Funções trigonométricas circulares

Funções circulares

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

Funções reais

Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.

Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).

O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.

Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.

Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale

f(x+T) = f(x)

Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.

Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.

Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:

-L < f(x) < L

Esta última expressão pode ser escrita como |f(x)|<L.

Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois

-1 < x/(1+x²) < 1

Funções crescentes e decrescentes

Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f(x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y).

Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e^-x é decrescente.

Funções pares e ímpares

1. Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:

   f(-x) = f(x)

   Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.

   Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.

2. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:

   f(-x) = -f(x)

   Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.

   Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.

Função seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	0	½	1	½	0	-½	-1	-½	0

Gráfico: Na figura, o segmento Oy’ que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

Propriedades da função seno

1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:

   sen(x) = sen(x+2) = sen(x+4) =…= sen(x+2k)

   Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos

   sen(x+2k) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )

   para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0

   sen(x+2k) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)

   A função seno é periódica de período fundamental T=2.

   Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função seno	positiva	positiva	negativa	negativa

5. Monotonicidade:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função seno	crescente	decrescente	decrescente	crescente

6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

   -1 < sen(x) < 1

7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

   sen(-x) = -sen(x)

Função cosseno

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	1	½	0	½	-1	-½	0	½	1

Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.

Propriedades da função cosseno

1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:

   cos(x)=cos(x+2)=cos(x+4)=…=cos(x+2k)

   Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos

   cos(x+2k)=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )

   Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k)=0, então

   cos(x+2k)=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)

   A função cosseno é periódica de período fundamental T=2.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cosseno	positiva	negativa	negativa	positiva

5. Monotonicidade:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cosseno	decrescente	decrescente	crescente	crescente

6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

   -1 < cos(x) < 1

7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:

   cos(-x) = cos(x)

Função tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	0	1	não existe	-1	0	1	não existe	-1	0

Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).

Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de –/2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.

Propriedades

1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos

   Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k}

2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é

   Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k, onde k pertence a Z

   tan(x)=tan(x+)=tan(x+2)=…=tan(x+k)

   Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos

   tan(x+k) =	tan(x)+tan(k) 1-tan(x).tan(k)	=	tan(x)+0 1-tan(x).0	= tan(x)

   A função tangente é periódica de período fundamental T=.

   Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função tangente	positiva	negativa	positiva	negativa

5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k/2, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:

   tan(x)=-tan(-x)

Função cotangente

Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	não existe	1	0	-1	não existe	1	0	-1	não existe

Gráfico: O segmento Os’ mede cot(x).

Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou –), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito radamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.

Propriedades

1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k, onde k em Z, temos

   Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)}

2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é

   Para todo x em R, sendo x diferente de +k, onde k em Z

   cot(x)=cot(x+)=cot(x+2)=…=cot(x+k)

   A função cotangente é periódica de período fundamental 2.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função tangente	positiva	negativa	positiva	negativa

5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

   cot(x)=-cot(-x)

Função secante

Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1)/2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	1		não existe	–	-1	–	não existe		1

Gráfico: O segmento OV mede sec(x).

Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades

1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos

   Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1)/2}

2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) ³ 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:

   Im(sec)={y emR: y < -1 ou y ³ 1}

3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 2

   Para todo x em R, sendo x diferente de +k, onde k em Z

   sec(x)=sec(x+2)=sec(x+4)=…=sec(x+2k),

   por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função secante	positiva	negativa	negativa	positiva

5. Monotonicidade:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função secante	crescente	crescente	decrescente	decrescente

6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:

   sec(x)=sec(-x)

Função cossecante

Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	não existe		1		não existe	–	-1	–	não existe

Gráfico: O segmento OU mede csc(x).

Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2, sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades

1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k, onde k em Z, temos

   Dom(csc)={x em R: x diferente de k}

2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:

   Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}

3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2

   Para todo x em R, sendo x diferente de k, onde k em Z

   csc(x)=csc(x+)=csc(x+2)=…=csc(x+k)

   por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

   

4. Sinal:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cossecante	positiva	positiva	negativa	negativa

5. Monotonicidade:
   

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cossecante	decrescente	crescente	crescente	decrescente

6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:

   csc(x)=-csc(-x)