Logaritmos
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A hipérbole equilátera
Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.
Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.
Definição de Logaritmo
O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.
A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:
Ln(u)=área(1,u)
Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:
Ln(1)=0
Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.
O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.
Propriedades gerais dos logaritmos
Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:
Propriedades básicas dos logaritmos naturais
- Ln(1)=0
- Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)
- Ln(xk)=k.Ln(x)
- Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)
Algumas simplificações matemáticas
As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.
Exemplos:
-
Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(34=Ln(5.34)=Ln(405)
-
(1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²)½]-Ln(t)=Ln(2), se t>0
-
Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)
Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3) ou 3.Ln(2)? Observamos que:
2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9)
3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)
e como a função Ln é crescente, então:
3 Ln(2) = Ln(8)<Ln(9) = 2 Ln(3)
Base para um logaritmo
Existe um importante número real e=2,71828… (atribuído a Euler) tal que
Ln(e) = 1
A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever:
Ln(u) = Loge(u)
que lemos como “logaritmo do número real u na base e”.
A partir do exposto acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas devem ser diferentes de 1.
Loga(b) = Ln(b) / Ln(a)
Exercício: Você saberia a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base 1?
Logaritmo decimal
No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos:
y = Log(x)
para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10
- Log(1)=0
- Log(0) não tem sentido
- Log(10)=Log(101)=1
- Log(1/10)=Log(10-1)=-1
- Log(100)=Log(10²)=2
- Log(1/100)=Log(10-2)=-2
- Log(1000)=Log(10³)=3
- Log(1/1000)=Log(10-3)=-3
- Log(10n)=n
- Log(10-n)=-n
A partir da propriedade
Log 10n=n
temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação:
Log(10x) = x
Definição estranha de logaritmo
A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o Logaritmo de um número real positivo x na base b é igual ao número e se, e somente se, x pode ser escrito como a potência b elevada ao expoente e, isto é:
Logb(x) = e se, e somente se, x = be
Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de Logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica:
-
Define-se o logarítmo em função da exponencial;
-
Define-se a exponencial em função do logaritmo.
Cálculos de logaritmos de alguns números
Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y=Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim
0<Log(2)<1
É interessante obter dois números que sejam potências de 2 e que estejam muito próximos de potências de 10.
Por exemplo:
1000<1024=210
8192=213<10000,
logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos:
3<10 Log(2)<13 Log(2)<4
então
0,300=3/10<Log(2)<4/13=0,308
e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, que é uma boa estimativa para Log(2), isto é:
Log(2)=0,304
O ideal é encontrar outras potências de 10 que estejam próximas de potências de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:
Intervalo | Valores | Média |
---|---|---|
1<2 <10 | 0<Log(2)<1 | 0,500 |
1<2²<10 | 0<Log(2)<1/2 | 0,250 |
10<24<10² | 1/4<Log(2)<2/4 | 0,375 |
10<25<10² | 1/5<Log(2)<2/5 | 0,300 |
10<26<10² | 1/6<Log(2)<2/6 | 0,250 |
10²<28<10³ | 2/8<Log(2)<3/8 | 0,313 |
10³<210<104 | 3/10<Log(2)<4/10 | 0,350 |
10³<211<104 | 3/11<Log(2)<4/11 | 0,318 |
10³<212<104 | 3/12<Log(2)<4/12 | 0,292 |
10³<213<104 | 3/13<Log(2)<4/13 | 0,269 |
104<214<105 | 4/14<Log(2)<5/14 | 0,321 |
104<215<105 | 4/15<Log(2)<5/15 | 0,300 |
104<216<105 | 4/16<Log(2)<5/16 | 0,282 |
105<217<106 | 5/17<Log(2)<6/17 | 0,393 |
105<218<106 | 5/18<Log(2)<6/18 | 0,306 |
105<219<106 | 5/19<Log(2)<6/19 | 0,289 |
106<220<107 | 6/20<Log(2)<7/20 | 0,325 |
Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função Ln através de uma série de potências de x para calcular logaritmos de números reais positivos com -1<x<1.
Ln(1+x) = x – (1/2) x² + (1/3) x³ – (1/4) x4 + (1/5) x5 + …
Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de Ln(y) para qualquer y real desde que se saiba o valor de x para o qual y=(1+x)/(1-x).
Ln(y) = 2 [ x + (1/3) x³ + (1/5) x5 + (1/7) x7 + … ]
Por exemplo, para obter Ln(3), tomamos y=3 e deveremos ter x=1/2 para satisfazer à relação y=(1+x)/(1-x).
Voltando ao estudo básico, Log(2)=0,3010299956639812… e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de 2, como por exemplo:
- Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206
- Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309
- Log(16)=Log(24)=4Log(2)=1,20412
- Log(32)=Log(25)=5Log(2)=1,50515
- Log(2n)=n.Log(2)
- Log(1/2)=Log(2-1)=(-1)Log(2)=-0,30103
- Log(1/4)=Log(2-2)=(-2)Log(2)=-0,60206
- Log(1/8)=Log(2-3)=(-3)Log(2)=-0,90309
- Log(1/16)=Log(2-4)=(-4)Log(2)=-1,20412
- Log(1/32)=Log(2-5)=(-5)Log(2)=-1,50515
- Log(2-n)=(-n).Log(2)
Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.
Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.
Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477, para calcular alguns logaritmos.
-
Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-0,301=0,699
-
Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,477=0,778
- Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903
- Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954
Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e Log(8), isto é:
Log(7)=0,840
Característica e mantissa de um logaritmo na base 10
Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.
Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal negativo para o logaritmo apenas para o número que está antes da vírgula.
Número | Logaritmo | Característica | Mantissa |
---|---|---|---|
0,002 | ¯3,30103 | -3 | 0,30103 |
0,02 | ¯2,30103 | -2 | 0,30103 |
0,2 | ¯1,30103 | -1 | 0,30103 |
2 | 0,30103 | 0 | 0,30103 |
20 | 1,30103 | 1 | 0,30103 |
200 | 2,30103 | 2 | 0,30103 |
2000 | 3,30103 | 3 | 0,30103 |
Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. Isto poderá ser observado na Tábua moderna de logaritmos que aparece no final desta Página.
¯3,30103 significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, -2,69897.