+tan²(a)=1+ | sen²(a)
cos²(a) |
= | 1
cos²(a) |
=sec²(a) |
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1+cot²(a)=1+ | cos²(a)
sen²(a) |
= | 1
sen²(a) |
=csc²(a) |
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Alguns ângulos notáveis
arco | xº | sen(x) | cos(x) | tan(x) | cot(x) | sec(x) | csc(x) |
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0 | 0º | 0 | 1 | 0 | não existe | 1 | não existe |
/6 | 30º | ½ | ½ | 2 | 2 | ||
/4 | 45º | ½ | ½ | 1 | 1 | ||
/3 | 60º | ½ | ½ | 2 | 2 | ||
/2 | 90º | 1 | 0 | não existe | 0 | não existe | 1 |
2/3 | 120º | ½ | -½ | – | – | -2 | 2 |
3/4 | 135º | ½ | -½ | -1 | -1 | – | |
5/6 | 150º | ½ | -½ | – | – | -2 | 2 |
180º | 0 | -1 | 0 | não existe | -1 | não existe | |
7/6 | 210º | -½ | -½ | -2 | -2 | ||
5/4 | 225º | -½ | -½ | 1 | 1 | – | – |
4/3 | 240º | -½ | -½ | -2 | -2 | ||
3/2 | 270º | -1 | 0 | não existe | 0 | não existe | -1 |
5/3 | 300º | -½ | ½ | – | – | 2 | -2 |
7/4 | 315º | -½ | ½ | -1 | -1 | – | |
11/6 | 330º | -½ | ½ | – | – | 2 | -2 |
2 | 360º | 0 | 1 | 0 | não existe | 1 | não existe |
Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré |
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