Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade
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Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade
Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas relações trigonométriuca para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.
Fórmulas de arco duplo
Como
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b)
dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos:
tan(a+b)= | sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) |
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Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:
tan(a+b)= | tan(a)+tan(b)
1-tan(a)tan(b) |
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Tomando b=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo:
sen(2a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)=2sen(a)cos(a)
cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)=cos²(a)-sin²(a)
de onde segue que
tan(2a)= | tan(a)+tan(a)
1-tan(a)tan(a) |
= | 2tan(a)
1-tan²(a) |
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Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = cos²(a) - (1-cos²(a) = 2 cos²(a) - 1
Substituindo cos²(a)=1-sin²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco:
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 1 - sin²(a) - sin²(a)) = 1 - 2sin²(a)
Fórmulas de arco triplo
Se b=2a em sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b), então
sen(3a)= sen(a+2a) = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a) = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a) = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a)) = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)] = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a)) = 3 sen(a) - 4 sin³(a)
Se b=2a em cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b), então
cos(3a)= cos(a+2a) = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a) = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)] = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a) = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))] = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)] = cos(a)[4cos²(a)-3] = 4 cos³(a) - 3 cos(a)
As fórmulas do arco triplo são
sen(3a) = 3sen(a)-4sin³(a)
cos(3a) = 4cos³(3a)-3cos(a)
Fórmulas de arco metade
Partindo das fórmulas do arco duplo
cos(2a) = 2cos²(a) – 1
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)
e substituindo 2a=c, obtemos:
cos(c) = 2cos²(c/2) – 1
cos(c) = 1 – 2sin²(c/2)
Assim
sen²(c/2)= | 1-cos(c)
2 |
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cos²(c/2)= | 1+cos(c)
2 |
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Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por:
tan²(c/2)= | 1-cos(c)
1+cos(c) |
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Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.
Construída por Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré |
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