Sistema Alemão de Amortização
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Introdução ao sistema alemão
O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,…,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte.
O Modelo matemático
Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão:
Co = C – C i = C (1-i)
mas o cliente deverá pagar C no final do período.
No início do 2o. período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento:
C1 = C – A1
Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser:
P1 = A1 + i C1 = A1 + i (C – A1)
O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período.
No início do 3o. período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo:
C2 = C1 – A2
Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a i C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:
P2 = A2 + i C2 = A2 + i (C1-A2)
ou seja
P2 = A2 + i (C – A1 – A2)
O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período.
No início do 4o. período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste momento de:
C3 = C2 – A3
Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que corresponde a i C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:
P3 = A3 + i C3 = A3 + i (C2 – A3) = A3 + i (C1 – A2 – A3)
ou seja
P3 = A3 + i (C – A1 – A2 – A3)
O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período.
Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever:
Ck = Ck-1 – Ak
e
Pk = Ak + i (C – A1 – A2 – A3 – … – Ak)
Resumindo até o momento, temos:
| n | Cn | Pn |
|---|---|---|
| 1 | C1 = C – A1 | P1 = A1 + i (C – A1) |
| 2 | C2 = C – A1 – A2 | P2 = A2 + i (C – A1– A2) |
| 3 | C3 = C – A1 – A2 – A3 | P3 = A3 + i (C – A1 – A2 – A3) |
| 4 | C4 = C – A1 – A2 – A3 – A4 | P4 = A4 + i (C – A1 – A2 – A3 – A4) |
| … | … | … |
| k | Ck = C – A1 – A2 – A3 – … – Ak | Pk = Ak + i (C – A1 – A2 – A3 – … – Ak) |
A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente e como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então segue que
P1 = P2 = P3 = … = Pn = P
Como P1=P2, então
A1 + i (C – A1) = A2 + i (C – A1 – A2)
logo
A1 + i (C-A1) = A2 + i (C-A1) – i A2
assim
A1 = A2 – i A2
e dessa forma
A1 = A2 (1-i)
e podemos escrever que
A2 = A1 / (1-i)
De forma análoga, podemos mostrar que
A3 = A2 / (1-i)
para concluir que
A3 = A1 / (1-i)2
Temos em geral que, para todo k=2,3,4,…,n:
Ak = A1 / (1-i)k-1
Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que:
C = A1 + A2 + A3 + … + An
Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos:
Evidenciando o último termo, poderemos escrever:
Como o termo nos colchetes é a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), então:
e desse modo
Já observamos antes que
e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, teremos:
Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n.
Usamos fortemente o conceito de sequência geométrica (PG), o que justifica a importância deste assunto tão pouco aplicado no âmbito do Ensino Médio.
Fórmulas básicas
Para obter os cálculos com as fórmulas básicas
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com os seguintes elementos:
| Objeto | Descrição |
|---|---|
| C | Capital financiado |
| i | Taxa de juros ao período |
| n | Número de períodos |
| P | Valor de cada prestação |
| A1 | Primeira amortização |
| Ak | Amortização para k=1,2,…,n. |
Problema típico
Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização.
Solução: Devemos tomar i=0,04; n=5 e C=300.000,00 e inserir os dados na primeira das três últimas fórmulas apresentadas, para obter a prestação
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