Divisão Proporcional
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Divisão em duas partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas
| A
p |
= | B
q |
|---|
A solução segue das propriedades das proporções:
| A
p |
= | B
q |
= | A+B
p+q |
= | M
p+q |
= K |
|---|
O valor de K é que proporciona a solução pois:
A = K p e B = K q
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:
| A
2 |
= | B
3 |
= | A+B
5 |
= | 100
5 |
= 20 |
|---|
Segue que A=40 e B=60.
Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:
| A
8 |
= | B
3 |
= | A-B
5 |
= | 60
5 |
=12 |
|---|
Segue que A=96 e B=36.
Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a p1, p2, …, pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+…+Xn=M e p1+p2+…+pn=P.
| X1
p1 |
= | X2
p2 |
= … = | Xn
pn |
|---|
A solução segue das propriedades das proporções:
| X1
p1 |
= | X2
p2 |
=…= | Xn
pn |
= | X1+X2+…+Xn
p1+p2+…+pn |
= | M
P |
= K |
|---|
Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:
| A
2 |
= | B
4 |
= | C
6 |
= | A+B+C
P |
= | 120
12 |
=10 |
|---|
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.
A solução segue das propriedades das proporções:
| A
2 |
= | B
4 |
= | C
6 |
= | 2A+3B-4C
2×2+3×4-4×6 |
= | 120
-8 |
= – 15 |
|---|
logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! 🙂
Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:
| A
1/p |
= | B
1/q |
= | A+B
1/p+1/q |
= | M
1/p+1/q |
= | M.p.q
p+q |
= K |
|---|
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.
Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:
| A
1/2 |
= | B
1/3 |
= | A+B
1/2+1/3 |
= | 120
5/6 |
= | 120.2.3
5 |
= 144 |
|---|
Assim A=72 e B=48.
Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:
| A
1/6 |
= | B
1/8 |
= | A-B
1/6-1/8 |
= | 10
1/24 |
= 240 |
|---|
Assim A=40 e B=30.
Divisão em várias partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, …, Xn inversamente proporcionais a p1, p2, …, pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, …, 1/pn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+…+ Xn=M e além disso
| X1
1/p1 |
= | X2
1/p2 |
= … = | Xn
1/pn |
|---|
cuja solução segue das propriedades das proporções:
| X1
1/p1 |
= | X2
1/p2 |
=…= | Xn
1/pn |
= | X1+X2+…+Xn
1/p1+1/p2+…+1/pn |
= | M
1/p1+1/p2+…+1/pn |
|---|
Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:
| A
1/2 |
= | B
1/4 |
= | C
1/6 |
= | A+B+C
1/2+1/4+1/6 |
= | 220
11/12 |
= 240 |
|---|
A solução é A=120, B=60 e C=40.
Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:
| A
1/2 |
= | B
1/4 |
= | C
1/6 |
= | 2A+3B-4C
2/2+3/4-4/6 |
= | 10
13/12 |
= | 120
13 |
|---|
logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.
Existem proporções com números fracionários! 🙂
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
| A
c/p |
= | B
d/q |
= | A+B
c/p+d/q |
= | M
c/p+d/q |
= | M.p.q
c.q+p.d |
=K |
|---|
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.
Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:
| A
2/5 |
= | B
3/7 |
= | A+B
2/5+3/7 |
= | 58
29/35 |
= 70 |
|---|
Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.
Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:
| A
4/6 |
= | B
3/8 |
= | A-B
4/6-3/8 |
= | 21
7/24 |
= 72 |
|---|
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a p1, p2, …, pn e inversamente proporcionais a q1, q2, …, qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, …, pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+…+Xn=M e além disso
| X1
p1/q1 |
= | X2
p2/q2 |
=…= | Xn
pn/qn |
|---|
A solução segue das propriedades das proporções:
| X1
p1/q1 |
= | X2
p2/q2 |
=…= | Xn
pn/qn |
= | X1+X2+…+Xn
p1/q1+p2/q2+…+pn/qn |
|---|
Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:
| A
1/4 |
= | B
2/5 |
= | C
3/6 |
= | A+B+C
1/4+2/5+3/6 |
= | 115
23/20 |
= 100 |
|---|
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.
A montagem do problema fica na forma:
| A
1/2 |
= | B
10/4 |
= | C
2/5 |
= | 2A+3B-4C
2/2+30/4-8/5 |
= | 10
69/10 |
= | 100
69 |
|---|
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
Regra de Sociedade
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, …, Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, …, tn.
Definiremos o peso pk (k=1,2,…,n) de cada participante como o produto:
pk = Ck tk
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:
C = C1 + C2 + … + Cn
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, …, pn.
Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:
p1=50×40=2000; p2=60×30=1800; p 3=30×40=1200
A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:
| A
2000 |
= | B
1800 |
= | C
1200 |
|---|
A solução segue das propriedades das proporções:
| A
2000 |
= | B
1800 |
= | C
1200 |
= | A+B+C
5000 |
= | 25000
5000 |
= 5 |
|---|
A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.
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