Elementos gerais sobre Trigonometria
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O papel da trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.
O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número
é dada por:
= 3,1415926535897932384626433832795…
Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.
Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,
m(AB)= | comprimento do arco(AB)
comprimento do raio |
= | 12
8 |
---|
Portanto m(AB)=1,5 radianos
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2r, então:
m(AB)= | comprimento do arco(AB)
comprimento do raio |
= | 2![]() r |
= | 2![]() |
---|
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,
2 rad=360 graus
Podemos estabelecer os resultados seguintes
Desenho | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|---|
Grau | 90 | 180 | 270 | 360 |
Grado | 100 | 200 | 300 | 400 |
Radiano | ![]() |
![]() |
3![]() |
2![]() |
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
Assim, temos a igualdade R/2=G/360, ou ainda,
R
|
= | G
180 |
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Exemplos
- Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos
R
= 60
180
Assim R=
/3 ou 60 graus=
/3 rad
- Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:
1
= G
180
Asim 1 rad=180/
graus.
Você pode obter mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página sobre Geometria Plana: Ângulos
Construída por Anderson L.G. Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré |
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