Cotangente, Secante e Cossecante

Cotangente

Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B=(0,1). Esta reta é perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto S=(s’,1). A abscissa s’ deste ponto, é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações

cot(AM) = cot(a) = cot(a+2k) = µ(BS) = s’

Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo:

Como a circunferência é unitária |OB|=1

que é equivalente a

A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva.

Quando a=0, a cotangente não existe, pois as retas s e OM são paralelas.

Ângulos no segundo quadrante

Se o ponto M está no segundo quadrante, de modo que o ângulo pertence ao intervalo /2<a<, então a cotangente de a é negativa. Quando a=/2, tem-se que cot(/2)=0.

Ângulos no terceiro quadrante

Se o ponto M está no terceiro quadrante, o ângulo está no intervalo <a<3/2 e nesse caso, a cotangente é positiva. Quando a=, a cotangente não existe, as retas que passam por OM e BS são paralelas.

Ângulos no quarto quadrante

Se o ponto M está no quarto quadrante, o ângulo a pertence ao intervalo 3/2<a<2, assim a cotangente de a é negativa. Se a=3/2, cot(3/2)=0.

Secante e cossecante

Seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M=(x’,y’). Esta reta é perpendicular à reta que contém o segmento OM. A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:

sec(AM) = sec(a) = sec(a+2k) = µ(OV) = v

A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações

csc(AM) = csc(a) = csc(a+2k) = µ(OU) = u

Os triângulos OMV e Ox’M são semelhantes, deste modo,

que pode ser escrito como

se cos(a) é diferente de zero.

Os triângulos OMU e Ox’M são semelhantes, logo:

que pode ser escrito como

desde que sen(a) seja diferente de zero.

Algumas propriedades da secante e da cossecante

Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, podemos constatar as seguintes propriedades.

1. Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da circunferência é sempre maior ou igual à medida do raio unitário. Daí segue que:

   sec(a)<-1 ou sec(a)>1
   csc(a)<-1 ou csc(a)>1

2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.
3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.
4. Não existe a secante de ângulos da forma a=/2+k, onde k é um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é zero.
5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a=k, onde k é um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero.

Relações trigonométricas com secante e cossecante

Valem as seguintes relações trigonométricas

sec²(a) = 1 + tan²(a)
csc²(a) = 1 + cot²(a)

Estas fórmulas são justificadas como segue

Alguns ângulos notáveis

arco	xº	sen(x)	cos(x)	tan(x)	cot(x)	sec(x)	csc(x)
0	0º	0	1	0	não existe	1	não existe
/6	30º	½	½			2	2
/4	45º	½	½	1	1
/3	60º	½	½			2	2
/2	90º	1	0	não existe	0	não existe	1
2/3	120º	½	-½	–	–	-2	2
3/4	135º	½	-½	-1	-1	–
5/6	150º	½	-½	–	–	-2	2
	180º	0	-1	0	não existe	-1	não existe
7/6	210º	-½	-½			-2	-2
5/4	225º	-½	-½	1	1	–	–
4/3	240º	-½	-½			-2	-2
3/2	270º	-1	0	não existe	0	não existe	-1
5/3	300º	-½	½	–	–	2	-2
7/4	315º	-½	½	-1	-1		–
11/6	330º	-½	½	–	–	2	-2
2	360º	0	1	0	não existe	1	não existe