Números Inteiros

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Curiosidades com números inteiros
12345679 x 9 = 111111111 12345679 x 18 = 222222222 12345679 x 27 = 333333333 12345679 x 36 = 444444444 12345679 x 45 = 555555555 12345679 x 54 = 666666666 12345679 x 63 = 777777777 12345679 x 72 = 888888888 12345679 x 81 = 999999999 9 x 9 + 7 = 88 9 x 98 + 6 = 888 9 x 987 + 5 = 8888 9 x 9876 + 4 = 88888 9 x 98765 + 3 = 888888 9 x 987654 + 2 = 8888888 9 x 9876543 + 1 = 88888888 9 x 98765432 + 0 = 888888888 9 x 1 + 2 = 11 9 x 12 + 3 = 111 9 x 123 + 4 = 1111 9 x 1234 + 5 = 11111 9 x 12345 + 6 = 111111 9 x 123456 + 7 = 1111111 9 x 1234567 + 8 = 11111111 9 x 12345678 + 9 = 111111111 9 x 123456789 + 10 = 1111111111 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321 9 x 7 = 63 99 x 77 = 7623 999 x 777 = 776223 9999 x 7777 = 77762223 99999 x 77777 = 7777622223 999999 x 777777 = 777776222223 9999999 x 7777777 = 77777762222223 99999999 x 77777777 = 7777777622222223 1 x 7 + 3 = 10 14 x 7 + 2 = 100 142 x 7 + 6 = 1000 1428 x 7 + 4 = 10000 14285 x 7 + 5 = 100000 142857 x 7 + 1 = 1000000 1428571 x 7 + 3 = 10000000 14285714 x 7 + 2 = 100000000 142857142 x 7 + 6 = 1000000000 1428571428 x 7 + 4 = 10000000000 14285714285 x 7 + 5 = 100000000000 142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000 9 x 9 = 81 99 x 99 = 9801 999 x 999 = 998001 9999 x 9999 = 99980001 99999 x 99999 = 9999800001 999999 x 999999 = 999998000001 12 x 12 = 144, 21 x 21 = 441 13 x 13 = 169, 31 x 31 = 961 102x102 = 10404, 201x201 = 40401 103x103 = 10609, 301x301 = 90601 112x112 = 12544, 211x211 = 44521 122x122 = 14884, 221x221 = 48841 99 = 9+8+7+65+4+3+2+1 100 = 1+2+3+4+5+6+7+8×9 134498697 = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^9 1000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888 45 = 8+12+5+20, 8+2=12-2=5x2=20÷2=10 100 = 12+20+4+64, 12+4=20-4=4x4=64÷4=16 225 = 1+23+45+67+89, 89-67=67-45=45-23=23-1=22 5^2 + 2^1 = (5-2)^(2+1)
Notação: Para indicar que um número x está elevado a y, escreverei x^y, que é uma notação comum no meio científico.
Introdução aos números inteiros
Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0
As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.
Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.
Sobre a origem dos sinais
A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:
Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.
Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.
Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.
O conjunto Z dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z
(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:
Z* = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,…}
(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,…}
(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z– = {…, -4, -3, -2, -1, 0}
Observação: Não existe padronização para estas notações.
Reta Numerada
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem e simetria no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
(a) 3 é sucessor de 2 (b) 2 é antecessor de 3 (c) -5 é antecessor de -4 (d) -4 é sucessor de -5 (e) 0 é antecessor de 1 (f) 1 é sucessor de 0 (g) -1 é sucessor de -2 (h) -2 é antecessor de -1
Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3. (b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.
Módulo de um número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
(a) |0| = 0 (b) |8| = 8 (c) |-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.
Soma (adição) de números inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 | (+3) + (+4) = (+7) |
---|---|
perder 3 + perder 4 = perder 7 | (-3) + (-4) = (-7) |
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 | (+8) + (-5) = (+3) |
perder 8 + ganhar 5 = perder 3 | (-8) + (+5) = (-3) |
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
(a) -3 + 3 = 0 (b) +6 + 3 = 9 (c) +5 - 1 = 4
Propriedades da adição de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
Multiplicação (produto) de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + … + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:
2 + 2 + 2 + … + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:
(-2) + (-2) + … + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números | Resultado do produto |
---|---|
iguais | positivo |
diferentes | negativo |
Propriedades da multiplicação de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que
z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1
Propriedade mista (distributiva)
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
Potenciação de números inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
an = a × a × a × a × … × a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
- 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
- (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8
- (-5)² = (-5) x (-5) = 25
- (+5)² = (+5) x (+5) = 25
com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.
Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: “a elevado ao quadrado” e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: “a elevado ao cubo”. Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.
Potenciação com o browser
Para obter a potência Mn em seu navegador, como 125, digite (ou copie) a linha de comando:
javascript:Math.pow(12,5)
exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta
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Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
Radiciação de números inteiros
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.
Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].
Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:
b=Rn[a] se, e somente se, a=bn
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos:
(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8. (b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8. (c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27. (d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.
Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.